欠驅動VTOL飛行器的自耦PID控制方法

曾喆昭, 章禛昊

長沙理工大學電氣與信息工程學院, 長沙 410014

0 引 言

VTOL飛行器因其起飛距離短和垂直起降的性能,因而在軍用與民用領域都具有極其重要的作用,已經成為各國爭相研究的飛行器對象.由于VTOL飛行器存在3個運動自由度卻只有2個控制輸入,因而是一個典型的欠驅動系統[1-3].對于控制量個數少于自由度個數的欠驅動系統而言,由于其具有重量輕、造價低、能耗小和靈活度強等特點,因而被廣泛地應用于橋式起重機[4-6]、欠驅動船舶[7]、機器人[8]、無人機吊掛飛行系統[9]和四旋翼飛行器[10]等欠驅動系統.

VTOL飛行器已引起了國內外控制領域學者的廣泛關注[11-17].迄今為止,有關VTOL飛行器的控制方法主要包括如下幾類:狀態反饋控制方法[1-2]、反演控制方法[11-12]、動態面控制方法[3,13]、滑?？刂品椒╗14-17]以及逆最優反饋控制[18]、雙閉環PID控制[19]和非線性信息融合控制方法[20]等,都獲得了有效的控制結果.然而,狀態反饋控制方法存在動態品質與穩態性能欠佳的局限性;反演控制方法存在“微分爆炸”的局限性;動態面控制、滑?？刂?、逆最優反饋控制以及非線性信息融合控制等控制方法均存在結構復雜、計算量大的局限性;而雙閉環PID控制方法則存在增益魯棒性差與抗擾動魯棒性差的局限性.

為了解決現有控制方法存在的各種局限性問題, 本文根據文獻[21-24]提出了欠驅動VTOL飛行器的ACPID控制理論方法.

1 問題背景

1.1 VTOL飛行器模型

圖1是VTOL飛行器的懸停示意圖.

根據文獻[20],VTOL飛行器的動力學模型可表示為

(1)

其中,狀態變量y、z和θ分別是VTOL飛行器質心在參考坐標中的橫、縱向位置與滾轉姿態角,m和J分別是飛行器的質量和沿縱向軸的轉動慣量,g為重力加速度,控制輸入ut與um分別是底部垂向推力與滾轉力矩,ε0是滾轉力矩對橫向與縱向運動的耦合作用系數.

由于VTOL飛行器(1)有3個自由度y、z和θ,卻只有2個控制輸入ut與um, 因而是一類典型的欠驅動非線性耦合系統.

(2)

(3)

1.2 VTOL飛行器模型映射

對系統(3)做如下坐標變換:

(4)

顯然,上述坐標變換不僅使新的VTOL飛行器系統(4)實現了輸入解耦的作用,而且使VTOL飛行器系統(3)的不穩定質心位置(x1,x3)映射到具有平坦輸出的Huygens振動中心(z1,z3).由于新的VTOL飛行器系統(4)的輸出是平坦的(z1與z3均不受u2的影響),因而有效避免了非最小相位VTOL飛行器零動態不穩定的問題.由于系統(4)與系統(3)或系統(2)是等價映射,因此由VTOL飛行器系統(4)設計的控制器u1和u2可以實現對系統(3)或系統(2)的有效控制.

2 欠驅動VTOL飛行器控制系統設計

2.1 VTOL飛行器的基本控制原理

為了便于分析,分別設uy與uz2個虛擬控制器為

(5)

(6)

則VTOL飛行器系統(4)可簡化為式(7)的形式

(7)

根據式(5)與式(6),可得u1和x5分別如下:

(8)

x5=-arctan(uy/uz)

(9)

顯然,只要設計好橫縱向位置的控制器uy與uz,即可獲得控制力u1,從而獲得VTOL飛行器底部垂向推力ut=mu1.如果設滾轉姿態角虛擬指令為

x5r=-arctan(uy/uz)

(10)

則可設計VTOL飛行器滾轉姿態角控制器u2,進而獲得滾轉力矩um=Ju2.

2.2 VTOL飛行器垂向推力控制器設計

設VTOL飛行器質心坐標的期望軌跡為x1d與x3d,并設期望滾轉姿態角為x5d=θd=0,從而可得Huygens振動中心坐標的期望軌跡為

z1d=x1d-εsinx5d=x1d

(11)

z3d=x3d+εcosx5d=x3d+ε

(12)

(1) 橫向位置控制器設計

設橫向位置跟蹤誤差為

e11=z1d-z1

(13)

其中,z1d=x1d,z1=x1-εsinx5.

(14)

在忽略積分環節的情況下,根據文獻[21],可設計橫向位置的ACPDy控制器為

(15)

其中,zcy>0是ACPDy控制器的速度因子.

(2)縱向位置控制器設計

設縱向位置跟蹤誤差為

e31=z3d-z3

(16)

其中,z3d=x3d+ε,z3=x3+εcosx5.

(17)

在忽略積分環節的情況下, 根據文獻[21],可設計縱向位置的ACPDz控制器為

(18)

其中,zcz>0是ACPDz控制器的速度因子,g是重力加速度.

根據式(15)與式(18)分別獲得橫縱向位置控制器uy與uz后,根據式(8)即可獲得控制力u1為

(19)

進而可獲得欠驅動VTOL飛行器底部垂向推力為ut=mu1.

2.3 VTOL飛行器姿態角控制器設計

根據橫縱向位置控制力獲得VTOL飛行器姿態角虛擬指令x5r后,設滾轉姿態角跟蹤誤差為

e51=x5r-x5

(20)

(21)

在忽略積分環節的情況下,根據文獻[21],可設計滾轉姿態角ACPD2控制器為

(22)

其中,zc2>0是ACPD2控制器的速度因子.

由式(22)即可獲得欠驅動VTOL飛行器的滾轉力矩為um=Ju2.

2.4 閉環控制系統分析

證明.將式(15)定義的橫向位置控制力uy代入受控誤差系統(14),可得橫向位置閉環控制系統如下:

(23)

對系統(23)取拉普拉斯變換,并整理得

(24)

定義橫向位置控制系統的傳輸函數為

(25)

當zcy>0時,由于Hy(s)在復頻域的左半平面有雙重實極點sp=-zcy<0,因而系統(23)或(25)是穩定的.又因為速度因子zcy與系統模型無關,因而系統(23)或(25)是魯棒穩定的.

由系統(25),可得單位沖激響應為

hy(t)=texp(-zcyt),t>0

(26)

因而閉環系統(24)的時域解可表示為

(27)

其中,“*”表示卷積積分運算.

當|dy|≤εy時,則有

(28)

因而穩態誤差可表示為

(29)

由式(26)可知, 當t≥0時,hy(t)≥0,因而有

(30)

以上理論分析表明:穩態誤差與速度因子的平方成反比,因而增大速度因子有利于提高穩態控制精度,增強抗擾動能力,具有重要的理論意義.

為了節省篇幅,欠驅動VTOL飛行器的縱向位置控制系統和滾轉姿態角控制系統的分析不再贅述,可參照定理1進行魯棒穩定性分析.

2.5 自適應速度因子

考慮到誤差微分的敏感特性,定義ACPDy、ACPDz和ACPD2等3個自耦PD控制器的ASF (adaptive speed factor)模型分別為

zcy=zcmyexp(-β|e12|)

(31)

zcz=zcmzexp(-β|e32|)

(32)

zc2=zcm2exp(-|e52|)

(33)

考慮到橫縱向位置可以以相同的速度運行,因而其控制器的最小速度因子可以相同,即

zcmy=zcmz=20α/tr

(34)

再考慮到內環的滾轉姿態角虛擬指令是由外環橫縱向控制力形成的,即x5r=-arctan(uy/uz),因此,要求滾轉姿態角控制器ACPD2的最小速度因子zcm2應該滿足如下不等式條件:

4zcmy≤zcm2≤10zcmy

(35)

3 仿真驗證與分析

為了驗證本文控制方法的有效性, 并與文獻[20]進行比較分析,欠驅動VTOL飛行器的相關參數與文獻[20]完全相同:飛行器質量m=5×104kg,耦合系數ε0=0.05,轉動慣量J=2×105kg·m2.

設采樣頻率fs=1 000 Hz,重力加速度g=9.8 m·s-2,Huygens振動中心坐標為z1=x1-εsinx5,z3=x3+εcosx5.

(1)ACPDy控制器

其中,zcy=10e(-|e12|).

(2)ACPDz控制器

其中,zcz=10e(-|e32|).

(3)ACPD2控制器

其中,zc2=80e(-|e52|),且|x5r|≤0.3 rad.

考慮到輸入受限情況,要求|u2|≤80,進而可獲得欠驅動VTOL飛行器的滾轉力矩um=Ju2.

圖3 文獻[20]控制結果Fig.3 The control results in [20]

比較圖2與圖3可知,本文控制方法只需要6 s即可穩定在指定位置,而文獻[20]則需要至少10 s才能實現穩定跟蹤(由于文獻[20]使用x3d=t來對縱向期望位置安排過渡過程,因而需要10 s才能達到期望的10 m,而本文則使用x3d=10 m,無需對縱向期望位置安排過渡過程),表明本文控制方法的響應速度是文獻[20]的1.6倍以上.此外,本文控制方法的最大底部推力小于6×105N,而文獻[20]則需要8×105N,表明本文控制方法的最大底部推力只需要文獻[20]的75%即可.在姿態控制方面,本文控制方法不存在晃動現象,而文獻[20]存在明顯的晃動現象.由于文獻[20]是基于系統模型的控制方法,且涉及偏導數計算、矩陣代數計算及其重復迭代計算,因而計算復雜、量大,不便于實際應用,而本文控制方法的每個控制器只涉一個速度因子,且與被控系統的模型無關,表明本文控制方法具有良好的模型魯棒性.由于本文控制方法結構簡單、計算量小、物理概念明確、控制思路清晰,因而更便于實際應用.

由于仿真實驗3.1只考慮了垂直起飛的情況,沒有考慮懸停和著陸情況,為了驗證本文控制方法的有效性,下面將進行垂直起飛、懸停與著陸等全工況過程的控制.

仿真實驗3.2.設VTOL飛行器的橫向期望軌跡為x1d=10 m,期望滾轉姿態角x5d=0,縱向期望軌跡為

(36)

圖4 垂直起飛、懸停與著陸控制結果Fig.4 Vertical take-off, hover and landing control results

由圖4可知,本文控制方法對欠驅動VTOL飛行器垂直起飛、懸停與著陸等全工況過程進行控制, 都獲得了良好的動態品質和穩態性能,橫向與縱向位置分別在5 s與10 s之內即可進入穩定的控制狀態,進一步表明了本文控制方法的有效性.由于文獻[20]只考慮了垂直起飛的工況情況,沒有考慮懸停與著陸的工況情況,因此無法進行比較分析.

4 結 論

針對欠驅動VTOL飛行器的控制問題,提出了一種自耦PID控制方法,在復頻域分析了閉環控制系統的魯棒穩定性,仿真結果表明了本文控制方法的有效性,不僅具有良好的動態品質和穩態性能, 而且控制系統結構簡單、計算量小,便于實際應用.此外,本文控制方法的主要思想是根據橫向與縱向2個虛擬位置控制器uy與uz作為外環控制,進而分別獲得VTOL的底部推力和滾轉姿態角的虛擬指令, 再根據滾轉姿態角的虛擬指令,使欠驅動的VTOL系統映射為虛擬全驅動的VTOL系統,在欠驅動非線性系統控制領域具有重要的科學指導意義與廣泛的應用價值.