基于改進的邁克爾遜干涉儀的液體折射率測量方法研究

張斯博,姜思言,顧吉林

(遼寧師范大學 物理與電子技術學院,遼寧 大連 116029)

邁克爾遜干涉儀是光學實驗室中重要的精密光學儀器,利用邁克爾遜干涉儀測量激光的波長除此之外,邁克爾遜干涉儀還有許多應用,例如用邁克爾遜干涉儀測量表征固體力學性質的楊氏模量[1],測量微位移[2],用邁克爾遜干涉儀測量液體折射率也是當今的研究熱點之一。

利用邁克爾遜干涉儀測量液體折射率主要分為兩種方法,分別是光程補償法和條紋計數法,光程補償法原理是通過調節兩個平面鏡之間的相對距離來改變光程差,進而補償加入液體后光程差,使得加入液體前后光屏上的現象一致。張鳳云[3]等人以白光作為光源彩色干涉條紋,加入待測液體后彩色條紋消失,通過移動動鏡使得彩色條紋再次出現,代入計算公式即可求得液體折射率;陳淑清[4]等人以激光為光源形成等密度等傾干涉條紋來測量液體的折射率,然而光程補償法的實驗難用人眼觀察出完全相同的干涉條紋圖樣,對測量結果的準確性有一定的影響。條紋計數法的原理是利用干涉條件,光程每改變一個光源波長,就可以觀察到一個條紋涌出或陷入,改變光程是要改變待測液體在光路中的那部分光程,這部分光程等于光線在液體中傳播的距離乘以液體折射率,因為折射率是未知量,因此需要連續改變光線傳播距離使條紋連續變化。彭劍輝、喬輝、李素文[5-7]等人將反射鏡放在待測液體中,通過移動反射鏡的位置,改變了光線經過待測液體的傳播距離,進而改變了光程差,由于該方法需要將反射鏡放入待測液體中,因此該方法無法測量對反射鏡有腐蝕性的液體折射率;鄭建邦、李義寶、杜登熔[8-10]等人選擇制作一個楔形容器放入光路中,通過水平移動容器即可改變光程差使干涉條紋發生吞吐現象,但楔形容器加工困難,制作成本也比較高;金恩培、汪曉春、張風昀[11-13]等人選擇在傳統的邁克爾遜干涉儀上進行改裝,采用旋轉法,將盛裝液體的容器放在轉盤上,轉過一定的角度使得光程發生改變,但加裝容器較為困難,學生無法自行操作。本文選擇在原有儀器的基礎上,在光學減震臺上安裝一個手動微調旋轉載物臺,上端放置一個方形開口容器,旋轉一定的角度即可改變光程差,通過分析光路,推導出測量透明液體折射率的公式,通過多次測量水、不同濃度的葡萄糖溶液以及不同濃度的氯化鈉溶液的折射率,并與阿貝折射儀測量液體折射率的進行比較,得到測量的平均誤差最大為3.3%,實現液體折射率的測量。為液體折射率測量提供了一種可行方法,改裝過程簡便,學生可自行動手完成。

1 實驗原理

由干涉條件可知光程差δ滿足:

δ=ΔNλ。

(1)

當δ增大或λ減小,就會有一個條紋涌出或陷入。即利用這一原理對液體折射率進行裝置測量改進,測量裝置俯視圖如圖1(a)所示,在分束鏡與動鏡之間放置一個行程為360°粗調,±5°精調,最小角度為0.95分的手動微調旋轉光學載物臺,載物臺上放置一內徑為2.5 cm、7 cm×9 cm的方形開口容器,轉動旋轉載物臺即可使容器發生轉動,進而改變光傳播過程中所產生的光程差。

(a) 改進的邁克爾遜干涉儀的液體折射率測量裝置俯視圖

由于容器旋轉,器壁和液體內部光程將發生改變,如圖1(b)所示。由于器壁的轉動,則會影響外部空氣的光程的變化。為了便于討論,首先假設容器旋轉中心為圖中左側器壁的中心,并且光線始終保持水平方向,入射位置始終為左側器壁的中心,當旋轉微小的角度時,容器左側空氣的光程將不會發生改變。因此可將光程變化分為三部分,從左至右分別為光在容器器壁中傳播的光程的改變、光在液體中傳播的光程的改變以及受容器旋轉影響,光在右側空氣中傳播的光程的改變。

光在容器器壁中傳播的光程的改變,設空氣折射率為n0,容器器壁厚度為d0,容器折射率為n1,入射至器壁的距離為d1,液體折射率為n2,容器器壁內徑為d2,出射器壁后傳播的距離為d3。

旋轉θ0角度后,容器器壁中的光程L1變為

(2)

同理可得液體中的光程L2變為

(3)

得到液體光程差δ液體、容器壁光程差δ容器壁分別為

(4)

(5)

光線經過容器壁和液體將發生折射,因此出射位置較入射位置將存在一個位置偏移量,假設一條虛擬路徑a,該光路與入射光在同一水平方向,光線經過容器在右側空氣中傳播的路徑為b,設虛擬路徑a與路徑b的位置偏移量為Δh,如圖2所示,設光線經容器前壁、液體、容器后壁折射后產生的位置偏移量分別為Δh1、Δh2、Δh3。則,由光路圖可知:

圖2 光路的高度變化

(6)

(7)

Δh1=Δh3,

(8)

Δh=Δh1+Δh2+Δh3,

(9)

路徑b與虛擬路徑a在水平方向的偏移量差值為Δhtanθ,虛擬路徑a相較于未旋轉前空氣中的光傳播路徑的距離變化Δl為

(10)

空氣光程差δ空氣為

(11)

將(4)、(5)、(11)代入(1)式,可得:

(12)

其中,

(13)

(14)

當容器不裝液體時,此時盛裝的空氣,空氣折射率n2=n0=1,將容器旋轉角度θ0,設此時條紋數目變化為ΔN′,代入(12)、(13)和(14)式可得:

(15)

將n0=1代入式中,整理可得:

(16)

(17)

由該方程可知,只需測量容器內徑寬度d2,在盛裝待測液體和空載兩種情況下,將容器轉動相同角度θ0,記錄條紋數目變化分別為ΔN和ΔN′,已知激光器激光的波長λ,則代入(17)式,可求解液體折射率n2。

2 實驗儀器及步驟

2.1 實驗儀器

實驗測量裝置如圖3所示,包括邁克爾遜干涉儀、光學減震器、旋轉微調載物臺等組成,其中,旋轉微調載物臺放大圖如圖3(b)所示。手動旋轉微調光學載物臺參數是:行程為360°粗調,±5°精調,最小角度為0.95分。

(a) 測量裝置實物俯視圖

具體實驗裝置及材料如下:LPM1系列邁克爾遜干涉儀、內徑為2.5 cm、7 cm×9 cm的方形開口容器、手動旋轉微調光學載物臺、游標卡尺、智能手機、純凈水、阿貝折射儀、容量瓶、天平、葡萄糖、氯化鈉。

2.2 實驗步驟

實驗操作過程及注意事項具體如下:

(1)用游標卡尺上側測量容器器壁內徑,記為d2,即液體的寬度。

(2)在邁克爾遜干涉儀光路上安裝手動旋轉微調光學載物臺、液體容器等裝置,將空載容器放在旋轉載物臺上,使得手動旋轉微調光學載物臺能夠帶動容器旋轉,從而改變光程差。

(3)打開氦氖激光器電源,調節邁克爾遜干涉儀,至觀察屏上出現明顯的圓形干涉條紋,使容器與入射光線垂直,調節M2鏡背后三個螺絲使得圓形干涉條紋的中心位置位于觀察屏中心。

(4)轉動旋轉載物臺的粗調轉盤,對應旋轉載物臺上的刻度,使其帶動容器旋轉,為了方便計算和旋轉,實驗過程中選取旋轉角度為4°。在此過程中,用手機錄像功能記錄觀察屏上條紋的數目變化情況,并慢速處理視頻,記下條紋數目變化為ΔN′。

(5)為了防止取放容器前后容器的位置發生改變,進而對條紋產生影響,所以選擇直接往容器中加入待測液體,待條紋穩定后,轉動旋轉載物臺的粗調轉盤,對應旋轉載物臺上的刻度,使其帶動容器回轉4°,用手機相機功能記錄觀察屏上條紋的數目變化情況,通過tracker軟件處理視頻,記下條紋數目變化為ΔN。

(6)使用容量瓶配置5%、10%、15%的不同濃度的葡萄糖和氯化鈉溶液,重復上述實驗步驟,分別利用阿貝折射儀測量相應液體折射率為n0。

(7)將測量結果代入計算公式(17)中即可求出待測液體的折射率,測量五次后取平均值記為n,將實驗結果與n0進行比較,分析實驗結果并得出結論。

3 實驗結果與分析

實驗中使用氦氖激光器作為光源,波長λ=632.8 nm,用游標卡尺測得容器器壁內徑d2=2.5 cm,確定旋轉角度θ0=4°。組裝實驗裝置,此時方形容器為空載狀態,轉動旋轉載物臺,可以觀測到觀察屏上的明暗環條紋吞吐變化,如圖4(a)(b)所示,明環和暗環交替出現。加入純凈水至方形容器中,相較于加入純凈水前,觀察屏上的明暗環條紋明顯變“扁”,如圖4(c)和(d)所示,再次轉動旋轉載物臺,仍能在觀察屏上觀測到明暗環條紋吞吐變化的現象。

(a) 加入待測液體前明環出現

利用改進的實驗裝置進行實驗測得水、葡萄糖溶液、氯化鈉溶液的條紋變化數目,觀測得空載時條紋變化數目ΔN′和裝入純凈水后條紋變化數目ΔN,將ΔN′、ΔN、λ、d2、θ0等數據代入計算公式(17)中,可得到純凈水的折射率。使用阿貝折射儀測量純凈水的折射率為n0,經多次實驗,可得到純凈水的實驗數據和折射率計算結果如表1所示。經過計算液體折射率,與阿貝折射率測量儀相比,水的折射率平均相對誤差為1.1%,最大誤差是2.3%,最小誤差是0.2%。

表1 水的實驗數據和計算結果

測量不同濃度的葡萄糖溶液和氯化鈉溶液的實驗數據及數據處理結果如表2和表3所示。5%、10%、15%的不同濃度的葡萄糖的折射率相對誤差為1.9%、2.1%和5.9%。

表2 葡萄糖溶液的實驗數據和計算結果

5%、10%、15%的不同濃度的氯化鈉溶液的折射率相對誤差為1.3%、1.2%和3.5%。測量結果與阿貝折射儀所測的標準值接近,數據穩定,測量的最大誤差為5.9%。因此,本實驗裝置和計算方法可以測量溶液的折射率,為液體折射率測量提供了一種可行方法,測量精度小于5.9%。

4 結 論

本實驗基于邁克爾遜干涉儀和旋轉微調載物臺設計了透明液體折射率的測量裝置,考慮了光路中空氣、容器、待測液體等各個部分的光程改變量,利用干涉公式,推導出干涉圓環吞吐圓環的數目變化與待測液體折射率之間的函數關系,得到了待測液體折射率的表達式。實驗測得水、葡萄糖溶液、氯化鈉溶液的平均相對誤差分別為1.1%、3.3%、2.0%,實驗過程中測量的最大誤差為5.9%,為液體折射率測量提供了一種可行方法。實驗測量裝置安裝方便,操作簡單,實驗現象直觀明顯,測量方法精度較高,實驗研究有助于學生理解干涉現象產生的本質原因,拓寬了邁克爾遜干涉儀在物理教學及科學研究中的實際應用。若在本公式上進一步更改相關參數,可得到用于測量透明固體折射率的表達式,具有一定的研究價值。