考慮磁芯飽和的扼流變壓器非線性模型

崔 勇， 楊曉凡， 謝路雨

（北京交通大學 電子信息工程學院，北京 100044）

隨著鐵路列車速度的提高，牽引電流增大，軌道電路所處的電磁環境也越來越復雜.同時，在鐵路信號系統各基礎設備中，鋼軌是列車牽引電流回流的通路，所以軌道電路會不可避免地受到列車牽引電流干擾，尤其是不平衡牽引電流，易使軌道電路出現分路不良或“紅光帶”故障［1］.而扼流變壓器作為25 Hz 相敏軌道電路中強電與弱電的連接樞紐，更易受到電磁干擾.

目前對于扼流變壓器模型的研究主要是建立等效電路模型，而對扼流變壓器的磁芯飽和特性研究較少.文獻［2-4］建立了扼流變壓器傳統等效電路模型，分析了扼流變壓器在地磁感應電流、牽引電流和直流等因素干擾下的工作特性.但這些模型的適用范圍小、計算量大，且沒有考慮扼流變壓器的非線性特性.文獻［5］采用數值分析方法建立了扼流變壓器的非線性模型，但是該模型推導復雜，計算十分繁瑣.

上述研究主要針對扼流變壓器的四端網模型，即設定扼流變壓器工作在線性區，通過傳統的等效電路模型建立扼流變壓器的四端網模型，然后在軌道電路模型中進行串聯.然而扼流變壓器鐵芯由硅鋼片導磁材料構成，在實際應用中具有磁滯性和飽和性，且扼流變壓器往往工作在拐點，不平衡牽引電流、直流干擾會對扼流變壓器的工作點產生影響，此時扼流變壓器可能會產生磁芯飽和，引起扼流變壓器傳輸阻抗的下降，從而與工作在線性區的傳輸阻抗特性存在較大差異.

為了解決上述問題，本文采用JA 理論模擬磁滯回線［6-8］，結合文獻［9］提出的傳統等效電路模型，提出了一種考慮磁飽和特性的扼流變壓器非線性電路模型.模型建立過程中，采用PSO 算法［10］提取JA 磁滯模型參數，以及能量計算法［11］計算扼流變壓器等效電路中的漏電感和漏電容，建立扼流變壓器非線性電路模型；并運用勵磁涌流理論［12］對建立的非線性電路模型進行瞬態分析.與傳統的線性四端網模型相比，本文模型可以反映扼流變壓器非線性區的輸入輸出特性和磁芯飽和情況；與Pspice模型相比，本文模型可實時求解磁芯磁滯回線，并應用于實際現場中的扼流變壓器工作狀態監測與故障分析.

1 模型建立

以25 Hz 相敏軌道電路的BE1-400/25 型扼流變壓器為研究對象，其接線圖如圖1 所示，牽引線圈分為上下兩部分，由2 個8 匝的線圈N1組成，牽引電流iA、iB分別由牽引線圈的兩端流入，由中點流出.信號線圈N2由48 匝的線圈組成，變比為1∶3.當牽引電流平衡時，兩線圈中的電流大小相等，方向相反，兩個線圈所產生的磁通相互抵消；牽引線圈上的信號電流i1由端子1 流入、由端子2 流出，i2為信號線圈上的信號電流，牽引線圈與信號線圈形成變壓器.根據扼流變壓器的結構，傳統的電路模型為如圖2所示的T 型等效電路模型.其中，ZL為原邊漏阻抗，Rm為鐵耗等效電阻，Lm為勵磁電感，L3為二次側線圈電感，T為理想變壓器.

圖1 扼流變壓器電氣接線圖Fig.1 Electrical wiring diagram of choke transformer

圖2 扼流變壓器傳統電路模型Fig.2 Traditional circuit model of choke transformer

扼流變壓器工作過程中的電磁環境比較復雜，往往同時存在多種干擾電流，如不平衡牽引電流以及升降弓脈沖等.分布參數和磁芯會產生電磁干擾通道和影響阻抗.因此本文在傳統扼流變壓器電路模型的基礎上建立考慮分布參數和磁芯的非線性扼流變壓器模型，如圖3 所示.其中，R1、L1、C1分別為原邊繞組的損耗電阻、漏電感和分布電容，R2、L2、C2分別為副邊繞組的損耗電阻、漏電感和分布電容，C12為原邊繞組和副邊繞組之間的分布電容，Lm（i）為考慮磁芯磁滯效應時的勵磁電感，U1為一次側電壓，U2為二次側電壓.

圖3 非線性扼流變壓器模型Fig.3 Nonlinear choke transformer model

1.1 分布參數提取

扼流變壓器在實際的工作過程中，有一小部分磁通是以空氣作為磁路耦合到變壓器副邊繞組，由此便產生了扼流變壓器的漏感［13］.

扼流變壓器繞組內漏磁場以縱向漏磁場為主，且縱向漏磁密度一般按照梯形規律分布［14］，如圖4所示，其中，B表示繞組間漏磁的磁感應強度，Bm為繞組間漏磁最大值.

圖4 繞組間漏磁的梯形分布Fig.4 Trapezoidal distribution of magnetic flux leakage between windings

假設繞組長度為h，原邊繞組和副邊繞組的厚度分別為d1、d2，絕緣間隙為d12，可得原邊繞組層中的磁場強度H1、絕緣間隙中的磁場強度H12和副邊繞組層中的磁場強度H2分別為

式中：N1、i1分別為原邊繞組的匝數、電流，N2、i2分別為副邊繞組的匝數、電流；l為繞組層的厚度.假設繞組的平均半徑為r，總的漏磁能W為

即

式中：μ0為真空磁導率.

根據能量關系，可得原邊繞組漏感L1和副邊繞組漏感L2分別為

同理，分布電容也采用同樣的方法求解.繞組間的結構及電壓分布如圖5 所示，其中層間距離為d.繞組間的電壓與繞組的長度位置呈線性關系，可得繞組間電壓U的表達式為

圖5 繞組結構及電壓分布Fig.5 Winding structure and voltage distribution

式中：U0、Uh分別是繞組始端x=0 處和終端x=h處的電位差，當繞組為折疊式時，U0=Uh；當繞組為U型時，U0=0.

同理可得兩繞組間的電場能Wc為

即

式中：ε0、εr分別是真空電容率和相對介電系數.

則繞組層間的分布電容C為

1.2 JA 磁滯模型

BE1-400/25 型扼流變壓器鐵芯開氣隙為0.2 mm［15］.根據磁路中磁動勢F與磁阻R的關系，可得扼流變壓器的勵磁電感Lm為

式中：S為鐵芯有效截面積；Rc為鐵芯磁阻；Rg為氣隙磁阻；lc為磁芯平均磁路長度；lg為氣隙長度；μr為鐵芯相對磁導率.

由式（12）可得，當扼流變壓器工作在線性區時，鐵芯磁阻遠小于氣隙磁阻，電感由氣隙磁阻決定，因而勵磁電感可以近似等效為定值.當扼流變壓器磁芯飽和時，相對磁導率μr變得很小，則會導致勵磁電感值很小，此時近似等效已不再適用.因此，有必要對扼流變壓器的磁滯回線進行研究，以表征其非線性工作特性.

1.2.1 靜態JA 磁滯模型

根據磁疇理論［14］可得實際磁化強度M、無磁滯磁化強度Man、不可逆磁化強度Mirr和可逆磁化強度Mrev的關系分別為

式中：c為可逆磁化系數，表示實際磁化強度M中可逆磁化強度Mrev的占比，取值范圍為0~1.

無磁滯磁化強度Man的計算式為

式中：Ms為飽和磁化強度；a為無磁滯磁化曲線的形狀參數；α為磁疇間耦合場平均大??；H為磁場強度；He為有效磁場強度且滿足

根據能量守恒原理可得到靜態磁化過程能量守恒的方程式為

式中：k為不可逆磁化損耗系數；δ為表示磁場變化的方向系數；δM為表示磁化強度的方向系數，作用為避免局部磁滯回線非物理解的出現，表達式為

對式（13）、式（14）和式（16）、式（17）化簡，并代入式（18），可得JA 模型磁化強度的微分表達式為

通過對JA 靜態磁滯模型的Ms、k、c、a、α五個參數求解，即可得到JA 靜態磁滯模型磁芯對應的磁滯回線.

1.2.2 動態JA 磁滯模型

靜態JA 磁滯模型只能反映與頻率無關的磁滯損耗，因此還需建立可以表征磁芯交流磁化特性的動態JA 磁滯模型.

根據Bertotti 鐵芯損耗分離理論，鐵芯損耗可分解成3 部分［16］，表達式為

式中：Wh為鐵芯損耗；We為渦流損耗；Wa為異常損耗，表達式分別為

式中：kc為渦流損耗系數；ka為異常損耗系數.

與靜態JA 磁滯模型同理，可得到動態磁化過程中的能量守恒方程式為

對式（23）兩端的He進行微分，然后引入以磁感應強度為輸入的微分方程，化簡得JA 動態模型磁化強度的微分表達式為

動態JA 模型在靜態模型的基礎上增加了kc和ka兩個參數，通過7 個參數來描述磁芯對應的磁滯回線.

2 算法介紹

2.1 JA 模型的參數辨識

本文應用粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO），利用Matlab 編程實現對JA 磁滯模型的參數辨識，實際上就是求解PSO 目標函數的最小值問題.因此，求解JA 磁滯模型參數時的目標函數可表示為

式中：m為實驗數據的個數；Bexp（i）為磁感應強度B的實測值；Bcal（i）為磁感應強度B的計算值.

在算法尋優的過程中，以最小化磁感應強度實測值和計算值之間的誤差為目標，進行全局搜索獲得JA 磁滯模型參數的最優解.

2.2 勵磁涌流分析

在鐵芯磁通達到飽和時，若磁通發生微小變化，則勵磁電流上會有巨大的變化，變壓器一次側會出現數值很大的暫態電流，即為勵磁涌流.因此只有研究勵磁涌流的產生機理，才能更深入地了解扼流變壓器在磁芯飽和時的輸入輸出特性，為軌道電路的安全、正常工作提供理論基礎和保障.根據勵磁涌流理論［14］，勵磁電流i與磁通Φ的關系曲線如圖6所示.

圖6 磁通與勵磁電流關系圖Fig.6 Relationship between magnetic flux and excitation current

由圖6 可知，隨著磁通的增大，當磁通量超過飽和磁通時，變壓器鐵芯將會飽和，而勵磁電流將會發生畸變產生勵磁涌流.

根據麥克斯韋方程中的安培環路定律及磁通表達式，即

式中：N表示線圈匝數；H、l分別表示磁場強度和平均磁路長度.化簡可得勵磁涌流與磁通的關系為

式中：μ表示鐵芯磁導率.因此，利用JA 模型求解磁化曲線、即BH 曲線，可對扼流變壓器勵磁涌流分析，并通過勵磁電流的波形來判斷扼流變壓器磁芯是否飽和.

3 仿真分析

3.1 JA 模型參數辨識結果

利用動態JA 磁滯模型，編程計算扼流變壓器鐵芯的JA 磁滯模型參數，并將辨識得到的磁化曲線與實測磁化曲線進行對比，進而驗證PSO 計算JA 磁滯模型參數的可行性.扼流變壓器的硅鋼片型號為30Q120，JA 磁滯模型辨識時設置的實驗數據如下：PSO 參數中，根據經驗值并結合辨識效果，最終設定粒子群的種群規模n為60，最大迭代次數tk為200，學習因子c1=1.3，c2=1.7，慣性因子w采用時變權重，范圍設為0.1~0.9.根據JA 磁滯模型參數的物理意義，結合實測初始磁化曲線確定PSO 中JA磁滯模型7 個參數的搜索范圍如表1 所示，其中Htip和Mtip分別為磁場強度頂點值和磁化強度頂點值.以動態JA 磁滯模型的參數辨識為例，辨識結果如表1 所示，辨識過程中，對應的誤差迭代曲線如圖7所示.

表1 JA 模型各參數搜索范圍與辨識結果Tab.1 Search range and identification results of each parameter for the JA model

圖7 目標函數誤差迭代變化曲線Fig.7 Iterative variation curve of objective function error

根據表1 的參數辨識結果可以看出，參數辨識結果符合理論設定范圍，且從圖7 可知，迭代計算到100 次左右時，最優個體適應值已達到0.000 25，這表明此時得到的JA 磁滯回線參數與實驗曲線的參數基本吻合，本文模型及算法計算的辨識參數具有有效性.將利用JA 磁滯模型辨識參數仿真計算的磁化曲線與文獻［17］中實測的磁化曲線數據進行對比，結果如圖8 所示.

圖8 初始磁化曲線實驗結果對比圖Fig.8 Comparison graph of experimental results for initial magnetization curve

由圖8 可知，在初始磁化曲線的計算中，仿真計算結果和實測結果在整個磁場強度范圍都能非常好的吻合，驗證了PSO 在JA 磁滯模型參數辨識時具有較好精確性.最后，對比根據辨識參數得到的扼流變壓器動態磁滯回線和靜態磁滯回線，如圖9所示.

由圖9 可知，在靜態磁滯回線和動態磁滯回線的計算中，整個磁場強度范圍內的2 個計算結果整體趨勢都能較好的吻合；磁芯在交流磁化中的動態磁滯回線相較于在靜態磁滯回線中的磁滯損耗有所增大，這是由于采用靜態模型進行求解時，模型中只考慮了與頻率無關的磁滯損耗，沒有考慮交流磁化影響下的渦流損耗和異常損耗，所以靜態磁滯回線略小于動態磁滯回線，與理論分析相符.

3.2 扼流變壓器非線性模型的分析驗證

依據三電容模型仿真計算扼流變壓器的分布參數，并根據扼流變壓器的實際結構運用Maxwell 有限元軟件進行建模與仿真，對模型的計算值進行驗證.扼流變壓器原邊繞組采用截面積為46.2 mm2的雙玻璃絲包扁銅線繞制而成，繞制方式為立繞式，絕緣厚度為0.4 mm；副邊繞組采用直徑為2 mm2的雙玻璃絲包圓銅線繞制而成，絕緣厚度為0.25 mm；繞組層間的絕緣間隙為0.5 mm，繞組的平均半徑為49 mm.鐵芯由2 個32 mm×64 mm×160 mm 的CD型鐵芯組成.在Maxwell 建立扼流變壓器的仿真模型，如圖10 所示.

圖10 扼流變壓器的3 維模型圖Fig.10 3D model diagram of choke transformer

設置相應的邊界條件和激勵，利用場求解器得到分布電容和漏感表征的總能量，進而求解出扼流變壓器分布電容和漏感的仿真值.仿真結果與理論計算值如表2 所示.

表2 扼流變壓器分布參數計算結果對比Tab.2 Comparison of calculation results for distribution parameters in choke transformer

由表2 可知，仿真值與理論計算值比較吻合，驗證了模型的有效性.同時由于在Maxwell 中仿真時將扼流變壓器繞組等效成了理想的圓形，且能量場的能量值數量級較小，讀數存在一定的誤差，因此，理論值與仿真值間存在一定的誤差.

根據模型參數仿真計算調整狀態下接收端扼流變壓器正常工作時兩端的電壓和電流.仿真參數如下：信號頻率為25 Hz，牽引線圈的電壓和電流分別為Uj=0.435 6∠72.7°和Ij=0.823 1∠41.32°；信號線圈的電壓和電流分別為Ubej=1.300 95∠73.23°和Ibej=0.213∠65.07°.利用扼流變壓器非線性模型求解BH 曲線及其兩端的電壓電流曲線.在Pspice 中搭建接收端扼流變壓器非線性仿真模型，仿真參數與上述電壓電流仿真參數一致.將計算結果與仿真結果進行對比，如圖11 所示.

圖11 正常工作時計算結果與Pspice 仿真結果對比Fig.11 Comparison of calculation and Pspice simulation results during normal operation

由圖11 可知，Pspice 的仿真結果和本文模型的結果吻合精度較高，仿真的扼流變壓器的一次側、二次側電流幅值分別為0.831 A、0.253 6 A，仿真計算的二次側電壓幅值為1.219 V，與四端網模型的計算結果基本吻合，驗證了模型和仿真結果的正確性.從圖11（a）可知，扼流變壓器在軌道電路中正常工作時磁芯的磁感應強度遠小于在磁芯飽和時的磁感應強度.此時，扼流變壓器工作在線性區，磁滯回線為交流磁滯回環.同時對應的勵磁電流波形為正負對稱的正弦波.改變扼流變壓器一次側的激勵電壓幅值和頻率，仿真牽引回流令其磁芯達到飽和狀態，仿真參數為50 V，頻率為50 Hz，其余參數與正常工作狀態時相同.對比結果如圖12 所示.

圖12 磁芯飽和時計算結果與Pspice 仿真結果對比Fig.12 Comparison of calculation and Pspice simulation results when magnetic core is saturated

由圖12（a）可知，對比Pspice 仿真結果和本文模型計算結果，此時扼流變壓器磁芯飽和，對應的磁滯回線為飽和磁滯回線，且仿真和計算的磁滯回線基本吻合；對應的圖12（b）和圖12（c）中的飽和一次側電流和二次側電壓的仿真結果變化趨勢也基本吻合，但峰值存在略微的差別.這是由于當扼流變壓器磁芯處于深度飽和時，磁滯回線上的微小差別反映在勵磁電流上也會存在較大的差距.由于Pspice 仿真結果和JA 磁滯模型對應的磁芯磁滯回線存在微小的差距，所以此時求解得到的勵磁電流在幅值上有細微的誤差.

由圖12（b）可知，勵磁電流在0.004 1 s 時突增，發生畸變.根據磁通Φ與勵磁涌流的理論分析可知，此時變壓器磁芯飽和.對應的二次側電壓在0.004 2 s 時突減；根據式（12）可知，磁芯飽和時相對磁導率突減，進而勵磁電感Lm突減，即扼流變壓器的傳輸阻抗大大減小，導致扼流變壓器二次側的電壓值也大幅減小，與圖12（c）中的仿真結果一致.25 Hz 信號電流對應的二次側電壓如圖13 所示.由圖13 可知，磁芯飽和時信號線圈的輸出電壓幅值降為0 V，會引起紅光帶故障.

圖13 磁芯飽和時信號電壓結果對比圖Fig.13 Comparison of simulation results of signal voltage when magnetic core is saturated

綜上可知，磁芯飽和時對于扼流變壓器的輸出電壓及電流有明顯影響.對比扼流變壓器正常工作及飽和狀態的仿真結果表明，當扼流變壓器工作在線性區時，BH 曲線沒有進入飽和區，勵磁電流為正負對稱的正弦波；當扼流變壓器磁芯飽和工作在非線性區時，BH 曲線進入飽和區，磁滯回線為飽和磁滯回線，勵磁電流發生畸變.因此，可以通過扼流變壓器原邊電流的波形或者磁芯的磁滯回線形狀來判斷扼流變壓器發生故障時磁芯是否飽和，并且指導實際現場中的扼流變壓器故障診斷.

4 結論

1）提出一種結合JA 磁滯模型及三電容變壓器模型的扼流變壓器非線性模型的建模方法，該方法在傳統的扼流變壓器T 型等效電路模型建模方法上做了進一步的優化，相較于傳統的方法，本文模型可應用于扼流變壓器磁芯飽和等非線性的問題分析，在飽和機理、磁芯模型的建立以及飽和分析上都有較強的應用性.

2）采用PSO 算法來提取扼流變壓器中磁芯的磁滯回線參數，同時運用能量計算法來提取扼流變壓器的漏電感和分布電容，這種模型及算法的物理意義明確，便于理解和計算.

3）將仿真的分布電容參數的計算結果與Maxwell 的仿真結果進行對比驗證，得出本文模型的方法在提取扼流變壓器漏感和分布電容的參數時具有較好的精確性；將非線性扼流變壓器模型的求解結果與Pspice 的仿真結果進行對比驗證，說明本文的模型及算法可以較準確地分析扼流變壓器中磁芯飽和問題.可以通過分析此模型磁芯的實時磁滯回線形狀或者扼流變壓器原邊電流的畸變情況來判斷扼流變壓器磁芯是否飽和.