基于滑?？刂破鞯膲弘妶绦衅骶€性化控制研究

凌金成,劉志強,2 ,周振華,2,周民瑞

(1. 長沙理工大學 汽車與機械工程學院,湖南 長沙 410114;2. 機械裝備高性能智能制造關鍵技術湖南省重點實驗室,湖南 長沙 410114)

0 引言

壓電陶瓷具有納米級分辨率、高精度[1]、大輸出力[2]及寬帶寬[3]等優點,被廣泛應用于微定位[4]、微操作[5]和微組裝的各種精密系統[6]的致動器中。但壓電陶瓷具有嚴重的遲滯非線性現象[7],如果沒有合適的控制方案,利用壓電陶瓷驅動的精密系統,其精度和速度等性能會急劇下降。因此,建立最優的模型和控制方法,減小遲滯非線性,提高壓電驅動平臺的精度,一直是熱門研究課題。

為了更好地描述非線性遲滯問題,實際應用中需要通過建立非線性模型和控制來提高控制精度。國內外學者主要在現象模型上做了大量的研究,因為現象模型是不考慮其工作原理,將遲滯曲線看成數學問題?，F象建模得到廣泛應用,其簡單性和準確性使其在工程應用上具有物理建模所不具備的優勢。一般現象模型根據數學模型不同分為微分類遲滯模型和積分類遲滯模型。常見的微分類模型有Duhem模型[8]、Dahl模型[9]、Bouc-Wen(B-W)模型[10]等,常見的積分模型有Prandtl-Ishlinski模 型[11]、Preisach模型[12]等。壓電陶瓷運動時,不同頻率下其遲滯非線性表現出率相關特性,因此在建模過程中需要加入率相關影響因子。文獻[13-15]在頻率相關遲滯模型方面進行了較多研究。在建立模型過程中,模型的參數辨識很重要,國內外學者主要通過改進基于最小二乘法、粒子群算法、神經網絡算法、遺傳算法、免疫算法和蟻群算法等來獲取很好的參數,提高建模精度,更好地擬合非線性遲滯模型。在遲滯控制方面有前饋控制、反饋控制[16]及前饋反饋復合控制。前饋反饋復合控制是前饋和反饋控制方法相結合的控制方案,是目前應用最廣的控制方法。前饋反饋復合控制一般通過逆模型前饋補償快速減小遲滯誤差,為減小開環逆補償下各種擾動的影響,在逆模型基礎上加入反饋控制,以實現前饋反饋復合控制。

綜上分析,為更好地描述非線性遲滯問題,本研究基于傳統的B-W模型[17],建立與Hammerstein結構相結合的模型。因為傳統的B-W模型是利用一個具有遲滯形狀參數的非線性微分方程來描述遲滯特性,根據選擇不同遲滯形狀的參數,可以得到各種形狀的遲滯環,而且它只需要用一個輔助的非線性微分方程來描述遲滯行為,計算效率較高,逆模型求解也較方便。但該模型關于中心點嚴格對稱,對于非對稱遲滯特性的擬合精度有限,并且該模型未加入頻率影響因子,達不到率相關效果,故需與Hammerstein結構[18]相結合加入一個二階非線性系統,實現率相關。本研究在傳統的B-W模型中加入二階系統,利用粒子群算法辨識參數,在滑模反饋時利用卡爾曼做狀態預估,實現前饋加滑模反饋復合控制?；诒狙芯刻岢龅腍ammerstein結構模型,對比研究了前饋補償、前饋加比例、積分、微分(PID)控制反饋補償、前饋加滑?？刂品答佈a償3種控制方法的效果。

1 B-W率相關模型建立

1.1 傳統B-W模型

傳統 B-W模型是分別對線性分量和磁滯分量進行建模,表示為微分方程。經典的B-W模型(CBW)模型已廣泛應用于具有遲滯特性的非線性系統中[19],在用于表征壓電執行器(PEA)的遲滯非線性時,可采用遲滯算子和位移算子建立模型,具體形式為

Y(t)=KU(t)+H(t)

(1)

(2)

CBW模型涉及參數少,易建立逆模型,但是模型的參數未涉及頻率相關,如果直接描述非線性遲滯模型,在不同頻率激勵輸入時難以得到較高的擬合度,因此需加入率相關模型。

1.2 建立率相關的B-W模型

在驅動電壓作用下壓電陶瓷將產生遲滯,且遲滯的形狀與輸入信號的頻率有關,這種率相關遲滯非線性特性嚴重影響壓電陶瓷的應用。為了能準確描述壓電陶瓷遲滯非線性,本研究采用Hammerstein模型結構(見圖1)描述壓電陶瓷驅動微定位平臺的率相關遲滯特性。圖1中,u為輸入電壓,H為遲滯模型,Y為CBW模型輸出,G(s)為二階系統,y為輸出位移。Hammerstein模型是塊連接結構的非線性模型,由一個靜態非線性函數串聯一個線性動態模塊組成。靜態非線性環節采用B-W遲滯模型描述,線性動態環節等效為一個二階線性時不變系統。二階系統動力學方程為

圖1 Hammerstein-模型結構框圖

(3)

Y(t)=KU(t)+H(t)

(4)

(5)

式中:M,B,K1分別為遲滯系統等效的質量、阻尼、剛度;Y(t)為CBW模型輸出。加入二階系統后能更好地描述遲滯模型非線性系統,具有較高的擬合度,實現率相關的跟蹤。

2 遲滯非線性復合補償控制器設計

本文采用遲滯前饋補償與滑?？刂品答佈a償復合控制策略,使用B-W逆模型對壓電執行器的靜態遲滯非線性進行補償?；？刂破飨韧ㄟ^狀態空間方程對ARX動態遲滯率相關模型進行描述,然后通過卡爾曼濾波器對動態率相關性的狀態變量進行預測,再將預測的狀態矩陣反饋到滑?？刂破鬟M行反饋補償,形成一個前饋和反饋相結合的復合控制系統。

2.1 CBW逆模型的前饋補償控制

前饋逆模型補償控制能夠通過期望位移來輸入控制電壓,可有效降低PEA的遲滯非線性[20],且遲滯模型的解析逆模型存在與否決定了逆模型前饋控制器設計和實現的難度?；谒岢龅腃BW模型和二階系統設計逆模型,具體控制結構如圖2所示。前饋控制器為

圖2 逆控制模型

(6)

由于Uff(t)與H(t)不可同時獲得,但在采樣頻率較高時有:

H(t)≈H(t-1)

(7)

因此逆模型前饋補償為

(8)

(9)

式中:xd(t)為期望位移;Uff為前饋控制的輸出電壓;t為采樣的順序點。

2.2 卡爾曼觀測器設計

實際應用中,誤差的主要來源于建立描述遲滯特性的數學模型與壓電陶瓷執行器實際輸出的誤差、壓電陶瓷執行器工作過程中其他行為的影響以及外界的干擾與系統測量噪聲的影響。前面兩種誤差主要為建?？刂粕系挠绊?外界干擾與系統測量噪聲會直接影響反饋信號的準確度,為了減小外界干擾的誤差影響,本文引入卡爾曼觀測器對信號進行觀測預估,提高了測量精度。

壓電陶瓷執行器的遲滯率相關采用ARX模型描述,因此,在設計卡爾曼觀測器中利用ARX模型進行離散化得到的狀態空間矩陣方程為:

(10)

式中:A、B、C為ARX方程離散化的狀態空間矩陣系數;xk為線性時不變系統的狀態變量;uk為CBW模型的輸出分量;yk為輸出位移量。

本文使用離散卡爾曼預測得到的狀態變量xk為

(11)

式中:w,v分別為過程噪聲和測量噪聲,都是為零均值不相關的高斯白噪聲,在卡爾曼觀測中方差分別用Q和R表示;uk為CBW模型的輸出量;yK為測量的位移值。狀態變量的推算公式如下:

(12)

式中:PK,DK分別為預測誤差方差矩陣和預測誤差方差更新矩陣;KK為卡爾曼增益矩陣;YK,XK分別為先驗狀態變量和估計狀態變量。UK在為CBW模型的輸出量;yK為測量的位移值。

2.3 S型滑?？刂破髟O計

B-W模型的逆模型屬于開環控制,抵抗外部干擾的能力差。本文設計了一種基于S型函數的滑?？刂苼硐Ｓ嗟臏蟛糠?提高控制器的魯棒性,實現高信號跟蹤精度。具體控制策略如圖3所示。圖中,r(t)為期望位移信號,X(t)為卡爾曼觀測的狀態矩陣,y(t)為執行器實際輸出位移信號,Y(t)為CBW靜態模型輸出信號,Ufb為滑?？刂戚敵龅碾妷盒盘?Uff為逆模型輸出的電壓信號。X1、X2、X3分別為卡爾曼觀測器輸出的位移、速度、加速度值,X1、X2可由狀態矩陣直接輸出,根據二階系統可得到X3=Y(t)-BX2-K1X1,r1、r2、r2分別為期望的位移、速度、加速度值。

圖3 基于滑?？刂撇呗阅Ｐ?/p>

為了設計S型滑?？刂破?定義誤差函數為

(13)

為了減小控制器的穩態誤差,定義積分滑動面為

(14)

式中λ為正常數。為控制效果更好,在控制規律函數上選擇冪指數趨近律函數為控制函數:

(15)

式中η為增益ε(0<ε<1)的常數,其決定滑動面的收斂速度。

(16)

根據滑模規律可得:

(17)

將誤差一階導數替換,得到基于冪次趨近律的控制輸出:

(18)

前饋加反饋控制可得總輸出為

U=Uff+Ufb

(19)

為了證明控制系統的穩定性,定義李雅普諾夫函數V=s/2,其一階導數為

-η|s|t+1≤0

(20)

根據李雅普諾夫定理可知,控制系統穩定。

3 模型仿真與分析

3.1 模型參數辨識與驗證

根據前面的建模和壓電陶瓷執行器[20]可知,傳統的B-W模型(見式(1)、(2))需要利用智能算法對α、β、γ和K4個參數進行辨識,本文采用粒子群算法辨識上述4個參數的最優值。1995年,Eberhart和Kenndy提出了粒子群算法。粒子群算法(PSO)本質上是一種隨機搜索算法,一種智能優化技術。該算法具有概念簡明,參數設置少,易實現,精度高和收斂快等優點,已被廣泛應用于優化問題和搜索問題中。具體的辨識步驟為:

1) 首先對壓電執行器施加幅值為100 V,頻率為1 Hz的正弦激勵信號,并同步采集與激勵信號對應的位移量[20-21]。

2) 在Matlab程序上設置PSO的迭代次數、粒子數量、粒子的初始速度將壓電陶瓷執行器的實際位移與CBW模型輸出位移的均方根誤差作為算法停止條件。

根據上述步驟可辨識得到1 Hz單頻激勵的傳統B-W模型參數,也稱作率無關參數。本文研究辨識得到K=0.065 493 211 703 623,α=-0.032 622 992 806 397,β=0.029 945 089 706 869,γ=-0.052 690 344 204 044。將上述辨識得到的參數輸入到CBW模型中,然后用1 Hz,的正弦信號激勵得到的模型輸出如圖4所示。其中最大誤差為0.290 87 μm,誤差均方根為0.086 022 μm。

圖4 1 Hz激勵的模型位移與實際位移

由圖4可看出,在1 Hz下跟蹤效果較好,但隨著頻率改變,誤差越來越大,因此需要加入Hammerstein結構模型,增強模型率相關跟蹤,減小誤差。Hammerstein結構模型跟蹤步驟:

1) 首先將幅值為100 V、頻率為0～100 Hz的掃頻正弦電壓作為激勵輸入傳統B-W模型中,然后得到傳統B-W模型輸出。

2) 利用Matlab二階系統參數辨識工具辨識參數,將傳統B-W模型輸出作為二階系統的輸入,將壓電陶瓷執行器在0～100 Hz掃頻激勵下得到的實際位移作為二階系統輸出位移。辨識得到的二階系統為

(21)

將辨識得到的二階系統與傳統B-W模型結合,然后進行驗證,利用100 Hz的激勵信號作為傳統B-W模型的輸入,得到實驗數據進行驗證,其中傳統B-W模型的最大誤差為 1.228 1 μm,誤差均方根為0.654 95 μm。加入Hammerstein結構模型后,經誤差分析可知,模型最大誤差為0.419 95 μm,誤差均方根為0.186 39 μm,跟蹤誤差減少了87.99%。因此,基于傳統B-W模型的Hammerstein 結構模型能精確描述壓電定位平臺的遲滯非線性特性,具體跟蹤效果如圖5、6所示。

圖5 遲滯模型的誤差

圖6 100 Hz下加入率相關系統軌跡對比

3.2 跟蹤控制結果與分析

基于上面的參數辨識和模型設計,在Matlab程序中設計好控制器,仿真分析中,設計了前饋控制、前饋PID反饋控制,并與本研究設計的前饋滑?？刂七M行對比。仿真過程中分別輸入幅值為6 μm、不同頻率的正弦信號作為期望信號,再與模型輸出的仿真軌跡進行對比,其跟蹤效果與誤差如圖7-14所示。

圖7 1 Hz的跟蹤效果

圖8 1 Hz跟蹤誤差

圖9 10 Hz的跟蹤效果

圖10 10 Hz的跟蹤誤差

圖11 50 Hz的跟蹤效果

圖12 50 Hz的跟蹤誤差

圖13 90 Hz的跟蹤效果

圖14 90 Hz的跟蹤誤差

由圖7-14可看出,基于傳統的B-W模型Hammerstein結構的前饋補償、 PID 反饋復合控制方法與本文提出的基于傳統的B-W模型Hammerstein結構的滑?？刂蒲a償方法都能實現實時跟蹤控制。但在不同頻率正弦信號輸入下,本文提出的基于傳統的B-W模型Hammerstein結構的滑?？刂蒲a償跟蹤均方根誤差遠小于其他兩種控制方法,在1 Hz時,跟蹤的均方根誤差僅0.001 592 3 μm,基本能跟蹤上,效果非常明顯。

雖然跟蹤均方根誤差隨頻率增加而增大,但在正弦信號90 Hz激勵下,本文提出的控制方案跟蹤均方根誤差為 0.073 625 μm。在很多實際工程應用中,反饋測量精度約為0.1 μm。相對于基于傳統的B-W模型Hammerstein結構的前饋補償控制方法,在90 Hz時跟蹤均方根誤差精度提高87.99%。相對于前饋補償與 PID 反饋復合控制方法,在90 Hz時跟蹤均方根誤差精度提高58.69%。因此,與其他兩種方法相比,本文提出的模型與控制方案精度更高。表1為3種控制方法的均方根誤差對比。

表1 3種控制方法的均方根誤差對比

4 結束語

針對傳統的B-W模型無法精確表征壓電陶瓷執行器非對稱、率相關遲滯非線性特性,本文提出了一種基于傳統的B-W模型Hammerstein結構新模型,并且利用粒子群算法辨識模型參數。在參數辨識后,通過與文獻[20]的實際測量數據對比發現,本文提出的模型在遲滯非線性描述上與傳統的模型相比更精確。在1 Hz單頻靜態激勵下,模型的描述均方根誤差為0.086 μm;在100 Hz 高頻激勵下,模型的均方根誤差為0.186 μm,與100 Hz下傳統模型均方根誤差為0.654 95 mm相比,其精度得到提升。本文提出了前饋滑模復合控制方法,也同時設計了前饋和前饋PID復合控制兩種控制器并進行對比。在1 Hz、10 Hz、50 Hz、90 Hz下,本文提出的控制方法的模型跟蹤誤差分別為0.001 592 3 mm、0.014 714 mm、0.047 274 mm、0.073 625 mm;前饋控制的模型跟蹤誤差分別為0.084 091 mm、0.109 21 mm、0.35816 mm、0.608 97 mm;前饋PID反饋復合控制的模型跟蹤誤差分別為0.010 823 mm、0.020 86 mm、0.088 56 mm、0.178 88 mm。通過誤差分析對比發現,在1～100 Hz激勵下,對比跟蹤均方根誤差,本文提出的控制策略比前饋控制和PID前饋復合控制的誤差低,提高了 PEA 的定位精度和跟蹤性能,能夠應用于寬頻帶、高速精密定位控制及主動振動控制等領域。