基于灰色馬爾科夫模型的廣東春旱預測

梁秀蘭，歐善國，潘蔚娟

（廣州市氣候與農業氣象中心，廣東廣州 511430）

干旱是影響區域最廣泛、發生最頻繁、造成損失最嚴重的氣象災害之一，干旱災害損失占氣象災害損失的50%［1］。每年3到4月上旬是春耕春播用水高峰期，一旦出現春旱，無論是北方的小麥還是南方的水稻，其正常生長都會被擾亂。因此，建立春旱年預測模型進行春旱預測，對農業生產及早做好防旱措施具有重要意義。

當前，全球范圍內已研發很多事件發展趨勢預測法，其中灰色理論預測法是其之一，其主要優點在于實現“小數據”不確定性問題的有效分析、評價和預測，但同時也存在對隨機波動性較大數據難以預測的缺限；而馬爾科夫模型因具有無后效性，即事物出現的狀態只與其前一次的狀態有關，可以彌補灰色理論預測的局限［2］。國內在干旱或者降水量預測研究方面，要么僅用灰色理論預測法［3］，要么僅用馬爾科夫預測法［4］。而廣東干旱研究主要集中于干旱過程識別、時空變化特征以及環流成因分析等［5-7］，而近年涉及干旱預測的科技論文僅有1篇，也是單獨使用灰色理論預測法［8］。因此，本研究以具有代表性的廣州春旱為研究對象，嘗試將灰色理論預測法與馬爾科夫預測法結合起來，探索用灰色馬爾科夫預測模型提高廣東地區春旱預測的精度，以期為干旱預測研究提供新的思路。

1 資料與方法

1.1 資料

選用1993—2022年廣州5個國家氣象觀測站30年春季降水量資料求平均，建立廣州市春季降水量變化序列，在此基礎上根據氣象干旱等級標準構建春旱災變序列。

1.2 方法

1）建立氣象春旱災變序列。

判斷干旱的指標有很多，其中年降水量可作為氣象干旱指標之一。根據《氣象干旱等級》（GB／T 20481-2017）［9］中氣象干旱等級標準是依據降水量距平百分率≤-15%作為出現干旱的界線，即

其中，R為某年年降水量（mm）；ˉR為多年平均年降水量（mm）；Rv為降水量距平百分率（%）。把符合干旱標準的年份挑選出來，定為干旱年，形成干旱災變序列。春旱的標準及形成的春旱災變序列也采用同樣的方法解決。

2）應用灰色系統理論進行預測。

灰色模型的基本思想是累加生成。通過序列累加生成來弱化原始數據的隨機性，將離亂的原始數據中蘊含的積分特性或規律充分顯露出來，是挖掘不確定性信息演變規律與發展趨勢的一種數據處理方法。GM（1，1）預測模型是最基本的預測模型，其建立過程如下：

①記：

②作一次累加生成序列：

③生成緊鄰均值生成序列：

④建立差分方程：

⑤相應的白化微分方程為

⑦GM（1，1）相應的函數預測模型為

對其再作累減還原，得到原始序列X（0）的預測值，

得到還原成原始序列的預測模型為

3）灰色模型的精度檢驗。

通常采用相對誤差大小檢測法、后驗差比檢測法和小誤差概率檢測法這3種方法檢驗預測模型精度，精度分級見表1。

表1 預測模型精度分級

4）應用馬爾科夫模型進行預測殘差修正。

（1）劃分狀態區間。根據樣本數量和相對誤差范圍，將灰色預測的相對誤差分為n個狀態區間，每個狀態區間都可以表示成Ei＝［e1i，e2i］，其中e1i表示區間的最小值，e2i表示區間的最大值。

（2）計算狀態轉移概率矩陣。設fij為狀態Ei經過k步轉移到狀態Ej的頻數，fi為狀態Ei出現的總頻數，則狀態轉移概率矩陣從而得到狀態轉移概率矩陣P：

（3）計算狀態轉移概率向量。假設初始時刻的狀態轉移概率向量為A（0），那么狀態轉移概率向量A（k）為：

取概率向量中概率最大的狀態。

（4）預測值的修正。已知所屬狀態Ei的狀態區間，結合灰色預測值＾X（k），有灰色-馬爾科夫模型預測表達式［10］為

其中，若實際值＜灰色預測值，則式（11）分母中符號取+；若實際值＞灰色預測值，則取-；若相等則不對其進行優化修正。

5）采用新陳代謝方法求預測值。

根據灰色系統理論的“新信息優先原理”，采用新陳代謝方法，將預測值作為新信息加入，剔除最早的數據信息，然后對下一時刻進行預測，提高模型的預測精度。

2 分析與檢驗

2.1 干旱災變序列的建立

把1993—2022年廣州春季降水量序列作原始數據，計算出廣州春季30年平均降水量值；再參照年干旱標準，以春季降水量距平百分率≤-15%作為春旱標準篩選組成廣州春旱年序列X（0）＝｛1995，1996，1997，1999，2002，2003，2009，2011，2018，2021，2023｝，共有11個數據。根據灰色系統理論的“新信息優先原理”，灰色預測最好的數據是選擇最新的5～8個數據［11］。因此，本研究選取最近的｛2021，2013｝數據序列作為春旱預測模型測試集，而與測試集時間最接近的7個數據序列｛1997，1999，2002，2003，2009，2011，2018｝作為訓練集用于構建模型。

2.2 干旱預測模型的構建

根據上述建模步驟，利用Matlab軟件進行處理，得到GM（1，1）預測模型為

其中，a＝-0.001 8，b＝1 992.402 5，X（0）（1）＝1997。

2.3 預測模型模擬精度檢驗

根據式（12）得到1997—2018年廣州春旱灰色模型模擬結果及精度檢驗結果，見表2。

表2 廣州春旱序列灰色預測模型模擬結果

從表2運算結果可知，模型的平均相對誤差e＝0.000 5、后驗差比值C＝0.188 9、小概率誤差P＝1，對照表1可知模型精度等級為1級（優秀），但預測值與實際值有一定的差距，所以可用馬爾科夫優化該灰色模型進一步提高預測精度。

2.4 馬爾科夫優化

由表2可得灰色模型預測結果相對誤差區間為［-0.001 1，0.000 9］。將該區間劃分為3個狀態區間，分別為［-0.001 1，-0.000 4），［-0.000 4，0.000 2），［0.000 2，0.000 9］。春旱災變序列狀態劃分如表3所示。

表3 廣州春旱序列狀態劃分

根據式（12）可得馬爾科夫優化轉移概率矩陣為

對廣州春旱灰色模型進行優化，根據式（11）計算出X（0）（2）-X（0）（7）的灰色-馬爾科夫模擬值，并計算出平均相對誤差、后驗差比和小誤差概率，計算結果見表4。

表4 廣州春旱灰色-馬爾科夫模型優化結果表

從表4可知，灰色GM（1，1）預測模型優化后的平均相對誤差e縮減為0.000 1、后驗差比值C縮減為0.062 9、小概率誤差P為1。另外，從灰色模型、灰色馬爾科夫模型預測模擬值和實際值對比曲線圖（圖1）可見，灰色馬爾科夫模型預測較之灰色模型，其大部分數據點更接近實際值，數據走勢和實際值的走勢大致相同，更能準確反映數值波動。因此，用馬爾科夫模型優化灰色模型可以提高模型預測精度。

圖1 廣州春旱發生年份實際值與模型計算值對比圖

2.5 預測模型預測精度檢驗

根據馬爾科夫模型的預報經驗，選擇距預測年份最近的4年作為預測基礎年份，根據各年份的狀態及轉移步數計算累積轉移概率，從而推出（8）的狀態。經計算，（8）的可能狀態為3，即狀態轉移概率向量為［0，0，1］。

根據式（11）計算出X（0）（8）的灰色-馬爾科夫模擬值為2020.947 9，優化結果與實際值X（0）（8）＝2021相符。根據公式（9）得（9）的可能狀態為1；同理得（9）優化結果為2022.005 5，表示2023年出現春旱，與實際值X（0）（9）＝2023基本相符，證明灰色-馬爾科夫模型可用于春旱年份預測。

2.6 后續春旱預測

由于灰色GM（1，1）預測是根據前期變化規律對后期做模擬演變延伸預測的，因此不適用于長期預測。在實際應用中宜采用新陳代謝方法，即把舊序列｛1997，1999，2002，2003，2009，2011，2018｝更新為｛2002，2003，2009，2011，2018，2021，2023｝，按照上述方法求出X（0）（10）＝和（11）＝2031.703 7，故預測春旱年分別為2030和2032年。

3 討論

傳統的灰色GM（1，1）預測模型的模擬結果平均相對誤差e＝0.000 5、后驗差比值C＝0.188 9、小概率誤差P＝1，模型精度等級為1級（優秀）。通過馬爾科夫模型優化后，預測模型的平均相對誤差e縮減為0.000 1、后驗差比值C縮減為0.062 9。從灰色模型、灰色馬爾科夫模型預測模擬值和實際值對比曲線圖可以看出，灰色馬爾科夫模型預測較之灰色模型，其大部分數據點更接近實際值，數據走勢和實際值的走勢大致相同，更能準確反映數值波動。因此，用馬爾科夫模型優化灰色模型可以實現模型優化，提高模型預測精度。本研究用灰色馬爾科夫預測模型進行廣東地區春旱預測，是廣東乃至全國干旱預測的一項創新探索。

GM（1，1）預測模型是灰色理論研究中最基本的預測模型，該建模對象僅為一條時序數據，通過挖掘蘊含在時序數據中的系統運行規律，實現系統發展趨勢的預測。該模型因具有建模過程簡單優點，是目前灰色預測模型應用最廣的模型，但因其僅分析單一變量的變化規律，不能反映外部環境變化對系統變化趨勢的影響，有較大的局限性。鑒于春旱的發生受多種因素的影響［12-13］，在后續的研究中，需要建立多變量的GM（1，N）模型進行關聯預測，以期實現更精準的預測結果。