大學先修的課堂軼事

張英伯

(北京師范大學數學科學學院 100875)

青島中學是北京十一學校的盟校，由十一學校校長李希貴擔任名譽校長，2016年前后負責學?；I建及校務工作的是秦建云校長.

記得有一天，北師大數學系的畢業生，十一學校的數學教師潘國雙接我們去學校，秦校長和王東剛老師一起鄭重地邀請我們到青島中學講授大學先修課程，我們愉快地接受了邀請．在 2017 年的秋季開學之前抵達青島，東剛老師開車到火車站迎接.

當我們第一次踏進青島中學，看到莊重、美麗的教學大樓，看到綠草茵茵，綠樹成行，三面環海的校園，感到十分震驚．在我們訪問過的全國各個高校，甚至歐洲美國的學校，從來沒有見過這么漂亮的校園.

我們很快投入了工作．九年級的數學分析由王昆揚教授擔任，所用課本是在他自己編寫的北師大一年級《數學分析》教材的基礎上，考慮到中學生的實際水平，再三修訂而成的；高等代數由張英伯教授擔任，所用課本由張英伯、王愷順編寫的大學教材《高等代數》修訂而成．我們也曾經考慮過是不是用物理、化學或工科的《高等數學》，經過反復衡量，覺得還是用數學系的課本更加合適．因為數學日益成為現代科學不可或缺的基礎，英才教育需要培養通曉數學的科技人才.

我們教的第一個班由 2017 年秋季入學的九年級、當年 15 歲的學生組成．第一堂課教室里坐滿了人，大約有三、四十名．然后陸續減員，到第一學年結束剩下七名，期末考試成績還算說得過去.

第二學年有兩個孩子去了北京十一學校，兩個孩子退出，剩下兩個女孩紀乃文和李逸然，一個男孩張博文仍然很努力地跟著.

選修數學分析課的學生多一些，除了他們三人之外，盛佳寧、宋玉倩等也都陸續跟了幾個月．兩年之后的 2019 年秋季開學，伍文浩同學一個人單獨跟著王老師學習了一年.

我的高等代數作業很多，課本上的習題全部留給學生做了，稍難一點的題目就在做完后進行課堂討論．難題大多由張博文講，至今記得張博文在白板上講題時，李逸然和紀乃文不錯眼珠地盯著他，全神貫注地看他板書，聽他講解.

在 2019 年夏季，學期結束之前，我們為三個孩子參加中國教育學會組織的大學先修課程(CAP)全國統一考試做過準備．當時我給他們制定的高等代數考試目標是：張博文 80 分，兩個女孩子 70 分．但是由于新冠疫情的干擾，那一年的 CAP 考試未能如期舉行．而張博文得到了一個赴美交流一年的機會，遠走他鄉.

在 2020 年春季，大學先修課程全國統考之前，我們為碩果僅存的兩個女孩子進行了考前輔導，仔細地回顧了全書重要的定義和定理．其中李逸然得到了全國第一名的好成績.

王東剛是李逸然班上數學課的任課教師，歲數不大卻有多年的教學經驗，特別認真負責．學生的成績是東剛從網上查出來的，查到分數的那天上午十點來鐘，我和王昆揚離開辦公室打算去操場走走，隔壁辦公室的東剛見到后，立刻跟出來說，咱們一塊走吧.

他向我們宣布了關于李逸然的好消息，王昆揚和我都感到相當意外．記得當時我們三個人特別興奮，沿著操場上赭紅色的四百米跑道走了兩圈，跑道內是綠草茵茵的足球場．東剛始終不停地說著，為了保險起見，他請我們再向高等教育委員會核實一下.

回到辦公室，我立即給負責 CAP 考試安排的李楊映雪發微信詢問，她是中國大學先修課程試點項目數學專家委員會的召集人．記得我特別詢問了這個第一是青島市、山東省、 還是全國．李楊非常負責任地查閱了考試記錄，回信說是全國第一．但全國參加考試的學生不多，只有四十余人.

李逸然的絕對分數并不很高，只有 71 分，但這是與北京、上海、江蘇、浙江、廣東等名校林立的發達地區相比，在全國的高手之間能夠排在第一名也算相當不容易了．學校的走廊里很快掛出了李逸然的大幅照片，學校向全體教師和同學宣布了好消息.

在整個過程中，表現最淡定的是李逸然本人．記得學校的攝影師在課堂上找到她，叫她到我們的辦公室來，給她、王昆揚和我拍了一張三人合影．剛一拍完，她馬上很有禮貌地對我們說：“老師，對不起，我還有課，先走了．”說完便站起來沖回了上課的教室.

事過兩年之后，我在學生食堂見到她正跟同學們坐在一起進餐，她也看到了我，馬上站起來打招呼．兩年前我可以拍拍她的頭頂，現在她已經比我高出小半個頭，成了亭亭玉立的大姑娘，我們只能擁抱一下了.

李逸然是一個美麗善良、文靜謙和的女孩子，學習非常踏實、特別刻苦．記得在他們九年級第一學期結束之前，我布置寒假作業，除了做題之外，還請同學們寫一份高等代數的學期總結．因為心里對學生寫總結沒抱什么希望，第二學期開學我都快把這件事情忘了．沒想到李逸然交給我一份學習總結，寫得整整齊齊，清清楚楚．說心里話我當時相當感動，感嘆著竟然還有這么聽話的乖孩子．我讓她將總結當中關于“矩陣秩”的一段摘錄出來投給《數學通報》雜志，經過兩位專家審查后刊登了.

一年后張博文從美國回來，馬上找到王老師復習數學分析，每周兩次，每次一、二個學時．他覺得這門課程理論性很強，自己掌握得不夠理想．他不斷地提問題與老師討論，每個問題不徹底弄明白不會罷休，是個準備上大學攻讀數學專業的樣子.

從 2020 年 9 月開始，我們為新一屆的九年級學生講授數學分析和高等代數，為期兩年，每科歷時一年，課時安排為每周四學時．因為在新冠流行的隔離階段教過這屆學生讀八年級時的網課，我們彼此之間非常熟悉.

這屆學生以男生為主，共有五名：李中元、蘇徹、黃冠翔、宛卓遠、曲浩洋，還有一位女生邢文，依然聰慧美麗．當然男孩子好像更有優勢，他們的邏輯思維能力似乎要強一些．王昆揚曾在上課時談到他們的學姐李逸然在 CAP 考試中得到全國第一名的好成績，孩子們在課堂上情不自禁地鼓掌歡呼，也許這是對他們莫大的鼓勵吧.

我們過去在北師大給本科生上基礎課時，課堂是大階梯教室，坐著三個班級的120 名學生．除了老師講課的聲音，學生們都在安靜地記筆記聽講，一聲不出．但是中學生上大學先修課時特別活躍.

李中元是一個非常聰明的孩子，接受能力和理解能力皆為一流．王昆揚曾經在課堂上講過一個定理：“實直線上的單調函數最多只有可數多個間斷點．” 在弄清楚一個間斷點對應于一個開區間，不同的間斷點對應于不同的開區間之后，李中元立即想到互不相交的開區間最多只有可數多個，這是因為分數的集合是可數的，從每個開區間中取出一個分數，最多只能取可數多個．他把手高高地舉過頭頂，大聲闡明了上述想法．得到老師的肯定后，他興奮地倒在黑板前的地上打了個滾兒，站起來拍著桌子為自己歡呼．王昆揚問坐在最邊上的女孩子邢文聽懂了沒有，邢文嚴肅地點點頭說“懂了”．不久以后，曲浩洋和邢文去了北京十一學校，宛卓遠退出了.

王昆揚講授數學分析時，經常對學生進行測試，李中元每次的分數都在 95 以上．以王昆揚一貫的嚴謹作風和高標準要求，能得到這種分數的學生并不多見． 李中元是提前一年從青島中學畢業的，他修完了學校的全部課程，每門課都得到了幾乎滿分的成績．與此同時，他還參加了英國劍橋大學的入學考試，并被順利錄?。衲昵锛鹃_學，他便要遠渡重洋奔赴英倫，成為劍橋大學的學生了.

青島中學愛樂樂團團長，薩克斯管演奏員黃冠翔上半個學期沒有跟大家一起上課，學期中間才來到班上，王昆揚給他一本數學分析教材，讓他自己讀書．在沒聽過老師講課的情況下，黃冠翔竟然也在黑板上把習題做出來了．一般學生在老師的指導下理解數學分析的理論尚且不易，他能夠自學理解，學習能力可以說相當強了.

有一天上高代課習題課，下課鈴聲剛響，李中原和黃冠翔就一溜煙地跑出教室不見了蹤影，過了五分鐘，兩人又氣喘吁吁地跑回來了，一副勝利者的模樣．我問他們干什么去了，他們說把剛剛講過的高代題目拿去考他們的數學老師了，老師不會做，我聽了真是哭笑不得．后來黃冠翔每次參加數學競賽，總會給我帶來一道競賽題，我不會做，他就很高興地給我講一遍.

高等代數課本也用的是北師大數學系本科教材．這本書的習題有相當的難度，是由現任北師大數學學院院長，當年和我同時講課的王愷順教授搜集整理的.

王愷順是一個特別嚴肅認真的人，他搜集了所有紙質版的、網絡上的中、外課本和習題集，從中提煉出適合課程內容的題目，編寫成目前每節書后的習題.

全書的題目全部作為作業留給孩子們了．黃冠翔把他的同學兼朋友周潤禾拉過來一起上課，周潤禾高高瘦瘦，長得非常漂亮，如果不是事先知道這是一個男孩子，很容易讓人以為遇到了一位小姑娘.

黃冠翔、周潤禾學習非?？炭?，做完了高等代數書中的全部習題．這些題目數量眾多，覆蓋面廣泛，其中部分題目有相當的難度.

在高等代數講完之后，我和兩個孩子合作，編寫了全書的習題解答．他們非常認真，我寫完初稿后，他們仔細檢查，從數學內容到行文編排，提出了許多寶貴的意見.

其中有一道解三元一次方程組的題目，周潤禾指出我的計算錯誤，并給出了正確答案.

還有一道非常困難的題目，黃冠翔在黑板上演算了兩次，都沒有得到正確答案．第二次演算錯誤之后，我決定給他一定壓力了，對黃冠翔說，明天上課你必須給出正確解答，這是你最后的機會，如果再做錯，就……

第二天他在黑板前侃侃而談，果然十分嚴謹，挑不出一點毛?。倚闹邪蛋蹈吲d，想想早年間老先生們做法還是挺管用的.

最為難能可貴的是，黃冠翔不僅學習出色，而且為人善良，樂于奉獻．大先課與縫紉、木工等等選課一樣，將上課時間排在晚飯以后．在 2021 年嚴冬，一個風雪交加的傍晚，我走進教室準備上課，發現里面只有周潤禾與蘇徹．我問黃冠翔呢？兩人都不知道．正在這時，黃冠翔氣喘吁吁地跑了過來，見面就檢討“老師對不起，我沒聽到鈴聲，遲到了．” 他頭上冒汗，雙手凍得通紅．我問“你干什么去了？”他不好意思地笑笑：“我在操場上撿冰塊．”我很驚訝：“為什么撿冰塊??？”他回答：“周一早晨全校同學在操場集合，舉行升國旗的儀式．我怕有人滑倒．”我聽后心中十分感動，讓他趕快進教室暖和暖和．那天上的是習題課，三個孩子馬上熱火朝天地討論起來.

有一個星期天，黃冠翔來學校向王昆揚請教一些問題，問題討論完畢已經到了午飯時間．我們對他說一起到學校附近的小飯店去吃點東西吧．王昆揚走在前頭，很快從學校西門出去過了馬路．我們在后面，出了西校門后我也準備和黃冠翔一起過馬路，不料黃冠翔說，按照交通規則，這個馬路不能直接過，應該從學校北門的立交橋繞行．我說：“現在馬路上一輛車都沒有呀，不至于吧！”但他堅持交通規則是應該遵守的．我心里這份氣??！繞過去得有一里多地.

他告訴我有一次他和父親去大商場買東西，也是要穿過一條馬路，父親直接過去了，他不干，非要繞立交橋，繞是繞了，但是出來就被他父親打了一頓．我心想打得好，我也想打你一頓，只是作為教師不能下手罷了．我們頂著大太陽走了一里地，渾身被汗水濕透．王昆揚早已點好了飯菜等候多時，驚訝地問我們去哪里了，怎么才來.

高等代數講完以后，我對黃冠翔和周潤禾進行了一次測試，用的是教育部組織北大和北師大共同擬定的 CAP2007 年 B 卷．也許流年不利，考試的那天晚上黃冠翔感冒了，周潤禾肚子疼．我跟他們商量要不要推遲兩天，他倆說不用，能夠堅持．黃冠翔一直在咳嗽，周潤禾則一直捂著肚子．我見狀下樓到醫務室，跟校醫要了感冒藥和止疼片，回來給他們一人打了一杯溫開水服藥．好在他們年輕，竟然暫時把癥狀壓下去了．我以為這次肯定要考砸了，沒想到按照試卷的判分標準，黃冠翔得到 92 分，周潤禾 89 分．我當時都呆住了，反復檢查幾次，確定自己沒有判錯．這可是大學先修課程從未有過的高分！

劍橋大學是黃冠翔一直以來的理想學校．目前他經過近一年的努力，順利地通過了劍橋大學數學專業各類課程的幾十門考試，拿到青中的推薦之后，預計明年就可以到英國去學習了.

周潤禾也通過了五花八門的英語測試，準備申請美國的學校了．考慮到這孩子身體較弱，我聯系到過去的北師大數學系畢業生，現在美國華盛頓為政府維護電腦系統安全的張強．張強是個熱心人，凡是北師大赴美留學的同學，只要找到他，都會得到熱情的接待．我跟張強詳細地談了周潤禾的情況，請他幫忙，他一口答應下來，盡可能地給這孩子提供生活上的照顧.

前幾天我和王昆揚在食堂吃過午飯，在回辦公室的路上迎面碰到孫嘉欣．孫嘉欣是一位端莊美麗，聰慧優雅的女孩子，曾經和黃冠翔等人一起跟隨我們學習過大學先修課程．她滿面笑容地對我們說，她已經被美國的學校錄取，很快就要去那里讀書了．我雙手握住她的手，衷心地祝愿她學習順利.

現在我們又開始教新一輪的大學先修課程，這次已經不再是數學分析和高等代數，而是王昆揚的實變函數和我的近世代數，大學數學系大二、大三的課程．王昆揚那里有兩名學生，耿子翔和牟俊毓，我這里有一位楊儒辰.

由于只有一名學生，課堂教學幾乎都是他講我聽，遇到重點和難點時予以點撥．同時，我和楊儒辰開始編寫近世代數習題解答，他已經做完了書中的大部分習題，并逐題跟我進行過討論.

我們準備下學期開學講授高等代數的若爾當標準型和近世代數的伽羅瓦理論．這是代數學的兩大重點和難點.

孩子們自發地、非常強烈地要求學習，甚至主動要求老師講深一點、多一點，完全不發憷ε-δ語言之類嚴格的邏輯訓練.

青島中學的現任主管校長汪正貴先生是一位博學睿智的實干家．他非常支持大學先修課程的開設，經常與我們交流、溝通：關心學生的學習情況；談談各自對教育教學，國內外教育形勢的看法；詢問我們在青島的生活；甚至還在周末邀請我們去青島市內走走、聊聊.

在青島中學講授大學先修課程，成為我們晚年的生活樂趣與精神寄托.