回焊爐爐溫曲線設計與優化

羅皓洋, 龔海林, 余美奇, 熊靜妍

(1.江西師范大學 物理與通信電子學院,南昌 330022; 2.江西師范大學 數學與統計學院,南昌 330022; 3.江西師范大學 國際教育學院,南昌 330022)

0 引 言

在電子產品生產過程中,將電子元件自動焊接至電路板上的方式是將電路板放置在回焊爐中加熱.生產過程中為保證較高產品質量,需要回焊爐的各部分保持工藝要求的溫度.目前,該領域相關工作需要通過實驗測試來進行控制和調整,本文以2020年“高教杯”全國大學生數學建模競賽A題“爐溫曲線”為例進行研究[1].

該賽題設定了生產工藝中的一些參數條件(具體內容可參見文獻[1]),要求參賽選手得出對應的爐溫曲線,并進行優化研究.根據全國大學生數學建模競賽組委會發布的優秀論文展示[2]:編號A195的文章對爐溫曲線的優化采用雙目標非線性規劃進行求解,考慮了不同目標的優先級,改進了規劃求解算法.但忽略了熱輻射對爐溫曲線的影響,在刻畫峰值溫度時容易產生偏差.編號A212的文章采用了多重搜索法與模擬退火算法進行求解,避免搜索結果陷入局部最優.雖然降低了一定的運算量,但是所采用模擬退火算法耗時較長,所得最優解存在較大誤差.編號A147的文章在對爐溫曲線優化求解時,采用了爬山、A*等人工智能算法,使得結果更加精確,但是遍歷空間過大,容易導致程序運行緩慢.

本文在充分考慮熱輻射對爐溫曲線影響的基礎上,綜合考慮各種傳熱方式,并設定合理的邊界條件,構建了改進的熱傳導方程,模型求解模擬所得溫度分布曲線與根據實驗所測數據所得曲線基本重合,擬合優度高,所得模型結果能很好地用于爐內溫度分布的預測,為實際生產工作提供了可靠的現實依據.同時,模型求解簡單直觀,程序運行也較快.

1 非線性瞬態傳熱數學模型的建立

1.1 基本理論

① 熱傳遞基本方式

在熱力學過程中,有三種基本的熱傳遞方式:熱傳導、熱對流和熱輻射.

(i) 熱傳導:因導體內部存在的溫差或溫度梯度引起自由電子發生移動進而實現熱量傳遞.固、液、氣三相均存在此種傳熱方式.主要以傅里葉定律為依據計算[3].

(ii) 熱對流:流體質點因運動發生相對位移而導致熱量傳遞.主要以牛頓冷卻定律為依據計算.

(iii) 熱輻射:受熱物體內部原子振動形成的電磁波能量傳遞,任何物體均可發生.

② 邊界條件

對于導熱問題,為確保其具有唯一解,往往需附加一定的邊界條件和初始條件,此類問題一般來說有三類邊界條件.以T(x,y,z,t)作為溫度分布函數,Γ作為物體邊界進行以下說明.

(i) 第一類邊界條件:規定邊界上的溫度值為

T(x,y,z,t)|(x,y,z)∈Γ=f(x,y,z,t);

(ii) 第二類邊界條件:規定邊界上的熱流密度為

(iii) 第三類邊界條件:規定邊界上物體同其相接觸流體介質間的對流傳熱系數與溫度為

1.2 模型假設

(i) 假設開始加工時爐內空氣穩定;

(ii) 假設傳熱過程中產生的耗散熱忽略不計;

(iii) 假設題目附件中所給的統計數據信息真實可靠;

(iv) 不考慮電子元件材料種類、質量等指標對溫度傳感器及焊接效率的影響;

(v) 假設溫區間隙處溫度是恒定的,同時不考慮回焊爐系統內部熱源的影響;

(vi) 假設電子元件進入回焊爐的過程中,內部熱源的影響可以忽略,y,z方向上各狀態參數穩定不變,即只需要考慮電子元件沿傳送帶運動方向(x方向)上的溫度變化.

1.3 模型建立

1.3.1 吸熱過程分析

以焊板為研究對象,以其類型下的印制電路板組裝件(Printed Circuit Board Assembly, 簡稱PCBA)為例,分析其吸熱過程.在回流焊接過程中,PCBA吸收的熱量可由式(1)表示[4]:

QPCBA=mcp(T(t)-T(i)),

(1)

式中,m為組件質量(單位kg),cp為質量定壓熱容(單位J/(kg·K)).

PCBA在回焊爐中存在三種熱量傳遞方式,分別為:熱傳導、熱對流和熱輻射.

對于PCBA,因其在傳送導軌上通過時僅吸收極少的熱量,所以可以認為熱傳導過程對其傳熱影響可忽略不計[5].對其對流與輻射傳熱兩個過程,基于牛頓冷卻定律,可由式(2)-(3)表征:

Qc=hcAPCBA(Tair-TPCBA),

(2)

式中,Tair為熱風溫度(K),TPCBA為PCBA(含元器件)溫度(K).

Qr=hcAPCBA(Tair-TPCBA),

(3)

同時,對流傳熱還受到熱風溫度、與PCBA的接觸面積等因素影響.

1.3.3 PCBA瞬間受熱過程分析

對單位時間內的焊接過程,有[6]

QPCBA=Qc+Qe.

(4)

由式(1)～(4)可得

mc(T(t)-T(i))=[hc+hr]APCBA(Tair-TPCBA).

(5)

對于瞬間傳熱有[7]:

患兒進行內科介入治療/外科手術前，SPE組成員首先評估患兒及家屬的心理狀態和應對情況，有針對性地給予圍術期健康教育和心理輔導，同時將相關信息及時反饋給介入中心/手術室的責任護士，有利于醫務人員更好地從生理、心理和社會等方面連續性照護患兒。

(6)

變換為積分式:

(7)

1.4 模型求解

1.4.1 參數的選取

對回焊爐系統,建立了單溫區爐腔模型,如圖1所示.

圖1 單溫區爐腔模型

為不失一般性,分別取單溫區長度L=300mm,高度G=2H=200mm,寬度W=300mm,噴孔直徑D=10mm,噴孔間距S=50mm,爐腔上下壁具有相同的噴孔分布.以下是參考文獻[4-7]后選定的各溫區參數計算表.

1.4.2 方程的求解與實現

基于表1中給出的參數計算表,同時對式(6),為利于編程求解,將其轉換為差分方程:

表1 各溫區參數計算表

(8)

1.4.3 模型的結果與分析

通過相關參數的選取配合MATLAB的編程實現,得到了以下結果:

t3=66.3462℃,t6=148.2692℃,t7=175.5769℃,t8=214.6154℃.

其中t3,t6,t7,t8分別對應小溫區3,6,7中點及小溫區8結束處焊接區域中心的溫度.同時得到了初步模擬的爐溫曲線與不同時間下的溫度曲線,如圖2所示.

圖2 (a) 初步模擬得到的爐溫曲線;(b) 溫度求解曲線

同時,考慮模型方程中一些參數存在的波動,對此進行了優化并同經實驗測得后所繪制的爐溫曲線進行比對,如圖3所示,發現模擬所得曲線與根據實驗所測數據所得曲線基本重合.引入擬合優度R2對模擬結果的擬合效果優劣程度進行定量刻畫[8],計算得到R2=0.9056,證明了所建立模型具有較強的合理性與準確性.

圖3 優化模擬得到的爐溫曲線

2 傳輸帶速度模型建立

2.1 窮舉法的思想

窮舉法是通過在可能的解空間中窮舉出每一種可能的解,并對每一個可能解進行判斷,從中得到問題的答案的一種算法.該算法思想簡單,易于實現,在解決一些規模適中的問題而無須過多考慮求解速度時,使用窮舉法不失為一種很好的選擇.

2.2 模型的限制條件

回焊爐加熱過程需要考慮印制電路板(Printed Circuit Board,簡稱PCB)板材料特性和焊接元器件的耐熱性,所以在實際生產中存在諸多的限制條件,見表1[1].

2.3 模型的建立

以最大傳送帶過爐速度作為優化目標,選取表2中提供的制程界限中的相關參數及回焊爐系統中一般性物理原理的限制作為限制條件,傳送帶的過爐速度作為控制變量,列出如下模型方程組:

表2 制程界限

(9)

2.4 模型的結果與分析

2.4.1 模型的結果

利用MATLAB編程[9],進行窮舉算法,經過多次的循環,得到了基于前文所述條件下的最大傳送帶過爐速度:

v=69.700cm/min.

(10)

2.4.2 模型的分析

接下來,對構建的優化模型進行靈敏度分析.

根據式(10),對于回焊爐系統,其傳送帶過爐速度主要由制程界限中的溫度限制量決定.下面分析具有時間限制的溫度上升區間和峰值溫度的區間變動對模型結果的影響.已知溫度上升與下降的斜率區間和超值溫度時限區間一定,對于峰值溫度的區間,選取[217,240]為溫度下界變動區間,[250,265]作為溫度上界變動區間;對于具有時間限制的溫度上升區間,選取[30,150]作為下界的波動區間,[190,217]作為上界的波動區間.通過MATLAB繪制見圖4.

(a) 時間限制下的溫度上升區間上界變動影響;(b) 時間限制下的溫度上升區間下界變動影響;(c) 峰值溫度區間上界變動影響;(d) 峰值溫度區間下界變動影響圖4 峰值溫度區間上下界與時間限制下的溫度上升區間上下界變動影響

由圖4中的(a)-(d),發現二者溫度上界穩定,故其均對速度的影響不大;而對于二者下界,其中峰值溫度下界在238℃發生突變,時間限制下的溫度上升區間下界在102℃發生突變,由此有理由認為,制程界限中溫度區間給定是合理的,任意調換溫度區間的下界值將會影響實際回流焊接工程中對傳送帶過爐速度的調控.

3 陰影面積尋優模型的建立

3.1 極限思想

用極限概念分析和解決問題的一種數學思想.其一般步驟可概括為:對于某一未知量,先假設一個同它有關的變量,并且該變量通過無限過程的結果就是所求的未知量,最后利用極限計算來得到這結果.

3.2 模型建立

采取與上述的優化模型類似的思想構建陰影面積尋優模型.選取最小陰影面積作為優化目標,選取表2提供的制程界限中的相關參數及回焊爐系統中一般性物理原理的限制作為限制條件,各溫區設定的溫度值與傳送帶速度作為控制變量,建立了如下優化方程組:

(11)

3.3 陰影面積尋優模型求解

對于曲線的陰影面積,理論上可以采用積分進行求解,如圖5所示,列式如下:

圖5 爐溫曲線陰影面積求解圖示

(12)

考慮用一條從t1-t2、高為ΔT的正弦曲線對原曲線進行近似模擬以簡化求解,這樣一來S就可以簡化為

(13)

考慮極限思想,溫度曲線的最小值應為一個三角形,由溫度大于217℃的時間和峰值溫度兩個界限,可以求出理論邊界值為460,以此值作為下邊界對陰影面積進行近似估算,最后通過MATLAB進行仿真,采用雙重for循環枚舉遍歷,得到最優爐溫曲線與各溫區溫度參數及速度同最小陰影面積關系曲線,如圖6、圖7所示.其中,最優速度為v=93cm/min,最優溫度分別為183℃, 185℃, 243℃, 265℃,最小面積為613.6508cm2.

圖6 最優爐溫曲線

圖7 各溫區溫度參數及速度同最小陰影面積關系

下圖展示了各溫區溫度參數及速度同最小陰影面積關系.由圖7可以看出,在恒溫7區其同最小陰影面積呈線性上升關系,回流區呈非線性下降關系,速度呈線性下降關系.由此通過逐步定長迭代尋優得到陰影面積最小解.

4 結 論

本文分析了PCB板在回焊爐進行回流焊接過程中的受熱情況,使用物理知識對整個過程進行分析,之后結合數學建模思想對PCB板的受熱過程進行了模擬,得出結論如下:

(i) 基于傳熱學原理,結合PCB在回焊爐中加熱的實際物理過程,建立了非線性瞬態傳熱模型,使用有限差分方法完成求解,得到了溫度分布及隨時間演化曲線,有效取代了針對回焊爐爐溫曲線傳統研究中仿真困難的問題.

(ii) 根據PCB板經過不同溫度的受熱情況,結合設備參數,建立了傳輸帶速度和陰影面積尋優模型,實現了對得到的爐溫曲線的優化.

(iii) 本文所建立模型旨在為相關領域研究學者提供可能的優選思路,專業科研工作者可以考慮利用ANSYS軟件對再流焊各爐區的加載溫度進行仿真研究,以獲得各組件優化加載溫度條件下的動態溫度場,進一步驗證本文所采用的幾何模型和材料參數,同時評估再流焊的仿真的工藝參數是否可以用來指導生產.

致謝非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見!同時,在對本文模型結果進行可視化的過程中,FigureBest插件幫助極大,在此對其創作者致以由衷感謝!