帶斜撐巨型框架－核心筒結構協同分析的哈密頓對偶體系?

胡啟平 ，林 凱 ，周 娟

（1.河北工程大學 土木工程學院 河北 邯鄲； 2.邯鄲職業技術學院 河北 邯鄲）

0 引言

結構大師Fazlur Khan［1］于1972 年首次提出帶斜撐巨型框架，工程師們常在設計巨型框架時增加巨型斜撐來提高結構的抗側剛度以及結構整體穩定性［2］。帶斜撐巨型框架－核心筒結構抗側剛度較大，整體穩定性較好，在超高層建筑結構中應用較多。國內有工程實例采用帶斜撐巨型框架－核心筒結構體系，例如天津高銀117 大廈，深圳平安金融中心等。支撐方式不同會對巨型框架－核心筒的破壞機理和抗震性能產生影響［3］。鄒勇強等［4］對鋼框架－混凝土核心筒結構進行分析，在鋼框架設置巨型斜撐，可以顯著地提高結構的剛度、鋼框架與核心筒的協同工作性能。陳麟等［5］對設置巨型支撐的巨型型鋼混凝土框撐－核心筒結構進行分析，設置巨型支撐可增大外部巨型框架的抗側剛度，使結構的整體抗側能力得到顯著提高，在地震作用下，外部巨型框架可作為第二道抗震防線，提高整體結構的抗震性能。包世華等［6］在連續化的基礎上，計算出框筒、筒中筒在水平荷載作用下結構的側移與內力。郭偉亮等［7］以結構連續化方法為基礎，對斜交網格筒結構進行了簡化分析，推導了結構在三種水平荷載作用下的側移公式。李劍等［9－10］在連續化的基礎上，建立了帶斜撐巨型框架－核心筒的簡化模型，建立問題的平衡微分方程，求解出帶斜撐巨型框架－核心筒結構在水平荷載作用下的側移和內力。胡啟平等［11－15］將建筑結構的各抗側力單元看作具有彎曲變形、剪切變形的鐵摩辛柯梁，提出了建筑結構分析的并聯鐵摩辛柯梁模型，用哈密頓力學的方法對框架－剪力墻、筒中筒結構進行分析，采用精細積分法求解了結構的內力與變形，具有推導過程簡單，精度較高等優點。

本文沿用李劍等［10］提出的連續化模型，將帶斜撐巨型框架與核心筒分別等效為懸臂梁，等效后的懸臂梁具有彎曲剛度和剪切剛度。采用并聯鐵摩辛柯梁模型，在哈密頓力學體系下導出結構協同分析的哈密頓正則方程，用精細積分法計算結構在水平荷載作用下的內力及變形，避免了繁瑣的數學和力學推導，數值計算精度較高。本文方法可準確分析帶斜撐巨型框架與核心筒協同工作性能，在初步設計階段可對結構方案進行試算和快速分析。

1 計算模型

帶斜撐巨型框架－核心筒結構是一種雙重抗側力結構體系，抗側力單元由外部巨型框架與內部核心筒構成。在水平荷載作用下，外部巨型框架與內部核心筒通過樓板的作用協同工作，共同抵抗水平方向產生的傾覆力矩和剪力。對帶斜撐巨型框架－核心筒結構協同分析時，將帶斜撐巨型框架與核心筒分別等效為底端固定、上端自由的懸臂梁，將樓板等效成剛性連桿，建立帶斜撐巨型框架－核心筒協同分析的計算模型［10］，如圖1 所示。建立模型時采用如下基本假設： （1） 結構處于彈性工作階段。（2） 外部巨型框架與核心筒之間通過每層的剛性樓板進行連接。（3） 樓板在自身平面內剛度無窮大，變形可忽略。帶斜撐巨型框架與核心筒之間通過樓板相互聯系并協同工作。

圖1 帶斜撐巨型框架－核心筒計算簡圖Fig.1 Calculation diagram of mega－braced frame－core tube

假定建筑結構的各個抗側力單元都具有彎曲變形、剪切變形，均可看作豎放的Timoshenke 梁。樓板在自身平面內是剛性的，將樓板的作用沿高度連續化，采用并聯鐵摩辛柯梁模型［13－14］對帶斜撐巨型框架－核心筒進行協同分析。帶斜撐巨型框架－核心筒結構有巨型框架與核心筒兩個抗側力單元，帶斜撐巨型框架的等效抗彎剛度為E1I1，等效抗剪剛度G1A1，側移為ν1，截面轉角為θ1。核心筒等效抗彎剛度為E2I2，等效抗剪剛度為G2A2，側移為ν2，截面轉角為θ2。由基本假設可知，帶斜撐巨型框架與核心筒側移相同，即ν＝ν1＝ν2，作用在結構上的總的水平分布荷載為q。

帶斜撐巨型框架－核心筒結構中的帶斜撐巨型框架是由巨型柱，斜撐以及環帶桁架組成。四根巨柱與斜撐在兩個方向相連，形成一個空間桁架筒。在對帶斜撐巨型框架簡化分析時，假設材料是線彈性的，帶斜撐巨型框架均為等截面。假設結構承受對稱水平荷載，且不考慮結構的扭轉效應，選擇一榀帶斜撐巨型框架進行分析，計算簡圖如圖2 所示。帶斜撐巨型框架的總高度、總寬度分別為H、B，巨型柱的區段高度為h，巨型柱的抗彎剛度EcIc，巨型柱的軸向剛度EcAc； 斜撐的抗彎剛度EbIb； 斜撐的軸向剛度EbAb； 環帶桁架的等效抗彎剛度EtIt； 環帶桁架的等效軸向剛度分別為EtAt。巨型柱、斜撐的抗彎剛度可依據材料力學公式直接求解，環帶桁架等效抗彎剛度以及軸向剛度的計算參閱文獻［9］。

圖2 帶斜撐巨型框架平面模型Fig.2 Plane model of mega－frame

取巨型柱高度為h 的區段推導帶斜撐巨型框架的抗彎剛度、抗剪剛度，計算簡圖如圖3。將帶斜撐巨型框架等效為具有抗彎剛度和抗剪剛度的懸臂梁，等效后的抗彎剛度E1I1、抗剪剛度G1A1用矩陣位移法進行求解，計算方法可以參閱文獻［9］。計算公式如下：

圖3 巨型柱區段高度為h 的計算簡圖Fig.3 Calculation diagram of the height of with diagonal braces giant column section h

其中α＝arctan(h／B)

帶斜撐巨型框架－核心筒結構中的核心筒為帶連梁的核心筒，連梁連接四片“L” 型剪力墻構成核心筒。帶連梁核心筒可采用雙肢墻的力學模型進行分析，引入等效剛度的概念，推導出帶連梁核心筒結構等效抗彎剛度E2I2、等效抗剪剛度G2A2，具體計算方法可參考文獻［9］。

2 帶斜撐巨型框架－核心筒協同分析的哈密頓體系

帶斜撐巨型框架－核心筒結構具有兩個抗側力單元，將每個抗側力單元看作為豎放的鐵摩辛柯梁，均考慮其彎曲變形和剪切變形，形變勢能為

樓板是剛性的，故不用考慮其形變勢能。外力勢能為

則帶斜撐巨型框架－核心筒結構的總勢能為

拉格朗日函數為結構的總勢能密度，也就是結構的單位高度的總勢能。根據帶斜撐巨型框架－核心筒結構的總勢能表達式，可得到結構的拉格朗日函數為

3 數值計算

公式（10） 為帶斜撐巨型框架－核心筒結構協同分析的哈密頓正則方程，該方程是對偶的一階微分方程組。哈密頓體系建立起來后進行求解時需要給出邊界條件。對于我們所研究的高層結構，底部固定，可取qa＝0； 頂部自由，可取pb＝0。qa為結構底部廣義位移；pb分別為結構頂部廣義力。采用兩端邊值問題的精細積分法［8］，可以求解結構各結點的廣義位移、廣義力，即[q，p]T＝[v，θ1，θ2，V，M1，M2]T，V為結構的總剪力，M1，M2分別為帶斜撐巨型框架、核心筒的彎矩，整個求解過程可通過簡單編程來實現。求得外部巨型框架的彎矩為M1(x) ，巨型柱的軸力可用應力乘以截面面積進行求解［9］：

巨型框架的水平剪力是由巨型柱的剪力和斜撐軸力的水平分量承擔。巨型框架的剪力為V1(x) ，巨型柱的抗剪剛度GcAc，巨型斜撐的抗剪剛度為GbAb，

則巨型柱剪力［9］：

4 計算實例與分析

選取參考文獻［10］ 的算例進行分析，帶斜撐巨型框架－核心筒結構模型如圖4 所示。結構總高度為600 m，結構總寬度為60 m，巨型柱區段高度為60 m，結構層高為5 m，核心筒寬度為30 m，核心筒厚度為1.2 m，墻肢長度為12.5 m，連梁高度為1 m，巨型柱截面尺寸為5 m× 5 m，巨型斜撐尺寸為1800 mm×900 mm×50 mm×150 mm，環帶桁架桿的尺寸為1000 mm×800 mm×100 mm×100 mm，鋼材的彈性模量2.06× 105MPa，混凝土的彈性模量為3.6× 104MPa。采用文獻［9］ 計算方法，求得帶斜撐巨型框架的等效抗彎剛度E1I1＝3.4× 1015N·m2，等效抗剪剛度G1A1＝1.75×1011N； 核心筒等效抗彎剛度E2I2＝5.56× 1014N·m2，等效抗剪剛度為G2A2＝7.48× 1011N。結構承受頂點集中荷載為60000 kN。

圖4 帶斜撐巨型框%架－核心筒體系Fig.4 The system of mega－braced frame－core tube building

對上述算例我們采用本文提出的方法進行了計算。為便于比較，我們還采用空間模型（如圖4所示） 用有限元方法進行了計算。

4.1 結構側向位移

采用本文方法求得的帶斜撐巨型框架－核心筒頂點側移為1233.90 mm，文獻得到的頂點側移為1234.74 mm，采用有限元求得的頂點側移為1226.4 mm。本文求得的頂點側移和文獻以及有限元結果誤差均不超過1%。本文得到的結構側向位移與有限元結果基本吻合，如圖5 所示。結構的側向變形呈“彎曲型”。底部樓層的層間側移較小于頂部樓層的層間側移，層間側移角隨著樓層高度的增加依次增大。

圖5 結構側向位移Fig.5 Lateral displacement of structure

4.2 結構的內力分配

以巨型柱的區段高度60 m 為控制點，求得的內力值如表1

圖6 為結構的彎矩分配圖。由圖可知，采用哈密頓力學方法求得的彎矩與有限元得到的結果基本吻合帶斜撐巨型框架承擔較多的彎矩。圖7為結構的剪力分配圖。由圖可知，除底部少數樓層外，其它樓層帶斜撐巨型框架與核心筒分擔的剪力沿高度變化不大，近似為一定值，外筒承擔了大多數剪力，與內外筒抗剪剛度之比完全相反；在結構底部少數樓層，帶斜撐巨型框架承擔的剪力從上到下依次減小，內部核心筒承擔的剪力依次增大。除了在樓層底部和設置環帶桁架處，本文方法得到的內外筒剪力與有限元得到的剪力基本一致。本文用哈密頓力學的方法對結構進行協同分析時采用了連續化假設，得到的內外筒的剪力是連續的，采用有限元得到的樓層剪力在環帶桁架處存在剪力突變。帶斜撐巨型框架－核心筒結構與傳統的框架筒體結構受力機理不同，外部巨型框架承擔了較多的彎矩和剪力。

圖7 內外筒剪力分配Fig.7 Shear distribution of inner and outer tube and outer tube

4.3 結構內力、變形影響因素分析

抗剪剛度和抗彎剛度對結構的側向變形和結構內力影響較大。斜撐可提高結構的抗側剛度以及整體穩定性，控制其它參數不變，改變斜撐的橫截面尺寸探討對結構側向變形以及內力的影響，將斜撐橫截面尺寸由原來的1800 mm×900 mm×50 mm× 150 mm 改 變 為1800 mm × 1800 mm ×200 mm×200 mm、900 mm×900 mm×150 mm×150 mm。

由表2 中的數據可得到，改變斜撐的面積對結構頂點側移和彎矩分配影響較小，但是對剪力分配影響較大。巨型斜撐面積越大，在側向荷載作用下外部帶斜撐巨型框架承擔的剪力就越多。

表2 結構內力、位移對比Table 2 Comparison of internal force and displacement of structure

5 結論

（1） 本文將帶斜撐巨型框架與核心筒分別等效為底端固定、上端自由的懸臂梁，懸臂梁有彎曲變形和剪切變形，建立帶斜撐巨型框架－核心筒計算模型。用哈密頓力學對帶斜撐巨型框架－核心筒結構進行分析，導出哈密頓對偶體系，用精細積分法進行求解，具有概念清晰、推導過程簡單、計算簡捷等特點，避免了傳統方法復雜的理論推導。針對帶斜撐巨型框架－核心筒協同分析提出了一種新的計算方法，并通過工程案例，與參考文獻以及有限元的計算結果進行對比分析，驗證本文方法的可行性。

（2） 超高層結構自由度較多，計算分析工作量較大。對結構采用簡化模型分析時，計算簡便，同時可以快速把握結構的整體受力性能。本文采用哈密頓力學的方法對帶斜撐巨型框架－核心筒結構進行簡化分析，可以準確把握結構協同工作的性能，可用于初步設計階段時對結構方案進行快速受力分析。

（3） 計算結果表明，水平荷載作用下，帶斜撐巨型框架－核心筒變形呈“彎曲型”； 除結構底部少數樓層外，帶斜撐巨型框架和核心筒分擔的剪力沿高度變化不大； 在結構底部少數樓層，帶斜撐巨型框架的剪力逐漸減小，內部核心筒的剪力逐漸增大； 斜撐面積越大，水平荷載作用下外部巨型框架承擔的剪力越多。