基于連接關系動態的復雜網絡外同步控制

陳金彪, 王銀河*, 湯 曉

(1.廣東工業大學 自動化學院, 廣東 廣州 510006; 2.廣州亞俊氏真空科技股份有限公司, 廣東 廣州 510006)

0 引言

一個復雜動態網絡通常是由相當多數量的動態節點相互連接構成,這種節點間錯綜復雜的連接關系組成了網絡的拓撲結構.近些年來,關于復雜動態網絡的拓撲結構和節點動態行為的研究受到眾多學者的關注.尤其是針對復雜動態網絡同步問題的探討已經成為網絡科學研究領域內的研究熱點.

復雜動態網絡同步主要分為內同步和外同步.內同步[1-9]是將網絡中的每一個節點看作為動態系統,在同一個網絡中呈現出節點狀態趨同的集體動態行為,例如多錘樁振動系統(網絡)中的振動樁錘(節點)之間相位和速度同步[9].外同步則關注不同網絡之間對應節點間狀態的趨同行為,而不關注一個網絡內的節點動態行為,例如衛星網絡(驅動網絡)和地面網絡(響應網絡)之間的頻率同步[10].

在復雜動態網絡外同步的研究中,網絡的拓撲結構是其中一個重要議題.在利用代數圖論方式對復雜動態網絡進行建模時,可以利用實數作為加權值來量化節點間的連接強度,由此形成了加權復雜動態網絡,其拓撲結構可以用其實數加權值構成的連接關系矩陣定量描述.目前針對具有定常連接關系矩陣的復雜動態網絡(連接關系是時不變的)的外同步已有許多研究成果[11-13],隨研究的深入,有關時變拓撲的網絡外同步取得許多成果[14,15].

值得注意的是,某些現實網絡的拓撲結構變化還有可能受到節點的狀態變化影響.例如在工業卷繞系統中,平帶的張力(連接關系)因電機的轉速(節點的狀態)的變化而變化[16,17]; 神經網絡中神經元的突觸(連接關系)因神經元(節點)發生Gamma震蕩產生易化[18].所以,連接關系的變化與節點的狀態有關,因而可以視為節點狀態變量的函數,將所有的連接關系在整體上視為一個系統,并利用其輔助實現外同步.

受上述討論的啟發,本文在研究網絡外同步時,認為每一個復雜動態網絡都可以看作是由節點子系統和連接關系子系統耦合而成的組合系統,借助連接關系子系統來輔助節點子系統實現網絡外同步,其中連接關系的加權值可以視為連接關系子系統的狀態變量,因而網絡連接關系矩陣可視為連接關系子系統的狀態矩陣,其變化不僅是時變的而且也受節點狀態變化的影響.特別地,當連接關系子系統輔助網絡節點子系統實現外同步后,此時的網絡拓撲結構也會呈現出某種特定的形式,不同形式的網絡拓撲對應于不同的網絡背景要求.換句話說,在連接關系輔助節點實現外同步的同時,使網絡自身的拓撲結構呈現出事先指定的形式具有非常重要的現實意義.例如,星型結構常用于計算機網絡中,能使網絡內的設備便于集中管理和故障診斷[19];小世界特性的網絡結構有較高的聚合性和較短的平均路徑長度[20].研究發現,大腦結構和功能網絡具有小世界特性,有更快的信息傳遞速度,更強的計算能力[21].所以,在進行網絡外同步控制時,針對網絡的需求選擇合適的拓撲結構有助于提升網絡整體性能.

綜合上述考慮,本文研究下面的網絡外同步問題:考慮兩個網絡(驅動和響應網絡),在驅動網絡的動態連接關系未知的情況下,為響應網絡設計合適的節點控制器和網絡動態連接關系,使驅動和響應網絡對應節點間的狀態實現外同步,同時,響應網絡的最終拓撲結構能按照事先指定的方式呈現.

上列問題的實質是利用響應網絡的動態連接關系輔助實現驅動響應網絡之間的外同步,并且保證響應網絡的最終拓撲能夠按照事先指定的方式呈現,這類問題在現有的文獻中鮮有討論.針對這類問題,文獻[22,23]研究了網絡外同步控制問題,但不涉及網絡拓撲布局分析;文獻[24]實現了一類網絡結構平衡控制,但不關注節點狀態同步;文獻[25]不僅實現了網絡外同步,而且響應網絡拓撲呈現位驅動網絡拓撲表現形式,但響應網絡的拓撲表現并不是獨立的,需按照特定的形式呈現,并且與驅動網絡拓撲有關.由此可以看出,針對上列問題的完全解決方案鮮見于報道.

基于以上討論,與以往文獻相比,本文主要有兩點優勢:(1) 在對復雜動態網絡的認識上,本文將網絡的所有連接關系在整體上視為一個動態子系統(另一個是節點子系統),利用響應網絡的連接關系子系統輔助兩個網絡之間對應節點的狀態實現外同步;(2) 在控制策略合成方面,在驅動網絡的時變動態連接關系未知有界的情況下,為響應網絡的節點子系統設計自適應控制器,為連接關系子系統設計動態耦合結構,以此不僅能夠保證實現網絡外同步,而且能夠使響應網絡的最終拓撲按照事先指定的方式呈現.

1 模型描述和基本假設

(1)

(2)

注1通過驅動響應網絡模型中,可以看出本文提出的網絡模型由非線性項和耦合項組成,其中的耦合項中不僅含有網絡內部節點的耦合,還存在網絡間節點的耦合,這種形式體現出了復雜網絡的復雜性.

(3)

(4)

假設1引入的外部輔助矩陣信號X*是有界的,且狀態可測.

若假設2成立,容易驗證下列不等式成立:

2 外同步控制設計

(5)

式(5)中:λ1是正的可調參數,P1和P2為待設計項.

自適應律和響應網絡連接關系更新律如下:

(6)

(7)

式(6)、(7)中:λ2、ρ是正的可調參數.

由E=Z-Y和方程(3)、(4),得誤差系統方程:

(8)

將節點自適應控制器(5)代入式(8)可得誤差閉環系統動態方程:

(9)

考慮如下正定函數:

(10)

(11)

(12)

由自適應率(6)、連接關系更新率(7)和不等式(12)得

(13)

(14)

不等式(13)可以被重寫成以下形式:

(15)

(16)

注5定理1的使用步驟如下:

step1 考慮驅動網絡∑的節點系統(1),驗證非線性函數fi(yi,t)、耦合函數hj(y,t)以及連接關系lji(y,z,t)是否有界,否則定理1失效.

step3 確定外部輔助矩陣信號X*,判斷是否狀態可測且有界.

3 數值仿真

選擇連接關系矩陣:

選擇連續非線性向量函數:

選擇WS小世界網絡模型作為外部輔助矩陣信號,其中N=50,K=6,P=0.3.

注6WS小世界網絡模型生成步驟如下:

step1 選一個具有N個節點的環狀最近鄰耦合網絡,每個節點都與它左右相鄰的各K/2個節點相連,K是偶數.

step2 把網絡每條邊保持一個端點不變按概率P重連除自身外的另一個端點,其中不可重連.

由上述步驟生成的小世界模型如圖1所示.

圖1 小世界模型

圖2 誤差范數的響應曲線

圖3 連接關系誤差范數的響應曲線

圖4 本文連接關系xji的狀態響應曲線

圖5 本文參數估計量的響應曲線

4 結論

本文針對一類節點動態和拓撲結構相互耦合的復雜網絡外同步問題,通過給定的外部輔助矩陣信號,并基于節點動力學和lyapunov穩定性理論為響應網絡構造動態連接關系和自適應控制器,實現驅動網絡與響應網絡間的外同步.結果表明響應網絡的拓撲結構能夠按照預先設定形式呈現,同時實現網絡外同步,最后通過數值仿真驗證了本文的有效性.但是本文僅考慮耦合無時滯以及網絡節點內連的情況,但實際工程中時滯系統和網絡間的互聯情況也是廣泛存在的.因此,本課題組后續的研究工作將會圍繞以上問題展開探討.