“數”與“運算”一致性教學內涵理解、構建策略與評價分析

沈明霞(浙江省杭州市臨平區臨平第一小學 311100)

數的概念和數的運算之間關聯緊密,主要體現在“數”和“運算”的一致性上,從當前教材知識滲透上看,關于“數”的認識主要包括了整數、分數、小數的認識;關聯的運算方式包括加減乘除四則運算;幾乎所有的數在教學環節都會涉及四則運算。在小學數學教學中,教師應當讓學生在數學學習的初期階段體會“數”的含義,感知數的概念的一致性,形成數感,結合實際的教學環節感悟數字的運算和運算之間的關系,感知數的運算的一致性,形成基礎的邏輯推理意識。

一、 “數”與“運算”一致性的內涵理解

小學數學教學更加注重學生如何通過數學這一門學科去認識和探究世界,借由數學角度分析,去發現生活中、社會上、自然界中存在的數量關系和空間形式,并提出和探索更加有意義的數學問題,通過數學思維方式去思考、去理解現實世界。

數的概念和數的運算之間關聯緊密,主要體現在“數”和“運算”的一致性上。從當前教材知識滲透上看,小學數學中關于“數”的認識主要包括了整數、分數、小數的認識;關聯的運算方式包括加減乘除四則運算。幾乎所有的數在教材教學環節中都會涉及四則運算,一是從教學理解層面上來看,可以將整數、分數、小數看成一個數的整體集合,當整數進行除法運算不能被整除時,就產生了分數,分數計數不便時,便產生了小數;二是從運算方式的統一性上來看,和計算機的運行原理一致,四則運算都可以視為加法的一種,減法是加上一個負數,乘法是相同數字的累加,除法是相同數字的累減;三是從運算方式和角度上來看,所有的運算都可以轉化為計數單位與計數單位運算(個別運算、計數單位不參與運算),計數單位上的數字(本質上是計數單位的個數)與計數單位上的數字運算。例如,我們定義2=1+1,3=2+1(皮亞諾算術公理系統),得到1+1=2,2+1=3,這利用了“=”的對稱性,但這樣的解釋脫離了現實背景,沒有涉及“等于”的本質。

以上內容體現了“數”與“運算”的一致性,只要在教學中掌握了統領性的數學思想理念,就能夠通過多種教學方式、合理設置教學案例、引導點撥學生在數學理解和認知上更上一層,結合核心素養培養,使學生在知識掌握和學習的同時,建立相互聯系和關聯,最終得到綜合全面發展。這種教學內涵要求教師注重思維方式培養,引導學生從整體到部分、由簡到難地掌握數學概念和運算規律,從而提升他們數學思維能力和創新意識。

二、 “數”與“運算”的一致性教學構建策略

教師可以采用“數感培養—運用法則—思維進階”教學策略,提升“數”與“運算”一致性的理解和應用水平。

1.構建計數單位,培養學生基礎數感

從數的理解角度上來看,所有的數都是能夠通過計算單位來進行構建的。針對小學數學培養的“數”與“運算”的一致性的教學,便可以此為出發點,進行“數”與“運算”一致性教學策略實施。教師需要向學生引申“計數單位”的含義,是指針對“數”的順序,所建立的計量單位,如常見的長度、重量、面積等單位。當學生理解和掌握了相應的計量單位含義后,便可以通過組數的增加和計量作為相應的計數單位,如整數的計數單位就是一、十、百等,小數的計數單位就是十分之一,也就是通常所謂的數位。

以整數的教學為例,小學的基礎對于數的認識就是數字1～10的認知,由于存在進位的關系,學生初期掌握可能存在理解困難。但是從另一個角度來看,10 的出現其實就是計數單位的體現,由9個1累加,然后再增加1個“1”所形成的累計結果;這是從計數單位上進行的累計突破;從核心素養教育“數感”認知培養上,在學生能夠識記和掌握1～9的符號意義后,教師可以主動拋出問題,與學生一起探討“十應該用哪種方式進行表達?”,單純以漢字“十”來表示雖然簡單,卻和1～9的數字符號格格不入;如果簡單表示為我們學過的“1”,又會使數字顯得重復;因此,針對上述不便,這就可以“位置值”的方式,進行了數字的創新,印度率先以“10”作為表示的方式,且提出了占位符和計數符的說法,滲透了“數”與“運算”之間的相互理解內容。

2.引入概念法則,建構學生運算機制

小學階段分數的基本計數單位直觀上并不太明顯,由于分數與分數之間并不存在明確的倍數關系,學生在學習中并未體會到分數的計數單位是什么。由此,相對于較為明顯的整數而言,在進行比較大小、四則運算時變顯得吃力。在學生“數”與“運算”能力培養上,可以引經據典,激發學生學習興趣。如《九章算術》中就對分數進行了較為詳實的介紹,在讀法上“幾又幾分之幾”,如2/3,對其解釋便是將事物平均分為三份,取其中的兩份,重點在于“分、取”的說明上。分數和整數一樣是有大小可比性的,其主要的目的是為了讓我們能夠更加準確地度量和確定小于1的量,用小數無法精確表示的量。

在小學數學開展分數的認知過程中,可引入以下三個階段:一是引入概念,教師通過“分餅”的方式,讓學生初步感受到分數的意義所在,并結合整數的大小比較,讓學生建立“計數單位”比較大小的基本邏輯思維;二是引入“分數的分子和分母同時乘上或者除以相同的數(0 除外),分數的大小不變”這一重要法則,同時引導學生思考分數的變形轉換。三是落實通分的教學環節,使學生通過求取最小公倍數的方式,進行分數的分母轉化,在分母相同的情況下(即分母的計數單位相同情況下)進行大小比較和加減法運算。

3.設置思維進階,提升學生計算能力:以小數認知和“位置值”教學為例

小學階段學生能夠理解小數是以0.1/0.01等為計數單位進行位置值的構建即可。識別和記憶小數的關鍵在于小數的計數單位理解,教師可以將多個小數進行排列,讓學生發現其中的規律,如列舉“0.01/0.02/0.03/0.04……”,就能夠看出小數的計數單位是有序排列和延伸的。從數字構建來看,小數可以理解為是“十進制分數”,類比學生所學整數,其進位方式為滿十進一,由個位依次向十位、百位、千位進行遞增。將進位方式反向思考,千位數進行平均分十份,每一份便得到了百位數;將百位數平均分成十份,每一份便得到了十位數;將十位數平均分成十份,每一份便得到了個位數;將個位數平均分成十份,每一份便得到了“十分位”。為使學生更容易理解小數,教師可以通過當前現有的度量單位、重量單位等進行雙向說明,同時融合運算方式中的“逢十進一、退一作十”的運算規則,使“位置值”和小數的理解更加深入。

在“數與運算”教學時,其教學目標有以下四點:一是使學生能夠掌握整數、小數、分數的四則混合運算;二是計算過程中熟練使用中括號,并結合四則運算進行試題的計算;三是通過對整數、小數的四則混合運算進行歸納和總結,提升學生在數學學習過程中的抽象概括能力;四是通過“數與運算”的學習,培養學生良好的學習習慣,并提升計算能力。

在教學的重點和難點上,對整數、小數的四則運算順序和符號使用分別進行了要求。想要學生能夠理解相應的計算方式,如何進行計數單位的理解和運用將是重點內容;教材上對于四則運算的教學設計是以“加法”為首進行的教學設計,對于加法的理解,其實就是數字的一種認知;“數”如何產生、如何進行計數、如何通過四則運算進行計算,就會關聯到數的位置值;也只有當學生能夠理解數的位置值、數的計量單位時能夠更加熟練的對數進行運算。同時有了加法的理解和認知基礎,由此及彼,推廣到減法、乘法、除法的使用上,也是其運算一致性的一種體現和應用;計數的單位運算過程,本質上都是數學算法的一種體現,數的建構和運算也都是基于計數單位而進行的,兩個過程看似不同,實則相互可逆,數的構建是隨著歷史時代的發展對數字進行的定義更優于生活中的使用。

二是數的概念是數的運算的基礎,數的運算是對數的概念的再應用。在學生能夠理解和認知到進制的意義所在,在未來的學習過程中對于相應的概念和后續知識的學習才能夠呈現出系統化和連貫化的邏輯思維關聯。

三、 “數”與“運算”的一致性教學評價分析

在教學中,教師要以發展的眼光去看待問題,在幫助學生理解數的概念一致性的過程中,對于培養學生的數感和數的符號意識是尤為關鍵的。它涉及學生對抽象概念的理解,數感的基礎能力是學生建立符號意識的基礎要素,符號的意識則是抽象能力和推理能力形成的基礎,三者的關系層層遞進。在幫助學生理解數的運算時,無論是算法的使用、推演過程都是培養學生核心素養的重要手段。教師應該以長遠的眼光去看待教學過程,通過系統知識體系的把控,向學生不斷滲透數學整體性、聯系性、發展性等觀念。

教師在課堂上教授學生的推導過程也是極為關鍵的。在結合教材上給出的教學案例等內容,可看出結合生活化的情景學習,是使數學知識能夠實現有的放矢的重要途徑。在引導學生對于數的理解和數的運算過程時,可以多結合實際情況,從生活中的實際問題多入手,讓數字的呈現更加具有形象意義,讓數字運算更加具有生活氣息。這樣的教學方式不僅能夠激發和培養學生的學習興趣,同時也能夠促進學生的全面發展。

因此,教師應當重視對教材內容的分析和把控,深入淺出地理解小學數學教學的知識點,提煉并梳理出整體的框架內容——數的理解與運算間的關系,進而引導學生體會不同數學知識之間數學學習方法的一致性和可遷移性,形成科學的思維習慣。