基于音圈電機的柔性桿自抗擾LQR抑振控制算法研究

朱泳廷, 張 澤

(貴州大學 機械工程學院,貴陽 550025)

通過引入柔性結構替換剛性連桿,可以得到輕質的機械臂。相較于傳統的剛性機械臂,柔性機械臂具有更好的潛在優勢:質量輕、耗能小、驅動器要求低、工作空間大、運轉速度快、成本低,以及由于小慣性帶來的安全性強等[1]。

柔性會使系統趨于難以控制,一方面由于柔性結構的低剛度特質,機械臂受擾后參數相對于原狀態的偏離程度較大;另一方面,非線性特性、低階模態頻率低、阻尼效應弱使得柔性機械臂容易產生振動問題。因此,深入研究并采用各種抑振方法克服柔性機械臂的缺點才能更好發揮其潛在應用優勢。

目前對柔性臂的主動抑振方法大致可以分為三類:①將單個柔性臂看作無窮自由度且高度欠驅動(輸入量僅有關節力矩)的復雜系統,構造輸入量來實現過程抑振[3-6],但抗擾能力較差;②在柔性臂中間部分配置作動應變片和傳感器[7-9],這種方法相較于①類方法可為系統引入若干控制量來降低系統欠驅動程度,且根據配置方法等的不同,對特定階的模態有指向性的、良好的抑制效果,抗擾能力強,缺點則是成本高、控制系統復雜;③配置動力吸振器(dynamic vibration absorber, DVA)在柔性臂的適當位置[10-11],由于吸振器僅配置在固定點,該方法針對較低階模態且為局部抑振,在吸振器性能限制內可實現較強的抗擾能力。

主動動力吸振技術由于具有頻帶寬、應用潛力大的優勢,在自動化、汽車、船舶、航空航天等工程領域受到重視。Chen等[12]將由智能彈簧構成的主動式動力吸振器置于直升機柔性長槳葉的根部,基于自適應陷波算法實現主動抑振,結果表明該方法能有效地吸收柔性槳葉傳遞至機身的振動。張洪田等[13]研制了一種電磁式吸振器,采用一種基于改進最小均方算法(modified least mean square,MLMS)的自適應控制器對船舶柴油機進行抑振,仿真驗證了主動吸振裝置的寬頻帶抑振效果,但在建模時難以考慮的模型誤差和擾動降低了吸振器實際的抑振效果。楊愷等[14]采用一種主動電磁式吸振器對輕質柔性桁架的振動進行抑制,基于Taranti[15]提出的比例系數自適應算法構造控制器,試驗表明吸振器對共振和非共振模態振動均有良好的抑制效果,但參數迭代適應的過程較長且抗擾能力較差,不適用于工作條件多變復雜的柔性機械臂。

上述主動抑振方法的一個共同點是均采用一重動力吸振器實現抑振。二重動力吸振器相較于同等質量比的一重動力吸振器對參數變化的適應性更強,而目前采用二重動力吸振器對柔性臂進行主動抑振的研究較少。除此之外,主動式吸振器核心在于作動器的選擇。相比于傳統的伺服電機,音圈電機結構精簡的特點為其帶來了體積小、質量輕、動態響應速度快、精度高等優點,廣泛應用于高頻率、高精度、短距離的重復性運動和定位作業中[16],缺點則是在工作過程中存在參數變化、端部效應等不利因素。采用音圈電機作為作動器有利于減重和提高吸振器性能,但要解決其用于柔性體的振動抑制的控制問題,需要尋求一類低模型依賴的算法。自抗擾控制器(active disturbance rejection controller,ADRC)較前文提到的自適應方法,無參數迭代過程,在解決擾動控制問題上有廣泛的應用[17-19]。但需要解決好觀測器設計問題,以便系統能夠有效的跟蹤收斂。

綜上所述,本文提出一種由音圈電機構成的主動式二重動力吸振器,闡釋基于柔性桿的動力學模型等效建立一階模態狀態方程的方法,分析其擾動形式?？刂品椒ǚ矫娌捎没诜蔷€性跟蹤微分器(non-linear tracking differentiator,NLTD)的線性二次型最優控制(linear quadratic regulator,LQR)方法并結合時變增益擴張狀態觀測器(time-varing gain extended state observer,VGESO)實現擾動補償,綜合了兩種控制方法的優勢,使得柔性桿抑振控制不依賴于準確系統模型,且具有強抗擾能力。

1 柔性桿動力學模型

1.1 動力學模型

為了驗證抑振算法的效果,以平面單連桿柔性機械臂(planar single-link flexible manipulator,PSLFM)為抑振對象,對柔性桿端部加裝吸振器和傳感器,實現殘余振動的主動抑制。本節基于模態假設法描述柔性桿的振動特性。

一端由關節驅動的PSLFM的結構示意如圖1所示,材料、尺寸物理參數在表1中列出。在圖1中,θ為該柔性桿對應的關節旋轉角度,也是系統主要的輸入和激勵。對θ進行合適的規劃可以有效地降低柔性桿過程中和到位后的殘余振動。由于本文不研究θ的規劃問題,所以假設柔性桿到位后的殘余振動在二重動力吸振器可控的范圍內。

表1 柔性桿的物理參數Tab.1 Physical parameters of flexible beam

圖1 關節驅動PSLFM的結構示意Fig.1 Structure of joint driven PSLFM

設該柔性桿滿足Kirchhoff假設,即滿足Euler-Bernoulli桿臂條件,條件適用于桿的長度跨距遠大于其截面尺寸的情況下。忽略重力的影響,則基于變分原理可推出柔性桿的彎曲無阻尼振動微分方程

(1)

上述四階偏微分方程的邊界條件可通過變分求解過程自然獲得,具體推導和結論可參考文獻[20]。假設模態法以Rayleigh-Ritz法為基礎推導出柔性臂微分方程逼近解,彈性撓度w(x,t)可表達為

(2)

式中:φi(x)為第i階模態的空間模態函數;pi(t)為第i階模態的時間模態函數。將式(2)的表達代入式(1)中可得到分離變量的兩個獨立常微分方程,結合邊界條件求解可得解的形式

φi(x)=Ai{aisin(βix)-aisinh(βix)-

cos(βix)+cosh(βix)}

(3)

式中,Ai和ai分別為

(4)

(5)

式中,βi為第i階空間模態函數φi(x)的特征頻率,與時間模態函數pi(t)的固有頻率ωi對應,可通過解如下特征方程獲得

cos(βiL)cosh(βiL)+1=0

(6)

式(6)是以特征頻率βi為變元的方程,其解析解很難得到。端部質量m會影響βi的解,文獻[21]探討了邊界條件改變對柔性桿各階模態的影響規律,指出桿自由端的振幅和振動頻率隨集中質量m增大的變化,以及末端集中質量m的引入會進一步衰減高階模態振動,使低階模態對振動的主導性更強。另一方面,端部質量的增加會降低柔性結構帶來的優勢,不能僅依靠增加端部質量來抑制高階模態,因此采用算法對柔性桿高階模態進行抑制將會更有利于發揮柔性的優勢。

考慮關節驅動柔性桿的動力學模型,如圖1所示,柔性桿各點在空間中的位置變化是關節旋轉與撓度變形的疊加,桿上任意質點的位置可由位矢r表示

(7)

系統的動能為

(8)

式中:第一項為柔性桿的總體動能;第二項為末端質量m的動能;第三項為轉動動能。忽略重力,系統的彈性勢能為

(9)

拉格朗日量取為L=T-U,以關節角度和柔性桿各個時間模態坐標為廣義坐標,根據拉格朗日方程

(10)

可獲得關節驅動和柔性桿整體的動力學方程

(11)

式中:Mθp為驅動關節與柔性桿的耦合關系;Hp為柔性桿科氏力和離心力作用的體現;Mpp和Kpp為柔性桿作為分布參數系統的質量與剛度性質。

1.2 動力學模型等效參數

本文考慮殘余振動問題,即關節角θ=0,式(11)可簡化為

(12)

式中,Kpp=diag(k1,k2,…,kn),Mpp可表示為

(13)

式中:第i個主對角元素決定第i階模態的振動頻率;非主對角元素決定了第j階模態與第i階模態的耦合效應;ηij的形式為

(14)

由于模態的正交性,忽略模態與模態之間的耦合,Mpp主要由主對角元素決定。式(14)的量綱是質量,描述了對應模態的整體振動質量屬性。為將該質量屬性與實際柔性桿各點的振動效果對應,設l為獨立于x的柔性桿位置變量,則可以得到i階模態在l點處的等效振動質量為

(15)

式(15)決定的振動等效關系可由圖2描述,端部第i階模態的等效振動質量和剛度則可令l=L獲得,如下

圖2 柔性桿等效質量示意圖Fig.2 Representation of equivalent parameters

(16)

(17)

式(15)～式(17)描述了將柔性桿各點的振動等效映射至端點的積分關系,實質上是將式(14)決定的模態空間的參數轉換至柔性桿實際物理參數。計算得到的質量和剛度參數有利于二重動力吸振器的建模與控制。

2 基于音圈電機的二重動力吸振器

2.1 音圈電機作動特性

本節對音圈電機的作動特性進行探討。音圈電機由固定線圈繞組組件和永久磁體組件構成。磁體相對線圈質量較大,將其作為輔助動質量可以增加二重動力吸振器的有效質量比。通電線圈受到動磁體產生的電磁反作用力并傳遞至固接的抑振對象從而產生抑振效果。

將音圈電機引入被動式無阻尼動力吸振器結構中,系統變為電路、磁力和機械運動系統耦合的復雜模型。音圈電機的電-磁-動力學耦合首要滿足以下兩個關系

(18)

本文動力吸振器內含的音圈電機作動結構可由圖3表示,核心的三個部分分別是音圈電機及編碼器組、精密微型導向和輕質吸振器框架。驅動電路系統平衡方程和運動平衡微分方程分別表示為

圖3 音圈電機作動的結構示意圖Fig.3 Structure of voice coil motor actuation

(19)

和

(20)

由音圈電機結構上的精簡帶來的主要問題是磁場的非均勻性,T=T(q)可表示音圈電機的力敏特性曲線。定義驅動電壓E(t)=Kcu(t),且定義由自感系數Lm帶來的擾動項為ξL,可以得到

(21)

在音圈電機的驅動特性下,動力學模型變為含系統擾動項且阻尼系數和輸入增益隨位置發生改變的非線性微分方程。設T0為振動系統平衡點處的力敏常數,音圈電機的數學模型可簡寫為

(22)

由式(21)和式(22)可知,引入音圈電機可為振動系統同時引入磁性阻尼因子c0和可控量u(t)。阻尼系數c0由電路內阻決定上限,可通過調節電阻rf調節。動力吸振器由此不需要額外附加阻尼結構,振動能量的耗散由音圈電機所在電回路實現。

2.2 主動式二重動力吸振器

將音圈電機作動的主動式二重動力吸振器配置至柔性桿端部,如圖4所示。

圖4 二重動力吸振器端部抑振示意圖Fig.4 Representation of end vibration suppression

動力吸振器可基于一般的設計方法,計算滿足最優同調條件和最優阻尼條件的動力吸振器最優設計參數。二重動力吸振器工作在最優參數設計下時,其動力學性能與抑振對象的匹配度最高;且相對于一重動力吸振器,對參數變化的敏感性較低?？煽亓康囊胧沟脛恿ξ衿髟谄x最優參數后仍然有能力保證抑振性能。

考慮以末端一階模態等效質量、剛度建立振動微分方程,如下

(23)

3 自抗擾LQR抑振主動控制方法

3.1 控制目標

基于第2章中對音圈電機作動的二重動力吸振器的探討,本節建立柔性桿端部抑振的受控模型。引入狀態向量和輸入向量

(24)

u(t)=[u1(t),u2(t)]T

(25)

柔性桿端部沿彎曲方向的振動微分方程可用狀態方程的形式表示

(26)

其中,

式中:A1,A2和B1的具體表達可經由振動微分方程(23)獲得;I3為三階單位陣;ε(t)為系統量測噪聲,一般是均值為零的白噪聲;ζ(t)中的ξ1和ξ2為音圈電機對應的匹配擾動項,已在式(22)給出其形式;ξw為柔性桿擾動項,主要包括模型誤差、殘余模態擾動和外擾。

3.2 LQR反饋控制

LQR的控制效果穩定[23],能保證總是以較小的控制量使系統誤差趨于零,并且對于多輸入多輸出系統(multiple-input-multiple-output,MIMO)還可以通過調節權系數來著重保證某一狀態量的控制效果。

LQR最優控制方法可描述為使如下的控制性能指標函數最小的問題

(27)

式中:Q的為半正定實對稱常矩陣,決定狀態量x(t)的權重;R為正定實對稱常矩陣,決定對輸入控制量u(t)的權重。

為使性能指標函數J(x,u)取得最小值,以達到輸入控制量以及狀態量的綜合最優,定義拉格朗日乘子λ(t)并構建哈密頓函數

λT(t)[Ax(t)+Bu(t)]

(28)

對式(28)求導并令導數為零,可得到最優控制信號為

(29)

式中,P為以下Riccati非線性矩陣方程的解

ATP+PA-PBR-1BTPT+Q=0

(30)

通過求解上述方程可得到矩陣P,由此可得到最優反饋矩陣

K=R-1BTP=[K1,K2]T

(31)

證明:設S為半正定實常值矩陣,并滿足如下的等式STS=Q+KTRK,在最優反饋律K的作用下,將狀態方程表示為

(32)

式(32)的傳遞關系可表示為

X(s)=(sI-A+BK)-1ζ(s)

(33)

根據定義,SX(s)的2-范數為

性能指標可改寫為

(35)

由Parseval定理可知

(36)

又因輸出矩陣C為常值矩陣且擾動ζ(t)有界,當J→minJ(x,u)時

(37)

上述引理表明LQR控制器對噪聲(外擾)的抑制能力相對更強,能為其與自抗擾控制器的結合提供良好基礎,降低觀測器的估計壓力。

3.3 自抗擾LQR控制算法

基本的自抗擾控制器主要包括三個核心部分:誤差反饋律、NLTD和擴張狀態觀測器(extend state observer, ESO)。誤差反饋律利用誤差及誤差的微分組合構成最終控制量。NLTD能準確跟蹤輸入信號以及提取輸入信號的微分信號,并同時可作為帶寬可調的濾波器實現噪聲的濾除。ESO基于非線性函數的良好特性,利用輸入量和輸出量實時快速地估計系統各階的狀態信息。本節主要引入非線性跟蹤微分器NLTD和擴張狀態觀測器ESO,與3.2節中LQR控制器結合,從而構成自抗擾LQR控制算法。

3.3.1 非線性跟蹤微分器NLTD

LQR控制方法須引入狀態量及狀態量的微分構成誤差線性反饋控制律。一種連續形式的NLTD由韓京清[24]提出,如下

(38)

式中:r為加速度跟蹤因子;v(t)為輸入信號。

考慮式(38)的離散實現,由于二階積分串聯系統的特性,上式決定的離散系統在平衡點附近總是存在“微過調”,系統并不能在有限采樣步內完美跟蹤輸入信號?；跁r間最優的等時區法可以得到上式在離散形式下的延拓

(39)

式中,fhan為如下時間最優控制綜合函數

(40)

式中:r為加速度跟蹤因子;h0為濾波因子;h為采樣步長。

式(39)和式(40)即為基于時間最優控制綜合函數的非線性TD算法實現。當r足夠大,且h0>h時,NLTD可濾除系統的量測噪聲。

3.3.2 擴張狀態觀測器ESO

在一般狀態觀測器構造方法的基礎上,利用非線性函數作為反饋函數,狀態觀測器誤差收斂效率提高,穩態誤差得到抑制。定義擴張狀態變量為系統的匹配擾動項,則該狀態變量能以很高的效率跟隨系統的匹配擾動。一種以冪函數作為非線性反饋函數的擴張狀態觀測器形式如下

(41)

式中:β1～βn+1為非線性函數的增益系數,決定ESO的跟蹤性能;f0為系統已知擾動項;狀態變量zn+1即為估計得到的“總和擾動”。fal函數的形式為

(42)

由式(42)可知,當跟蹤誤差|e|>δ時,ESO的反饋估計函數為冪函數形式;而當跟蹤誤差|e|≤δ時,ESO更接近于線性狀態觀測器。因此,增大線性區間長度δ將會以降低擾動的估計效率和增大估計穩態誤差為代價,使ESO對高頻震顫和噪聲有更好的抑制作用。

3.3.3 自抗擾LQR抑振控制器設計

為使控制系統具有強魯棒性以及對內擾、外擾的強補償能力,本文將自抗擾控制器引入含模型參數誤差、含內外擾動的狀態方程確定的LQR控制器,結合兩者優點,對柔性桿實現基于兩個音圈電機的二重動力吸振器的主動抑振控制。

考慮由狀態方程式(26)確定的系統,表示為

定義輸入量為

(44)

將柔性桿振動簡寫為

(45)

為了防止ESO的“初始微分峰值”現象造成的沖擊對高階模態產生激勵,選擇初始時變增益的三階擴張狀態觀測器,形式為

式中,γ(t)為時變增益系數,形式由騰青芳等的研究給出。

(47)

式中:σ為增長速度系數,可調節增益系數增長速度;γ0為增益放大倍率。

(48)

則當ESO的擴張狀態量z3能很好地估計總和擾動ξw時,式(23)確定的系統僅由LQR控制器進行調節,音圈電機對應的匹配擾動ξ1和ξ2的影響由LQR控制器的特性而降至最小;并且參數誤差、高階模態響應、音圈電機的輸入增益變化等均視作“總和擾動”被補償。

最終得到的自抗擾LQR控制器如圖5所示。

圖5 二重動力吸振器抑振自抗擾LQR控制器結構圖Fig.5 LQR active disturbance rejection controller structure

4 仿真分析

本文采用MOTICONT公司生產的LCVM-019-016-02型號的小型音圈電機作為二重動力吸振器的作動器,其具體參數如表2所示。

表2 LCVM-019-016-02型號音圈電機的參數Tab.2 Parameters of LCVM-019-016-02 voice coil motor

二重動力吸振器抑振系統的參數如表3所示,柔性桿的前三階彎曲振動模態的固有頻率值如表4所示。

表3 柔性桿、吸振器模型參數Tab.3 Model parameters of flexible beam and DVA

表4 柔性桿前三階彎曲模態固有頻率Tab.4 Natural frequency of the first three bending modes 單位:Hz

對柔性桿二重動力吸振器系統模型實施控制,考察系統抑振能力、參數魯棒性以及抵抗內外擾的能力,并格外關注控制器對高階模態擾動的抑制能力。在MATLAB中利用Simulink功能模塊搭建自抗擾LQR控制器仿真模型如圖6所示。

圖6 控制器仿真模型Fig.6 Numerical simulation model of controller

圖6中的DVA系統模型以2-輸入和3-輸出的狀態方程模型為基礎,包含音圈電機力敏常數變化和匹配擾動部分,柔性桿包含外擾和模態擾動部分。

Q=diag(a1,1,1,a2,1,1)

(49)

式中:加權矩陣Q主對角的第一個元素和第四個元素為柔性桿振動速度和振幅的加權系數。文獻[25]指出當a1≠a2時,增大振幅權系數有利于抑振效果,但增大速度權系數能更高效地抑制高頻的共振峰值。本文著重于控制器的魯棒性和抗擾能力,系數a1,a2值的選取問題可參閱相關文獻。TD,VGESO的仿真參數如表5所示。

表5 TD、VGESO仿真參數Tab.5 Simulation parameters of TD and VGESO

令a1=a2并考察權系數a1,a2分別為1,50和200時的控制器效果,如圖7所示。ESO對狀態模型中非線性部分擾動觀測則如圖8所示。

圖7 權系數分別為1,50,200時的抑振效果Fig.7 Vibration suppression effect when weighting factors are 1, 50 and 200 respectively

圖8 圖7對應的ESO擾動估計值Fig.8 ESO estimate corresponding to Fig.7

由圖7和圖8可知,基于3.3節的控制律設計,引入擾動補償回路后,LQR控制器和ESO共同發揮了反饋調節功能。LQR控制器主要生成實現抑振的反饋控制信號,而ESO則對LQR控制器誤差以及擾動進行補償,由圖8和接下來的仿真結果可體現。

由于吸振器實際物理條件的限制,可通過調節加權系數在條件限制內最大化吸振器的抑振效果,這也是LQR應用于動力吸振器主動控制的優勢。對于LQR控制器,增大加權系數對抑振效果的改善十分明顯,振動衰減時間分別對應降低到了1.56 s和1.16 s。由圖8還可以看到,音圈電機非線性擾動的影響隨著權系數的增加而增加,ESO對系統的擾動補償量增加,此時單一的LQR控制器并不能保證原有的抑振效果。

接下來考察加權系數為200時,各類擾動對系統的影響,包含三種類型的擾動:①模型參數誤差;②輸入量的摩擦非線性;③高階模態擾動。

圖9和圖10分別對比了系統存在模型誤差和摩擦死區時的LQR和自抗擾LQR的抑振效果。圖9表示等效質量參數偏離+50%(0.5)時,吸振器抑振效果的變化。盡管抑振質量比的下降會使振動抑制效果變差,但LQR控制器的不匹配被ESO實時估計并補償,控制器的魯棒性得到提升。圖10則表明摩擦非線性對抑振效果的影響,單一的LQR控制器并不能適應吸振器存在摩擦非線性的情況,在摩擦死區的小區間內對應阻尼系數趨于無窮,吸振器失去抑振效果;而引入本文提出的自抗擾LQR控制器后,吸振器可以很好應對摩擦非線性帶來的影響。

圖9 含模型參數誤差時的抑振效果Fig.9 Vibration suppression effect with model parameter error

圖10 含摩擦非線性時的抑振效果Fig.10 Vibration suppression effect with friction nonlinearity

實際的機械臂工作條件多變且復雜,亦存在可以激發二階模態之上模態的外界激勵。以5sin(105.2t)作為二階模態擾動,從圖11～圖13可以考察對比LQR控制器與自抗擾LQR控制器的抑振效果。圖11中的兩個動質量的振幅與主振動系統的振幅在同一水準,并且兩者之間存在有相位差;而圖12中的兩個動質量的振幅明顯增加,柔性桿的振動得到明顯抑制,吸振器動質量之一的振幅增加到原本的253%,柔性桿的振動振幅則降低到原來的38.36%?？梢钥吹?二階模態響應的振動能量很大程度地被吸振器系統吸收,從頻域的角度則是增加了二重動力吸振器的抑振帶寬。抑振帶寬可通過改善觀測器的估計性能進一步提高。圖13則表明VGESO對實際擾動值有著快速且相對準確的估計效果,并且“初始微分增益”現象也得到抑制。因此,基于該自抗擾LQR控制器的主動式二重動力吸振器對二階以上模態響應也將有不錯的抑制力。

圖11 對二階模態響應的 抑制能力(LQR)Fig.11 Rejection to second-order modal response(LQR)

圖12 對二階模態響應的 抑制能力(LQRADRC)Fig.12 Rejection to second-order modal response(LQRADRC)

圖13 圖12對應的ESO 擾動估計值Fig.13 ESO estimate corresponding to Fig.12

5 結 論

本文利用音圈電機作動的二重動力吸振器對柔性桿端部振動進行抑制,為克服柔性桿本身容易受擾的問題和用于柔性桿抑振的動力吸振器抑振帶寬不足的問題,提出將LQR控制器與自抗擾控制器相結合的控制方法。首先,基于柔性桿的動力學模型獲得柔性桿的振動等效參數。然后,在分析音圈電機驅動特性和非線性擾動形式的基礎上,獲得抑振模型的狀態方程表達,最終明確了系統特性和擾動因素。利用非線性TD獲得LQR控制器所需的原信號和微分信號,引入VGESO并與LQR結合,實現了對模型不確定性、二階以上模態響應以及未知擾動進行的補償,達到了良好的抑振效果。該方法對模型參數的準確性要求較低,且兼具有包括抑制模態擾動在內的強抗擾能力,能夠有效的提高柔性桿振動主動抑制的魯棒性和控制精度。