量子糾纏與時空結構＊

林淑怡，葛先輝，田立君

上海大學 理學院物理系，上海 200444

1 量子糾纏的研究歷程

1935年，愛因斯坦(Albert Einstein)、波多爾斯基(Boris Podolsky)與羅森(Nathan Rosen)提出了著名的EPR佯謬[1]。當時，愛因斯坦認為所有的物理現實存在都是確定的，并且可以通過測量發現其精確的屬性。與之相反，其他量子力學的支持者，即哥本哈根學派的物理學家們認為現實存在似乎從根本上是不確定的。粒子直到被測量的那一時刻，才具有一定的性質。在愛因斯坦等的思想實驗中，量子理論可以使兩個粒子形成量子系統，對這兩個粒子進行測量的結果之間具有強烈的聯系，即在處于糾纏態的粒子1與粒子2分開的時刻就已攜帶了某種預定的關聯特性。未知的某些“隱藏變量”決定了粒子1與粒子2自旋方向的測量結果。按照哥本哈根學派的觀點，處于非常遙遠距離的粒子1與粒子2之間，在某一時刻測量粒子1時，可以立即確定出粒子2的具體屬性。此刻信息傳播的速度遠超光速，這有悖于相對論的核心原則，愛因斯坦將這樣的結果稱為“幽靈般的超距作用”。該思想實驗的本意是為了反駁當時哥本哈根學派主張的量子理論，提出量子物理可能忽略了一些可以解釋明顯的量子物理悖論的“隱藏變量”。然而，這個實驗引入了量子物理學最為奇怪的效應之一——量子糾纏。這是量子糾纏第一次被提出并被引入量子理論的體系之中。

1964年，貝爾(John Bell)設計了一個可以解決以上爭論的實驗：兩位物理學家沿著不同的坐標軸測量糾纏粒子的自旋。此時我們可以發現，糾纏粒子不僅僅是“自旋向上”或“自旋向下”的，它們的自旋方向還會沿著左右或隨機的方向[2]。根據愛因斯坦的關于“隱藏變量”影響測量結果的觀點，粒子1具有早已預定的自旋方向，改變坐標軸應該對測量結果沒有影響。然而貝爾的測量結果與愛因斯坦的觀點相悖。該實驗表明，相互糾纏的粒子狀態具有極大的相關性。量子糾纏的測量結果無法用“隱藏變量”的觀點來解釋。

1969年，克勞澤(John F.Clauser)和同事改進了貝爾思想實驗，運用偏振光子模擬電子自旋，第一次在實驗室里將貝爾思想實驗的理論轉化成實踐。在實驗室中，他們使光子具有不同偏振方向，就像電子自旋一樣，不同的偏振方向的光子可以通過對應方向的濾光片?？藙跐上Ｍㄟ^這個實驗來觀察貝爾思想實驗基于現實世界的數據。

當時，克勞澤的實驗不被看好，因為包括費曼(Richard Feynman)在內的物理學家們認為量子力學不需要實驗證明。1972年，克勞澤和同事用濾光片測量了一對糾纏光子的偏振方向。令人激動的是，他們成功實現了貝爾思想實驗的初步實驗室證明，這意味著在現實世界中，量子糾纏效應的實驗證明邁出了第一步。

盡管克勞澤的實驗符合了貝爾思想實驗的結果，但貝爾理論的實驗室證明并不能證明愛因斯坦的理論是錯誤的，因為在這組實驗中，不能排除濾光片擺放的位置觸發了“隱藏變量”的產生條件，使得實驗結果恰好是所需要的。要證明愛因斯坦理論是錯誤的，還需要更有隨機性的多組實驗進行證明。阿斯佩(Alain Aspect)在巴黎進行了一系列嚴格的實驗測試，最終在1982年完成了一個極其復雜的證明實驗。此次實驗在光子從發射器飛到透鏡的十億分之一秒內，透鏡的方向會隨機改變。這種方式可以避免在光子發射時刻與透鏡產生的“隱藏變量”，排除了透鏡的配置與位置對實驗結果的影響，證明了貝爾理論與量子力學的正確性[3]。

克勞澤與阿斯佩的一系列實驗似乎可以得出量子力學已被證明的結論。然而，物理學家們發現，在這一系列嚴格的實驗中，仍然存在著一個非常細微的漏洞需要解決。這個漏洞就是在實驗開始的時候，一個非隨機的過程是否會決定透鏡的更新方式？在2017年，塞林格(Anton Zeilinger)領導的團隊利用數百年前遙遠恒星發射出的光子的顏色來確定實驗設置，進一步縮小了這一漏洞[4]。這個初始條件極大地降低了糾纏結果的“預定”。如果愛因斯坦所說的“隱藏變量”存在，那么在數百年前，這個糾纏條件就已經被觸發。當時，仍有少數物理學家堅持愛因斯坦的觀點，認為所有物質的量子糾纏的測量結果早在宇宙大爆炸時期就已經確定，但大部分物理學家接受了克勞澤、阿斯佩與塞林格三人的實驗與觀點，盡管粒子對系統存在量子糾纏現象的原因并不完全清楚。要結束這長達80多年的爭論，物理學還需要一個完美的實驗證明。

目前，物理學雖然沒有一個絕佳的量子糾纏實驗證明，但克勞澤、阿斯佩與塞林格三人的實驗對于量子糾纏證明具有開創性的貢獻。2022年，克勞澤、阿斯佩與塞林格榮獲諾貝爾物理學獎?！白罡镜膯栴}是，量子糾纏從根本上說到底意味著什么?我們沒有答案。這(量子糾纏)是一個新的研究途徑?！比指裾f。我們期望在未來能夠實現量子糾纏的解釋與完全證明。

2 糾纏熵的分類與計算

量子糾纏是量子力學的一種基本效應，為了量化研究量子糾纏，物理學家引入“糾纏熵”這一概念。經典物理中，熵最先出現在開爾文(Lord Kelvin)與克勞修斯(Rudolf J.E.Clausius)提出的熱力學第二定律中，即熱力學系統從一個平衡態經絕熱過程到達另一個平衡態，系統的熵永不減少。后來，熵的概念被推廣到統計物理與信息科學領域用來表征系統的信息量，稱為信息熵[5]。

類比于熱力學熵與信息熵，糾纏熵表示量子力學系統中的量子糾纏大小，是目前主流的糾纏度量之一。糾纏熵最先是由馮?諾依曼(von Neumann)在研究量子力學系統時定義的，是測量系統被分割之后信息丟失的統計力學熵。馮?諾依曼糾纏熵定義為：

其中ai為約化密度矩陣ρA的特征值。值得注意的是，處于純態的系統其糾纏熵始終為零。另外，局域的幺正操作不改變糾纏度。目前，主流的量子糾纏度量還有相對糾纏熵[6]、形成糾纏度[7]、糾纏負值度[8]等。

量子信息領域中，被觀測物不僅依賴于時間，也依賴于它在流形中的空間位置。在離散化的空間中計算被觀測物的糾纏熵，并得到其相關信息。一個晶格間距為?的晶格系統，需考慮一個長度為L的子區域A，我們用如下公式可以計算糾纏熵[9]。在整個希爾伯特空間選取一個隨機態，根據Page公式[10]，子區域A的糾纏熵滿足體積律：

其中D-1是空間區域的維數，?為UV(紫外)截斷，糾纏熵體積律主要適用于高度激發態系統。我們通常對隨機態不感興趣，而是將注意力集中在量子態上。對于糾纏只發生在相鄰的晶格點之間的局域哈密頓系統的基態和激發態，糾纏熵滿足面積律：

其中γ是與系統相關的系數，省略號后是較小的領頭項。面積律中，糾纏主要來自子區域A邊界(記作?A)附近相鄰態之間的短程糾纏。其計算的糾纏熵數值比體積律中計算得到的數值小很多。在某種意義上，我們希望物理狀態包含較少的糾纏。結果證明，面積律符合晶格系統的實際情況。但當D=2時，系統中基態有足夠的長距離糾纏，面積律將不適用。在此情況下，臨界系統的子區域A的糾纏熵滿足對數律：

其中C為二維共形場論中的帶電中心荷，L為區域A的時間切片面長度?？梢钥吹?，熵與中心荷成正比，與UV截斷有對數關系。我們可以將上述公式推廣到更復雜系統中，度量特定的糾纏熵。

3 全息糾纏熵與幾何

1995年，弦理論的創始人之一薩斯坎德(Leonard Susskind)結合荷蘭理論物理學家霍夫特(Gerardus 't Hooft)的早期想法，提出引力全息原理——“三維世界是一個數據圖像，可以像全息圖像一樣儲存在二維投影上”的猜想。例如，在普朗克尺度下，我們所在的世界可以通過二維投影來理解[11]?；谝θ⒃?，他猜測引力理論與量子場論之間存在某種對應關系，即一個(d+1)維時空上的引力理論可以通過其邊界上的d維無引力的量子場論來等效描述，就像進行全息投影一樣。類似于柏拉圖的洞穴理論，一群人生來就只能面對洞穴中的一面墻且不能回頭，當火把與其他各式各樣的人從他們后面經過時，他們只能看到墻壁上的投影。洞穴人所認為的世界就是墻上的影子，認為世界是二維的。恰恰相反，在全息原理中，真實世界是墻上的影子，即二維的世界。當時，薩斯坎德提出的猜想留有一些令人困惑的問題，例如，全息原理能否保持系統某些特征與連續對稱，如平移、旋轉和完全洛倫茲變換是否遵循諾特定理。如果物理學家能夠建立適用于全息投影的物理框架，就能夠極大程度地簡化復雜的物理問題，這將可能成為解決量子引力問題的重要方法。

不久，這個猜想就有了新的證明。1997年，馬爾達西那(Juan Maldacena)發現超弦理論中十維時空AdS5×S5上的Type IIB弦理論對偶于四維N=4SU(N)的超對稱Yang-Mills規范理論[12]，首次在弦論中實現了全息對偶，并提出AdS/CFT猜想。其中AdS代表一個曲率為常負數的(d+1)維時空，即反德西特(AdS, anti- de Sitter)時空；CFT(conformal field theory)則代表等價的d維時空中的共形場論。AdS/CFT來源于弦理論，在全息理論中，AdS是含有引力的時空，比定義為在沒有引力的量子空間中的量子場論CFT高一維度[13-15]，即引力時空中的區域對應于低一維量子場論中的邊界。另外，AdS比CFT多出的一個維度對偶于共形場論中的能量尺度。利用全息對偶，我們可以在共形場論中理解復雜的量子引力問題，也可以在它對偶的量子引力理論中解決量子共形場論問題。盡管這個理論缺少對量子引力理論對偶的詳細描述，但關于糾纏熵的計算，物理學家們似乎找到了一個新的實現途徑。

2006年，量子場論的糾纏熵計算迎來第一個結果。日本物理學家笠真生(Shinsei Ryu)和高柳匡(Tadashi Takayanagi)提出，在共形場論中，邊界上有任意一個(d+1)維的子系統A，區域A的量子糾纏熵對偶于(d+2)維AdS時空中同樣邊界上的曲面中面積最小的一個，即“面積定律”[16]：

其中γA是AdSd+2中余二維靜態時空的最小曲面的面積，即與子系統A的同源的RT(Ryu-Takayanagi)面。三維情況下也是一條測地線，邊界由?A給出；GN(d+2)是(d+2)維的牛頓引力常量，這個公式被稱為RT公式。RT面是AdS時空中的一個類空面，RT公式描述的是一個靜態時空，所以RT面不依賴于時間。在AdS時空邊界任取一個子區域，可以得到低一維的CFT(圖1(a))；根據“面積定律”，極小表面γA對只能接觸到子系統A的觀察者起著全息屏幕的作用(圖1(b))。并且，由糾纏熵的互補性，我們可以得到與子系統互補的子系統B的糾纏熵SB等于子系統A的糾纏熵SA。在低維時空中，RT公式能夠與直接從CFT計算的糾纏熵數據完全重合。然而，在d≥2的更高維度中，因為引力與強耦合規范理論描述相對應，而強耦合規范理論的熵暫不確定，所以糾纏熵的計算很難進行定量比較。

圖1 (a)AdS3空間中，CFT2位于其邊界上；(b)測地線γA作為全息屏幕[16]

4 時空來自量子糾纏

全息糾纏熵給出了AdS/CFT全息對偶的一個強有力的證明。同時，它也將量子糾纏與時空幾何聯系起來。事實上，在此之前的研究表明，黑洞也存在幾何面積與物理量的聯系。

在20世紀70年代，霍金(Stephen William Hawking)提出黑洞面積不減定理，即黑洞的表面積隨著時間只能增加不能減少[17]。而后，貝肯斯坦(Jacob Bekenstein)發現黑洞的面積不減定理與熱力學第二定律之間存在著驚人的相似性，可以將黑洞永不隨時間減少的表面積類比經典物理學中永不隨時間減少的熵。貝肯斯坦史無前例地在黑洞物理學中引入了熱力學物理的概念，最先提出了“黑洞熵”一詞，并且得到了黑洞熵與四分之一的黑洞的視界面積A成正比的結論[18]：

根據熱力學第二定律，在同樣大小的一個球形區域里，其他任何物質態的熵都不能超過黑洞。一般來說，熵是與體積成正比的，而這里的熵與黑洞視界面積成正比，意味著黑洞熵并不是時空局域的，它一定有某些特殊的含義。

全息原理就是基于黑洞熵的結果被提出的，它也存在著關于定域性的量子糾錯悖論。正如上節所提到的，共形場論對偶于AdS中的引力理論，引力場中的每一個態都對應著邊界量子場論中的一個態。那么，如果體時空內部有一個離邊界很遠的電子，攜帶某個特定方向的“自旋向上”的信息，它的電子波函數在某個點的局域范圍內，根據全息對偶的條件，我們可以在邊界找到與之對偶的態電子，從而操控體內部電子攜帶的自旋方向的信息，使之“自旋向下”。這看上去非常自然。但是，如果體時空滿足相對論，那么信息傳遞的速度就不能超過光速。當我們從邊界上操控電子自旋，它的信息幾乎在瞬間就傳遞給遠處的電子，這與體時空的定域性相矛盾，即量子糾錯悖論。

2014年，阿姆黑利(Ahmed Almheiri)、董希和哈洛(Daniel Harlow)三人提出了關于這個悖論的解釋[19]。在此之前，人們已經可以利用全息原理的局部重構技術，將體時空中某局域電子攜帶的信息對應到邊界上的子區域中，縮小了對應的范圍[20-21]。他們認為，用小區域來操控體時空中的電子的信息是不可能實現的。如圖2所示，A區域非常小，該區域的觀測者無法實現對電子的操控。在觀測者看來，A區域與電子的距離非常遠，導致觀測者產生信息傳遞速度超過光速的悖論。如果要操控電子，我們必須選取更大的區域，如圖2中的B區域。作為B區域的觀察者，無法同時在大區域的邊界找到并操控電子對偶的區域，使得電子所攜帶的自旋信息產生變化。我們發現，量子糾錯的核心機制和經典計算機的糾錯十分類似，即把量子信息以一種冗余的方式儲存在一個更大的系統里，以保證如果系統的一部分出了錯誤，還能從未出錯的剩余部分中把信息提取出來[22]。電子所攜帶的自旋信息可以看作是一種“量子編碼”，它儲存在大系統中，即便出現錯誤也可以從沒有錯誤的部分提取出信息來。這樣，體時空引力理論的定域性實際上來自全息對偶作為一個“量子編碼”的量子糾錯性質。這種量子糾錯的性質與RT公式密切相關[23]。因此，我們利用RT公式得到的糾纏熵，對于實現量子糾錯有重要的貢獻。

圖2 體時空中x處的電子不能被邊界上的A區域控制，而大區域B可以直接操控它[21]

在量子糾錯悖論得到解釋之前，RT公式也有相應的發展。我們計算糾纏熵的方法在不斷豐富與完善。2007年，胡本尼(Veronika Hubeny)、讓加曼尼(Mukund Rangamani)和高柳匡三人將RT公式擴展至時間依賴的廣義AdS時空中，并提出了RT公式的協變推廣形式的糾纏熵HRT公式。在AdS/CFT對應的背景下，糾纏熵與邊界上特定區域相關，并且隨著類光測地線的膨脹消失，由共維體時空曲面的面積給出[24]：

其中Area(χ)是體時空中與邊界子區域R同源的極值HRT面χ的面積。當體時空是靜態時空時，Area(χ)會簡化為最小曲面，即RT公式中的γA面。RT公式與HRT公式是最低階的半經典貢獻項。在量子場論中，我們需要考慮量子漲落貢獻及量子修正項，即RT面與邊界子區域圍成的體區域內物質場的糾纏熵貢獻。

隨后，在2013年，?？思{(Thomas Faulkner)、萊科維奇(Aitorn Lewkowycz)和馬爾達西那三人表明，RT公式忽略了最小面所包裹區域內的量子場產生的馮?諾伊曼熵，并提出了含有一階量子修正的全息糾纏熵公式，即QRT或FLM公式[25]：

其中除了第一項的面積項之外，還包括了第二項的量子修正項。由于真空中的量子漲落的存在，量子修正項不會被消除。

進一步，2014年，恩格哈特(Netta Engelhard)與沃爾(Aron C.Wall)提出全息糾纏熵可以用廣義熵極值化的“量子極值面”在普朗克常數的量級的任意階量子修正下進行計算，并推導出了量子極值面(QES)公式[26]：

在體量子修正的領頭階上，計算公式與QRT公式一致；在領頭階之外，存在著兩個分歧。與RT面不同的是，此時的極值曲面不再是面積取最小的RT面，而是極值化(Ext)廣義熵與所有滿足該條件的候選者中的項取最小值(Min)，這個最小值作為最后的結果，具有廣義熵最小值的面稱為量子極值面。誠然，在經典層面，RT面和QES差別很小，可近似認為相等。但是，一旦考慮精確量子修正后，就有極大的差別。量子修正后糾纏熵數值的差別導致我們的討論即將迎來一個全新的結果。

QES公式的一個重要應用就是用來計算佩奇(Don N.Page)在1993年提出的佩奇曲線[27]。它是黑洞信息丟失問題中的一個重大突破。佩奇曲線最初是由包含幺正性假設的佩奇定理得到的。佩奇定理表明，從量子力學的幺正演化出發，如果要使黑洞在蒸發的過程中產生熱輻射但不丟失信息，即假設黑洞蒸發是一個幺正的過程，那么黑洞的糾纏熵應滿足隨著時間先上升，達到峰值開始逐漸減少的規律。在上升時符合霍金預期的結果，下降后糾纏熵應該遞減至零，在某個時間節點與黑洞熱力學熵的曲線重合，這個時間節點就是佩奇時間。整個糾纏熵隨時間演化的先增后減的曲線被稱作佩奇曲線。

2019年，佩寧頓(Geoffrey Penington)發現，當用QES計算一個蒸發黑洞的輻射糾纏熵時，量子QES的位置恰好在佩奇時間發生了相變。新的QES面略高于視界面。利用QES公式和Hayden-Preskill解碼準則，通過糾纏楔重構，可以推導出佩奇曲線[28]。同年，阿姆黑利等人考慮到量子極值面和糾纏楔，提出可以用于計算蒸發黑洞的細粒度熵的公式：

其中X是量子極值面QES，ΣX指黑洞的視界面與截斷面之間的區域。該研究表明量子極值面能夠準確描述預期的黑洞蒸發幺正性，并且發現一種新的QES面。這個面只由量子效應產生。我們可以發現，在佩奇時間后出現于接近視界處并開始占主導地位[29]，這使得物理學家們對于擬合佩奇曲線的研究更進一步。

與此同時，阿姆黑利、馬哈詹(Rahajan Mahajan)、馬爾達西那、趙穎受黑洞的輻射糾纏楔啟發進一步認為，霍金輻射的糾纏熵在具有高維全息對偶的物質耦合引力場中，即AdS/CFT場的背景下，高維幾何將輻射與黑洞內部聯系了起來。我們發現，在上述的公式中，修正項不僅考慮了黑洞外部的輻射熵R，還考慮到了黑洞內部的貢獻I，因此可以通過一個類似廣義熵的公式來計算輻射熵，這個公式稱為“孤島公式”[30]：

其中領頭階是孤島邊界的面積項，Area(X)仍是QES的面積，類似黑洞的貝肯斯坦-霍金熵，而第二項表示量子場的馮?諾伊曼熵。利用這個公式計算霍金輻射的糾纏熵，計算結果可以很好地遵循佩奇曲線，并且與糾纏楔計算所得結果一致?！肮聧u公式”的修正項不僅正確計算了黑洞的輻射熵，還提出了一個新的物理概念——量子極值孤島。在黑洞蒸發的中后期，由于量子極值面QES面出現在視界內部，黑洞內部區域產生了量子極值孤島區域。黑洞內部和外部被QES面分隔，因為內部的島嶼區域的I與外部輻射區域的R是非連通的，如同大海中的一座孤島，得名“孤島”?？紤]到量子孤島修正，霍金輻射的糾纏熵值可以在佩奇時間后遞減，計算的結果能夠很好地符合佩奇曲線。

此外，之后的研究表明，雖然孤島公式是在AdS/CFT背景中推導出來的，但其應用范圍遠超全息背景。目前的研究已將其推廣至了更一般的時空背景，并在不斷地發展，例如二維漸進平坦永恒黑洞[31-32]、史瓦西黑洞[33]及其他高維背景。

5 結論與展望

通過特殊的AdS/CFT引力全息對偶，我們找到了引力場與共形場論邊界的聯系，這是一個積極的信號，意味著對于量子糾纏與時空有了全新的認識。利用全息原理，我們發現量子信息中的量子糾纏原理，它暗示著時空并不是局域的，正如文章中關于糾纏熵的計算，量子糾纏可以在長距離的情況下發生，它與引力、時空之間存在著極大的聯系，盡管物理學家們仍未知道這個聯系的真正作用原理。目前，我們已經可以從全息原理中窺見量子引力領域的廣闊前景，但這還遠遠不能預見量子引力理論。我們可以對未來大膽猜測，或許時空來自量子糾纏，希望能夠進一步地聯系量子糾纏與引力理論，達到我們了解時空的最終目的。