基于基本解法的汽車消聲器聲學性能分析

張成鑫, 王發杰,b, 吳國正, 程隋福

(青島大學 a. 機電工程學院; b. 多功能材料與結構力學研究所, 山東 青島 266071)

對消聲器聲場進行準確地模擬預測,可為降低排氣噪聲、功率損失及提高消聲器性能提供有力的理論支撐,對汽車消聲器分析設計及優化流程等具有非常重要的意義[1]。汽車發動機排氣噪聲來自發動機活塞四沖程工作循環最后一個階段[2],即進氣、壓縮、做功和排氣中的排氣過程。傳統內燃機排氣過程由自由排氣階段和強制排氣階段組成[3],排氣噪聲約占汽車總噪聲的55%以上,如何降低汽車排氣噪聲水平,提高駕駛員和乘客舒適性,已成為各大汽車廠商的研究熱點之一[4]。聲學系統包括聲源、傳播途徑、接收器[5]3個主要組成部分。目前,降噪處理措施主要從聲源及傳播途徑進行控制[6],從聲音源頭來控制噪聲是最根本有效的措施,但提升相對困難,所以基本都在傳播途徑中進行合理控制,主要通過消聲器來控制排氣噪聲[7]。聲學理論研究和硬件輔助方法逐步完善,各種聲學分析也開始使用數值模擬的方法[8]。邊界元法[9]在使用中只需要在邊界上離散網格單元,降低問題的維數,但是構造的系統矩陣非對稱且稠密,使用非常不方便;有限差分法[10]相對比較古老,主要應用領域是流體力學分析;有限元法[11]前處理過程需要在所求區域內劃分網格,不僅耗時,而且需要反復修改網格,比較繁瑣?；窘夥?method of fundamental solutions, MFS)[12]是一種強格式邊界型無網格方法,采用基本解作為插值基函數,避免了節點以拓撲的方式連接,可以降低問題的維數。為了防止源點奇異性的出現,該方法在真實邊界外引入了虛假邊界。陳文等人[13-14]提出一種無需虛擬邊界的奇異邊界法;L.MARIN等人[15]將此方法用于線性彈性力學反邊值問題的數值研究;谷巖等人[16]用MFS分析雙材料界面裂紋的斷裂力學;A.COLACO[17]用此方法進行分析軌道交通引起的建筑物振動;A.NOORIZADEGAN等人[18]用此方法確定磁場源點的位置?；诖?本文擬采用新型無網格基本解法,對汽車消聲器聲學性能進行分析。通過借助Matlab平臺,采用MFS對二維和三維消聲器進行數值模擬。研究結果表明,本方法精度較高,具有一定的可靠性和穩定性。

1 聲學問題的基本解法

1.1 Helmholtz方程的聲學問題

物體振動發出聲音,聲音傳播需要介質,而介質有一定的質量和彈性,所以會在中間產生壓差,由此產生聲波。聲波在一定范圍內傳播,傳播的范圍稱為聲場[19]。聲振是一種物理現象,用傳播介質中的聲壓、質點速度與密度變化量描述聲場特性[20]。根據牛頓第二定律、質量守恒定律以及物態方程,得到聲壓等聲學參量隨時間與空間的變化關系。聲場的這種變化特征可以用數學微分方程來表示,即聲學波動方程[21-23],簡稱聲波方程或波動方程。波動方程是一種重要的數學偏微分方程,描述各種波動現象,包括聲波、光波和水波等,主要應用于聲學、光學、流體力學等領域。波動方程可通過運動方程、連續方程和物態方程推導得到,推導過程如下:

由牛頓第二定律可推導得到運動方程,即在空間中聲壓的梯度等于質點速度對時間一階導數和介質密度乘積的負值,其方程為

(1)

其中,?為矢量微分算符;P為聲壓;ρ為介質密度;v為質點的振動速度矢量;t為時間。

由質量守恒定律可推導得到連續方程,即介質密度對時間一階導數等于流體中微小單元質量變化率的負值,描述質點速度和密度之間的關系,其方程為

(2)

物態方程又叫狀態方程,描述的是在給定物理條件下的熱力學方程,其方程為

(3)

聯立式(1)～式(3),消去密度和速度等參數,考慮系統是穩態的,則聲壓隨時間變化規律為簡諧運動,有P(x,t)=P(x)eiωt,將此式帶入波動方程,即可得到赫姆霍茲(Helmholtz)波動方程為

?2P+λ2P=0

(4)

其中,λ=ω/c為波數,ω為角頻率,c為聲速。該方程即聲學問題的控制方程,是關于聲壓的微分方程,描述了穩態聲場聲壓隨頻率在空間上的分布規律。

1.2 基本解法

考慮二維Helmholtz波動方程,根據MFS數學理論基礎,邊界點滿足邊界條件,下面展開介紹此方法的數學理論與數值離散格式求解步驟:

圖1 基本解配點

2) 按照數值積分的思想,將每個真實邊界點近似表示為離散格式,即

(5)

對滿足第一類邊界條件的第1個點而言,由已知邊界條件可得

(6)

對滿足第二類邊界條件的第一個點而言,通常此條件為硬邊界,由已知邊界條件可得

(7)

對滿足第三類邊界條件的第1個點而言,由已知邊界條件可得

(8)

3) 將以上3類邊界點的方程組合,可構造得到線性代數方程組,即

(9)

式(9)可簡化為

(10)

4) 通過求解式(10),可以得到所有源點密度α,從而可以根據以下表達式求解任意一點處的聲壓函數值,假設域內待求未知點為x7,所以

(11)

2 方法驗證

2.1 二維聲學模型

現分析一個經典二維管道聲學問題模型,二維管道模型和節點分布示意圖如圖2所示。管道長為1.0 m,寬為0.5 m,邊界為Γ,求解域為Ω,內部介質為空氣,氣體密度ρ=1.205 kg/m3,聲速c=343 m/s。管道左端入口Γ1為聲壓邊界條件,管道內壁Γ2為速度邊界條件,右端出口Γ3為阻抗邊界條件。該聲場解析解為

圖2 二維管道模型和節點分布示意圖

(12)

根據計算需要,首先進行節點離散,節點分布圖如圖2(b)所示。MFS共離散6 404個節點,其中包括326個邊界節點和6 078個內部測試節點,有限元法(finite element method, FEM)中共劃分34 954個網格。給定頻率為200 Hz,MFS使用Matlab編程求解,二維管道計算域聲壓分布如圖3所示。圖3a給出了本方法計算得到的聲壓值分布結果,圖3b和圖3c分別為FEM和解析解求得的聲場分布圖。由圖3可以看出,聲音沿管道傳播,給定的聲壓沿x軸方向逐步變小降低為0之后反向繼續增大,符合聲音的簡諧運動規律,而且MFS和FEM的計算結果與解析解的聲壓分布結果非常吻合。以上表明2種方法都有良好的精度,在進一步工作中,FEM結果可作為參考解來檢驗MFS計算結果的準確性。

圖3 二維管道計算域聲壓分布

為更好地驗證MFS的計算精度,將聲壓值同樣進行數字化,給定2條路徑,如圖2a所示,分別為路徑1(y=0.2)和路徑2(y=0.4)。在2條路徑上等步長均勻選取20個點作為測試點,給出MFS、FEM和解析解在測試點處的聲壓值曲線,不同測試點路徑上節點的聲壓分布如圖4所示。由圖4可以看出,兩者計算結果和解析解結果幾乎重合,無網格方法準確性得到了保證,為汽車發動機排氣消聲器聲學研究提出一個新的解決方案。

圖4 不同測試點路徑上節點的聲壓分布

2.2 三維聲學模型

將驗證思路拓展到三維,三維管道模型示意圖如圖5所示。圖5中,考慮三維圓柱形管道計算域Ω,長0.3 m,內直徑0.12 m,內部為空氣介質,其密度ρ=1.205 kg/m3,聲速c=343 m/s。在左側入口Γ1均勻施加聲壓邊界條件,內壁Γ2為剛性壁面聲學硬邊界,出口Γ3為阻抗邊界,用此簡單模型驗證MFS的計算精度。

給出此聲場的解析解為

(13)

借助Matlab計算和Comsol有限元軟件進行仿真分析,給出了頻率f=500 Hz時的三維管道模型表面聲壓分布情況,三維管道表面聲壓分布如圖6所示。圖6a和6b分別為MFS和FEM的計算結果,圖6c為解析解給出的表面聲壓分布。由圖6可以看出,MFS和FEM與解析解非常一致,保證了計算準確性。

圖6 三維管道表面聲壓分布

給出頻率f=300 Hz時,內部測試節點處MFS計算得到的聲壓值絕對誤差曲線,計算域內節點聲壓絕對誤差分布如圖7所示。由圖7可以看出,本方法計算值和解析解結果誤差非常小。綜合考慮以上情況,MFS可繼續分析計算模擬其他復雜三維幾何模型的聲場分布情況。

圖7 計算域內節點聲壓絕對誤差分布

3 算例

3.1 二維算例

考慮一個二維擴張室消聲器平板模型計算區域Ω,總長度為0.3 m,寬度為0.12 m,進出口長度等長,BC=FG=0.05 m,寬度等寬,AB=GH=0.06 m,其他參數均在理想條件下為固定值,包括內部氣體密度ρ=1.205 kg/m3,聲速c=343 m/s?？刂品匠虨镠elmholtz方程,在消聲器左端入口Γ1處,施加第1類邊界條件,單位聲壓P=1.0 Pa,右端出口Γ3為阻抗邊界條件,阻抗值ZS=413 Pa·s/m3,其他為剛性邊界Γ2。用FEM計算得到的數據作為參考解來驗證此方法的精確性。二維消聲器幾何模型示意圖如圖8所示。

給定頻率為f=500 Hz時,計算MFS和FEM在求解域內的聲壓值,二維消聲器計算域聲壓分布如圖9所示。由圖9可以看出,聲音在內部以平面波的形式沿管道軸向傳遞,消聲器入口處的聲壓數值最大,且沿x軸正方向呈下降趨勢。MFS和FEM計算結果顯示,兩者吻合度較高,MFS在求解二維消聲器聲學問題中結果表現良好,為后續研究三維消聲器聲學問題作了鋪墊。

圖9 二維消聲器計算域聲壓分布

在消聲器中軸線y=0上,均勻選取30個測試點,計算域內路徑y= 0上節點聲壓與誤差值曲線如圖10所示。圖中在頻率f=500 Hz時,MFS和FEM計算得到的聲壓曲線與在此狀態下2種方法之間的絕對誤差曲線。由圖10可以看出,MFS計算得到的結果均分布在FEM曲線附近,MFS表現出良好的計算性能,最大絕對誤差僅為2.1074×10-4,表明MFS構造虛擬源點并且使用基本解插值基函數時,解決了源點奇異性問題,同時也保證了計算精度,提高了計算效率,具有良好的平順性與光滑性。

圖10 計算域內路徑y= 0上節點聲壓與誤差值曲線

對于大多數內燃機汽車的消聲器,由于其進出口的管徑相對內部腔體的管徑較小,聲波截止頻率較高,因此在工程問題中,考慮的頻率范圍內的聲波可認為以平面波形式傳播,所以計算傳遞損失時,進出口聲壓可取截面中某一點代替整個截面的聲壓[26]。汽車噪聲頻率通常在100～2 000 Hz范圍內,所以傳遞損失在此頻率范圍內進行分析。在100～2 000 Hz頻率范圍內,二維消聲器的傳遞損失曲線如圖11所示。由圖11可以看出,MFS和FEM計算得到的傳遞損失幾乎重合,說明計算過程準確。隨著頻率升高,傳遞損失整體呈上升趨勢,在800 Hz和1 400 Hz時,傳遞損失出現峰值,表明在此頻段消聲器消聲效果最顯著。而在100～500 Hz頻率消聲效果不理想,是因為此結構模型和真實消聲器結構上存在一定差異,在低頻情況下沒有達到理想的消聲效果。

消聲器結構參數對改變消聲器消聲性能起著關鍵作用,其中進出口寬度對其性能有重要影響,不同進出口寬度下的傳遞損失曲線如圖12所示,圖中為進出口寬度分別為40 mm和80 mm時的傳遞損失。由圖12可以看出,在2種不同進出口寬度的情況下,傳遞損失呈現周期性增加的趨勢。進出口寬度為40 mm消聲器的傳遞損失略高于80 mm消聲器,原因是進出口管徑過大,聲音進入消聲器膨脹腔內干涉較少,擴張室作用不明顯,大多聲音可以順利傳出,導致消聲效果不明顯。

3.2 三維算例

將MFS應用拓展到三維具有外插進出口管的膨脹腔消聲器的聲場問題中,三維消聲器局部剖面圖如圖13所示。求解域為Ω,外形尺寸和上節一致,橫向總長0.3 m,內部擴張室直徑為0.12 m,進出口等長為0.05 m,直徑為0.06 m,內插管長度為0.05 m,厚度均為0.002 m,內部氣體密度ρ=1.205 kg/m3,聲速c=343 m/s?？紤]到發動機排氣產生的噪聲為消聲器內部聲音的重要來源,綜合汽車發動機運行工況,因此假設在左側入口Γ1處給予單位聲壓,出口Γ3處為帶阻抗的邊界,阻抗值Zs=413 Pa·s/m3,其余Γ2均為聲學中的硬邊界。

圖13 三維消聲器局部剖面圖

為分析提出的無網格MFS在計算消聲器三維聲場分布問題的準確性,首先進行節點離散。三維消聲器計算域單元離散示意圖如圖14所示,共有20 714個節點,包括13 350個邊界節點和7 364個內部測試節點,MFS節點分布如圖14(a)所示,FEM中共劃分94 667個網格,FEM網格分布如圖14(b)所示。由于本問題沒有精確解進行對照參考,所以同樣將有限元仿真模擬軟件COMSOL得到的結果數據作為參考解進行比較分析。

綜合汽車運行工況和消聲器的特點,選取頻率為500 Hz進行研究分析。三維消聲器計算域表面聲壓級分布如圖15所示。由圖15可以看出,MFS和FEM計算得到的表面聲壓級數值非常接近,聲音進入消聲器擴張室之后,在其內部反射、碰撞并互相干涉,聲壓級逐漸下降。綜合圖像顯示,一方面表明消聲器消聲特點以外,另一方面也表明MFS計算具有良好的準確性。

圖15 三維消聲器計算域表面聲壓級分布

消聲器作為一種用于汽車排氣消聲的零部件,出口聲壓值非常重要,所以在出口截面取若干個點作為測試點,準確展示本方法的計算結果,測試與FEM之間的絕對誤差。三維消聲器出口測試點聲壓值曲線如圖16所示。由圖16可以看出,兩者計算結果均在同一數值附近,也驗證了在消聲器內部,聲音的確以平面波形式進行傳播。給出本方法和FEM之間的絕對誤差,三維消聲器出口測試點聲壓絕對誤差值曲線如圖17所示。由圖17可以看出,誤差控制在3.325×10-3以內,精度得到保證,為進一步分析消聲器的傳遞損失奠定良好的基礎。

圖16 三維消聲器出口測試點聲壓值曲線

消聲器消聲原理為聲波在其內部碰撞、干涉等,使聲音減弱,所以其設計結構對消聲性能有重要影響。由本章第三節分析顯示,汽車正常運行工況下,根據汽車發動機轉速和氣缸數可得,排氣噪聲頻率控制在100～2 000 Hz,所以本次傳遞損失同樣僅考慮在此范圍內的計算結果。三維消聲器的傳遞損失曲線如圖18所示。由圖18可以看出,兩種方法吻合度良好,頻率均在700 Hz與1 400 Hz時達到峰值,說明在此頻段消聲效果最佳,其傳遞損失數值分別為43.265 1 dB和42.846 2 dB。而在1 700 Hz頻段附近傳遞損失非常小,有大幅度下降,根據研究表明,這是由徑向聲學模激勵引起。綜合曲線顯示,本方法在計算三維消聲器模型的傳遞損失時準確性與求解精度較高。

圖18 三維消聲器的傳遞損失曲線

帶有進出口內插管的消聲器,內插管的長度對消聲器性能有非常重要的影響。給出了內插管長度分別為20,50,80 mm 3種情況,分別計算傳遞損失并繪制曲線,不同內插管長度的傳遞損失曲線如圖19所示。

由圖19可以看出,在700 Hz和1 400 Hz頻率下,三者傳遞損失最突出,說明在此消聲頻段消聲器消聲能力最強。隨著頻率地增加,三者趨勢整體一致,內插管長度為50 mm時消聲器效果最好,插管長度為20 mm時消聲器效果最不理想。在內插管長度到達一定值時,傳遞損失曲線存在一個駐點,在駐點之前,隨著內插管變長,傳遞損失越來越大,消聲效果越來越好;而駐點之后,隨著內插管長度增加,消聲效果會有所減弱。所以合理選擇內插管長度對提高消聲器消聲性能尤為重要。

4 結束語

本文使用數值模擬方法對消聲器進行聲學預測,即采用聲學的Helmholtz波動方程進行數值計算分析,借助無網格方法對汽車排氣消聲器聲學問題進行計算求解。系統分析了算法的優化參數以及消聲器的結構參數對結果精度和穩定性的影響,通過消聲器聲學模擬驗證了算法的可行性,研究表明,該無網格數值方法精度較高,簡單易操作且保證了計算效率,聲場分布光滑且一致性好,表明此方法有一定的有效性以及穩定性,為聲學問題提供了一種便捷、準確、可靠的計算工具。下一步可從消聲器聲-固耦合問題以及消聲器幾何設計優化設計等方面進行深入分析。