關系與數量:分數概念理解的不同視角

馬紅斐, 楊伊生

(內蒙古師范大學a.教育學院 b.心理學院, 內蒙古 呼和浩特 011517)

雖然數量關系是人類表征世界的維度,但數量概念的學習和掌握卻不是一件容易的事.在種類繁多的數概念中,“分數”代表了有理數的一般形式,也是整數向實數轉變的重要中介.現實生活中,不僅成人的分數表征能力明顯弱于整數[1],小學生對分數的學習存在更大困難[2].在我國,分數教學從三年級開始,陸續進行到小學畢業,學生在分數學習中要經歷比數量、運算更為復雜的思維問題.

縱觀國內外已有的分數教學與認知研究,存在“關系”與“數量”兩個主體視角.關系概念關注學生對分數所反映的不同關系含義的掌握,以及圍繞這些含義分數概念結構的建構方式和途徑;數量概念的教學則側重于學生對分數數量大小的精確理解.從教學研究狀況看,分數關系表征的教學研究和實踐開始較早,涉及的內容也十分廣泛,國內的教材及教學中有著充分的體現;而數量概念的教學研究相對較少,認知領域的前沿研究成果主要源自國外.

1 分數關系概念的教學

分數“關系表征”的教學研究由來已久,最為全面的是Kieren等[3]立足有理數域進行的大量分析.他們認為有理數包含了部分/整體、比及比率、除商、測量和算子五個子成分.這些成分的共性在于用分數反映兩個量之間的關系,差異在于每種子成分所產生的運算操作不同,但總體上五種子成分共同構成了有理數完整的功能.相比其他數概念,分數多重含義的特性極大地增加了學習的難度.因為兒童對分數不同意義的理解不僅顯示其對分數或有理數概念的抽象能力,還涉及乘除法等運算,甚至有研究表明分數可以對乘法應用題學習起到預測作用[4].

1.1 部分/整體子概念是分數認知的基礎

分數的產生及特性源于其“分”的操作.國內多個版本的小學數學教材都用“整體平均分成若干部分,部分占整體的幾分之幾”來解釋分數.這種“分—取”操作定義使得分數最大限度地吸納了自然數的概念,學生可基于原有整數加減法的知識理解和掌握分數的符號規則.正如皮亞杰認為圖形和實物的分割操作包含了部分與整體的關系、部分之間的關系、份數與每份量的關系等多個認知要素.此外,部分/整體概念還承擔著幫助學生建立部分與整體同構性的任務.比如理解 1/2與2/4相等時,一個正方形從原來的二等分變成了四等分,均分后的整體塊數和拿取塊數雖然都擴大,但因其是同步進行的,所以擴大的部分被“抵消”,最終實際量沒有變化.由此可見,部分/整體同構的心理單元直接為等值分數的理解奠定了經驗基礎.

雖然部分/整體概念的認知難度較小,但也存在對“整體”的固化理解問題.具體而言,學生對整體的抽象經常受事物的數量或圖形形狀的干擾,而缺乏靈活可變性.其原因可能是多個離散的事物在視覺上不易被感知為整體,從而錯誤地讀取其數量信息[5],也可能與數學教師經常向學生強調單位“1”或單位量有關[6].尤其單位1的過分強調容易引發“整體恒大于部分,分子小于分母”的認知定勢.因此,在這部分的教學中建立部分/整體概念和克服“分數一定小于1”應當同步進行.

1.2 分數比的子概念

分數的“比”概念是對量概念的抽象,因為它突出了分數代表兩個其他量的比較關系,而不是將其當作一個絕對的數值來思考.當分數作為比概念理解時存在兩種情況:其一是被比較的兩個量屬于同類量,所形成的分數無量綱,只是一個比較指標;其二,被比較的兩個量分屬于不同的種類,也即有不同的單位,此時獲得的分數是有單位的,而且這個單位是一個新的復合單位,即新的量綱,如速度、密度等.顯然,兩種情況中分數作為比概念理解的難度是不同的.分數作為無量綱的“比”和“率”更容易被接受,因為它可以從最初部分/整體概念轉化得來.而有量綱的比不僅需要關注數量關系,還需要理解不同單位能對應的原因.因此,研究者認為無量綱的比更貼近分數的比概念的內涵7-8].

抽象是數學認知的重要工具[9],對于分數無量綱的比概念,理解的最大障礙就是從實際數量中抽取出相對比的過程.兒童最初可能采用計數和匹配的策略去理解單一情境中離散量的比率(如女生人數是男生人數的1/2),之后逐步發展到能處理跨情景或連續量的分數比率問題.例如,國外在測試兒童圖形類比推理能力時發現, 六七歲的兒童就能理解不同圖形所表示的相同比例(例如,1/2圓和1/2矩形;1/4圓和1/4矩形)對應的關系[10].除此之外,等值分數也成為分數比概念學習的難點.等值分數建立在分子和分母之間的商不變的基礎上,代表著大小相等的一組分數.換言之,每個分數都屬于一個等價集,該等價集中又包含無限個分數.等值分數的理解中,一方面,學生難以從一系列變化的量中發現共同的不變關系;另一方面,他們無法將這種關系主動用到其他的數值中.對此,國外甚至專門建立了分數實驗室(http://fractionslab.lkl.ac.uk/),為學生提供虛擬環境執行無法通過物理分割進行的分數操作.

1.3 分數的測量子概念

分數的測量定義也被認為是分數產生的原因之一.當以某個量為單位測定一個目標量時,往往會出現目標量不是單位量整倍數的情況,此時用分數來表示結果就是分數的測量含義.測量子概念強調了每一個分數都是其分數單位累積的結果,而且,這種累加的性質也使得分數與自然數、整數的構成保持了一致.但實際學習中,學生往往不會將測量含義作為分數概念表征的首選.其原因主要有兩方面:首先,與整數以1為單位的確定性不同,分數單位總是隨著分數的不同而變化.這就如同我們在測量長度時,被要求不斷更換厘米、市尺、米等不同刻度的尺子,單位的變更就足以造成混亂.其次,相比于最早學習的部分/整體概念,測量子概念較為復雜.因此當兩個概念都可以用來解釋分數時,學生傾向于用部分/整體的概念理解分數,而非測量概念.具體而言,盡管測量與部分/整體概念都體現了一種包含的關系,但部分/整體概念立足整體單位“1”,衡量整體之下包含的部分,而測量概念需要從給定的單位出發,“迫使”這個單位包含于被測的對象中.當給定的單位小于被測的對象時,學生要將其看成單位分數;而當給定的單位大于所測對象時,即使得到了分數結果,但“部分大于整體”接受起來仍有困難.例如,將8作為單位,去度量2時,得到了1/4.而在學生看來,這似乎與“把單位1平均分成4份,取其中1份”的概念是矛盾的.

1.4 分數商的子概念

整數除法和分數在邏輯上等價.當把分數a/b看作商時,它表示a、b之間的除法運算關系及其結果.商的運算要求學生較好地實現由“過程”向“對象”的重要轉變,后者就是所謂的“凝聚”[11].除法在現實生活中有兩種含義:一種是“包含除”,即總體確定后,根據一份的量計算出份數,也可以將其視為測量或重復相減;另一種是“等分除”,根據份數計算出每份的量,也就是學生最熟悉的平均分.分數的出現徹底打破了整除的局限性,學生不再需要考慮余數的問題,甚至可以成為小數認知的基礎.它還有利于澄清“兩個整數之間沒有數字”的誤解.然而教學也面臨著學生無法接受分數作為除法運算結果的尷尬.學生常常認為分數是“沒算完”,一直要將分數化為小數為止.只有當學生積累了大量分割經驗后,可以不通過畫圖等方式能直接回答出每份的量,以及每份量與整體的相對大小時,他們便真正理解分數商的概念.

1.5 分數算子的子概念

算子實則是映射,反映了兩個量關系的轉換方式,如把一個集合轉化為有a/b倍元素的另一個集合,這里的a/b就是轉換法則.分數的算子理解與前述部分/整體和除商概念都不相同,它凸顯了對關系本身的抽取及一個數量與算子結合產生新量的計算過程.Carraher[12]認為影響難度的不僅僅是分數的多少,還有分數在文字應用題中的作用.將分數理解為算子可以增強對分數乘法的理解,特別是對“整體中部分的再分割”的解釋,例如,求1/2的3/4.一定程度上,分數算子概念的掌握也可以看成是比例推理的過程.在小學數學學習中,分數更多出現在計算的情境下,這也使得分數成為一個不能獨立存在的概念,即每當學生看到分數,就會產生將其與一個參照數相乘的計算傾向.例如,實際教學中有學生認為“1/2元”是一個錯誤的說法,因為分數后面不可以有量詞.

綜上所述,分數的關系概念從平行的視角揭示了分數概念理解的獨特性與差異性,同時也說明分數教學的一項重要任務就是使學生在區分不同概念的基礎上,實現概念之間的聯系與轉換.

2 分數的數量概念理解

學生在小學階段學習的數概念包括整數、分數和小數三類.在數的大小比較和四則運算中,相比整數和小數,學生的分數數感最為薄弱.例如,學生在分數運算中傾向于將最終的計算結果化為小數.學生之所以不愿將分數視為獨立的量,主要是因為分數在數量表征上的特殊性.首先,分數有著與自然數不同的符號書寫規則;其次,分數因為沒有唯一的后繼者而不能形成有規律的排序;第三,任意兩個分數間都有無窮多個數,不存在最大和最小的分數;最后,分數的四則運算規則也與整數不同.分數在數學上和經驗上的特性也引發人們對“分數和整數是否有同樣的理解方式”的思考.在此基礎上,國外的研究人員主要利用認知心理學中“數字距離效應”(差值大的數字比較更快)和“空間數字聯合反應編碼效應”(左手對大數字反應更迅速)進行實驗,具體分析人們如何理解分數數量.

2.1 用分子或分母確定簡單分數的大小

博納特邀請大學生完成3組分數大小比較任務:(1)分母為2—9的8個單位分數分別與1/5、0.2比較;(2)分子分別為1到9、分母分別為4到6相互組合的分數與1進行比較;(3)x/5和1/x類型的分數(x為1—9)與1/5或1比較.實驗結果首先揭示了反向的“空間數字聯合反應編碼效應”的存在.這說明學生在單位分數比較中,只比較了分母,而不是分數值.其次,雖然小數0.2作為標準激發了學生對分數數量的感知,但學生還是將0.2化成1/5后比較分母;最后,學生對1/x與1/5的比較反應慢于x/5與1的比較,說明學生可能把時間花在“分母越小,分數反而越大”的轉換上.國外許多以大學生為對象的實驗說明,成人對分數數量的感知與提取達不到自然和準確,他們的優勢在于可以靈活使用策略規避對分數整體值的判斷.此外,國內的研究也指出,六年級學生都采用成分加工模式(僅比較分子或分母)而非整體加工模式(比較分數值)[13].同樣,在日常教學中,觀察分子和分母、通分等都是分數比較的重要方式.

2.2 整體比較復雜分數的大小

對于那些擁有相同分子或相同分母的簡單分數,學生多采用比較分母或分子的辦法.而對于沒有共同成分或者分子分母的數值都比較大的復雜分數,上述策略便會受限,于是分數的整體數值就不得不被讀取.美國學者在實驗中讓大學生分別將一位數分數(如2/9)和兩位數分數(如26/89)與3/5進行比較.結果發現,分數間的差值越小,比較所耗費的時間越長,而分數分子、分母的大小并沒有影響比較判斷的時間.因此,他們提出當單純比較分子或分母的簡單方法不能產生準確的結果時,成人可以通過直接估計分數值的方法比較分數大小.

此后該研究團隊對6—8年級(11—13歲)學生進行實驗[14].學生分別在0—1和0—5的數軸上通過拖拽鼠標估計:1/19、1/7、12/13等10個分數.結果發現這些學生的判斷非常不準確.而且這種數量認識的不準確還會直接影響學生對分數四則運算結果的判斷.而由Meert等[15]完成的10歲和12歲兒童比較同分子或同分母分數的實驗指出,即使擁有共同的成分,兒童也能通過整個分數值進行大小比較.但在反應時方面,擁有同分子的分數比較比擁有同分母分數的反應時長.這說明分母大小對較大分數的判斷仍有干擾作用.

上述研究爭議說明無論是成人還是兒童,人們對分數的數量理解都存在困難.相比而言,通過分子或分母進行的成分比較更加自如、快捷,而整體感知分數數值則可能占用更多思考時間.前者可以解讀為學生的整數學習經驗的遷移,但后者也啟發我們應深入探究學生分數數感建立的掣肘.

3 分數教學與認知中關系概念與數量概念的整合

分數多樣的關系概念和抽象的數量概念共同促成了分數學習的特殊性.關系概念反映了分數的動態形成過程,數量概念強調了分數作為數字所傳達的數值信息.相對于關系概念,分數數量概念的學習直接挑戰了兒童最初形成、也最為根深蒂固的數字計數經驗.學生對數量意義的理解不再是直接讀取其絕對量的大小,還會從量與量的相對關系的視角加以理解.因此,分數概念的教學不但應兼顧兩種概念,而且應實現兩種概念的整合.具體而言,分數數量概念和關系概念具有共生性:數量概念的生成對關系概念具有依賴性,關系概念可以成為數量概念理解的基礎.這是因為關系概念呈現了分數多樣化的存在形式,雖然復雜但卻為數量概念的抽象提供了認知素材和操作過程.例如,在學習分數之前,學生對于兩個量的比較只有一種方法——相減求差.但在學習分數的比概念之后,學生可以用除法的方式實現兩個量的比較,而且這種方法不僅動態呈現了分數的由來,也可以反映整數與分數的聯系.因此,分數教學的重點應當是挖掘分數關系與數量的同構性,打通分數與整數和小數的聯系,從而幫助學生構建完整的數概念體系.其具體操作可從教學內容和教學方法兩方面入手.

其一,重構教材及教學內容,實現分數概念的多元滲透與相互交融.目前國內不同版本的小學數學教材多按照分數的初步認識、分數的意義、百分數、比例的順序編排內容,著重體現概念由淺入深、由一般到特殊的認識路徑.這樣的編排方式固然符合認知規律,但對于一些較為具體的概念內容則不易精準呈現.例如,三年級所學的分數初步認識主要介紹了部分/整體的分取含義,由于它是分數的初始概念,再加上內容的直觀性,學生對概念的理解十分深刻,甚至當遇到其他無法理解的分數概念時,他們會將其還原為部分/整體概念,而且,問題的難度越大,這種還原傾向就愈加明顯.這說明僅靠一種關系概念來理解分數是不夠的,每個子概念的獨特屬性和關系之間的連接點及轉換方式也都應成為教學的著力點.因此,分數的教材編寫和教學內容設計可以適當借鑒五種子概念的分類方法,幫助學生建立更加精細的分數概念體系.

此外,相比國外研究對分數數量概念的重視,我國的教材及教學中分數數量概念多以四則運算來體現.雖然不能否定計算在促進數量大小理解中的重要性,但是分數運算的特殊性卻極易引發學生“僅關注計算程序,而忽略數值”的問題.例如,“整數偏向”常常是制約分數比較和計算的瓶頸,典型的錯誤包括:1/3+1/2=2/5;認為帶分數2又1/2中2與1/2是相乘的關系;堅信分數乘除法也遵循“越乘越大,越除越小”的規律……表面上,這些計算問題是對整數運算規則的不當遷移,但根本上卻反映了學生缺乏對分數單位、相對性、稠密性和無限性等內容的深入理解.因此,除了常規的算式計算,教材和教學還應更多地運用數軸等直觀工具強化學生對數量的感知.

其二,關注學生分數學習中概念偏狹及孤立的問題,在分數概念內部以及數概念之間建立整體聯系.雖然分數概念研究呈現了關系和數量兩種不同的理解視角,但也揭示了學生理解每種概念的困難以及兩種概念整合的欠缺.比如實際教學中,分數的“量率對應”常常成為難點[16],而其實質是學生對分數算子概念的固化理解.由于算子概念凸顯了分數作為數量變化“調節器”的作用,加之教學中的計算練習使得學生將注意集中于分數的比率含義,而忽視了“率”導致的“量變”.與此問題類似,分數的測量概念也是學生理解的薄弱環節.當面對在數軸上標注分數的情景時,學生往往因忽略數軸的數值范圍,而無法確認分數的精確位置.其主要原因在于學生受分數部分/整體的分割經驗及算子概念的影響,傾向于先將整個數軸看作一個整體,之后再按照比率去分割.然而,測量概念的核心在于分數作為單純的數字,與其他數字比較會產生數量大小的差異.由此可見,分數測量概念不但與其他關系概念有較大差異,而且也具備幫助學生理解分數數量概念的優勢.

不僅如此,放眼數概念的整體結構,分數的關系概念也在一定程度上造成了分數與整數和小數的差異.計數單位是聯通數概念的基礎.整數以1做單位,小數以0.1、0.01等為單位.相對于這些穩定的單位,分數則要依托變化的分數單位,即每個分數的大小是其自身分數單位累積的結果.顯然,單位累積的視角有利于分數融入整數和小數的數概念系統,而整體中的若干部分的關系概念理解則會讓三者的聯系產生困難.盡管如此,現實狀況是分數關系概念的理解更多地遷移了學生原有的整數經驗,從而使學生對其產生依賴,難以主動構建分數的數量概念.因此,分數數量概念可以首先由部分/整體概念建立分數單位,之后再強化分數是分數單位累積的認識.換言之,這里分數單位的理解是分數關系概念向數量概念轉化的縮影.若從數感抽象與量感的視角看[17],分數是對多樣化數量關系二次抽象的產物,而這種多樣化數量中也包括了整數和小數.總體上,進一步挖掘關系概念在分數概念乃至數概念理解中的作用顯得必要而迫切.