一類計算機病毒傳播模型的動力學性態研究

黨耀宇,譚宏武,曹 慧

(陜西科技大學 數學與數據科學學院,陜西 西安 710021)

0 引言

隨著信息網絡的快速發展,計算機病毒在網絡中的傳播已成為一種常見現象,而計算機感染病毒后,會不同程度地影響人們的工作和生活,甚至會造成巨大的經濟損失．因此,了解計算機病毒的傳播動力學性態也許能為抵御病毒的攻擊提供一些防御技術的設計思路．

由于計算機病毒感染的過程與流行病學感染過程類似[1],因此已有不少學者基于經典的傳染病倉室模型建立了動力學模型來研究計算機病毒的傳播[2-7],包括SIS模型[2-3]、SIR模型[4-5]、SIRS模型[6]、SVEIR模型[7]．由于計算機病毒的隱秘性,導致計算機感染病毒后需要經歷一段時間后才能被防御系統識別并清除．

本文基于經典的SIRS傳染病倉室模型,將網絡中的計算機分為未感染類、感染類和恢復類,并分別用S(t)和R(t)表示t時刻未感染類計算機和恢復類計算機的數量,I(t,a)表示t時刻感染年齡為a的感染類計算機的密度．該模型中感染年齡a指的是病毒在感染倉室中所停留的時間長度,并不是實際的年齡,而是一種類年齡結構．計算機病毒傳播過程如圖1所示.

圖1 基于SIRS模型的計算機病毒感染進展流程圖

(2)

(3)

1 適定性

(4)

2 平衡態的存在性

為了得到系統(1)的平衡態,需要求解以下方程組(5)．

下面先討論系統(1)的無病毒平衡態．

當I(a)=0時,直接求解可得系統(1)始終存在無病毒平衡態E0=(S0,0,R0),其中,

(6)

(7)

3 平衡態的穩定性

3.1 無病毒平衡態的穩定性

證明將系統(1)在E0處線性化,得到的特征方程為:

(8)

其中,2μ+α1+γ1>0,μ(μ+γ1+α1)>0,由勞斯-赫爾維茨判據可知Δ(λ)=0的兩個根的實部都小于0．當λ∈時,是關于λ的連續嚴格單調遞減的實值函數,且滿足0-1．因此,當0>1時,Δ2(λ)=0至少有一個正實根,即無病毒平衡態E0是不穩定的．

引理3.2[9]設g∶+→是一個有界函數,

證明為了建立無病毒平衡態E0的全局漸近穩定性,設(S(t),I(t,a),R(t))是系統(1)的解,由系統(1)的第二個方程與邊界條件(2)得到

(9)

3.2 病毒平衡態的穩定性

f(λ,τ)=λ3+A2(τ)λ2+A1(τ)λ+A0(τ)+B0(τ)e-λτ=0,

(11)

證明通過直接計算,可得

A1(0)A2(0)-(A0(0)+B0(0))

+μ(2μ+γ1+α1)(μ+γ1+α1)>0.

4 Hopf分支

當τ>0時,將特征方程f(λ,τ)=0改寫為超越方程

P(λ,τ)+Q(λ,τ)e-λτ=0

(12)

其中:P(λ,τ)=λ3+A2(τ)λ2+A1(τ)λ+A0(τ),Q(λ,τ)=B0(τ).

根據參考文獻[10]的第二節,需要證明如下假設:

(Ⅰ)P(0,τ)+Q(0,τ)≠0;

(Ⅱ)P(iω,τ)+Q(iω,τ)≠0;

(Ⅳ)F(iω,τ)=|P(iω,τ)|2-|Q(iω,τ)|2;

(Ⅴ)當F(iω,τ)=0存在正根ω(τ)時,其在τ中是連續且可微的．

通過計算,可得:

則滿足上述條件(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ).

注意到,因為

所以

(13)

則條件(Ⅳ)成立．由于F(ω,τ)是關于ω2的三次多項,且Ai(τ)(τ=1,2,3)和B0(τ)都是關于τ的連續可微函數,因此條件(Ⅴ)也成立．

令λ=iω(ω>0)是f(λ,τ)=0的一個純虛根,則

-iω3-A2(τ)ω2+A1(τ)iω+A0(τ)+B0(τ)(cosωτ-isinωτ)=0.

Q(Θ)∶=Θ3+q2(τ)Θ2+q1(τ)Θ+q0(τ)

(14)

引理4.1

若式(14)沒有正根,則隨著τ的增加,病毒平衡態E*的穩定性并沒有發生變化．反之,若式(14)存在正根,當τ達到某個臨界值τ*時,病毒平衡態E*的穩定性可能會發生變化．綜上所述,可以得到如下結論:

對τ∈Σ,則存在ω=ω(τ)>0,使得F(ω,τ)=0．

令θ(τ)∈(0,2π](τ∈Σ)是以下方程的解:

有ω(τ)τ=θ(τ)+2nπ,因此ω*=ω(τ*)是(11)的純虛根,當且僅當對于n∈有τ*是Cn的零點,.

從參考文獻[10]中定理2.2可得到以下引理:

引理4.2假設ω(τ)是τ∈Σ定義的F(ω,τ)=0的正實根,在τ*∈Σ時,

Cn(τ*)=0,n∈.

則在特征方程(11)中τ=τ*存在一對共軛純虛根,λ+(τ*)=iω(τ*),λ-(τ*)=-iω(τ*),并且

當δ(τ*)>0時,虛根從左到右穿過虛軸．反之,當δ(τ*)<0時,虛根從右到左穿過虛軸．

當Q＇(Θ*)≠0且τ=τ*時發生了Hopf分支,根據Hopf分支定理得到如下結論:

5 數值模擬和結論

本文提出了一個具有年齡結構和時滯的獲得性免疫的計算機病毒模型,并將年齡結構和時滯結合起來描述,當感染的計算機停留在感染類一段時間后,由于獲得性免疫而成為恢復類計算機的病毒傳播現象．與傳統的計算機病毒模型相比,不僅考慮了病毒的感染時長,還考慮了不同感染情況下的治愈能力,因此本文考慮的模型更為現實．同時,本文也對病毒在計算機系統中出現的Hopf分支情況進行了理論分析和數值模擬．另一方面,本文的目的是分析討論感染年齡和病毒感染的時滯對病毒傳播的影響．

圖2 病毒平衡態E*在τ不同取值情況下的穩定性

討論時滯在τ>0的情況下,感染年齡a對于模型的影響．圖3(a)表明,在圖2病毒平衡態漸近穩定的情況下,此時病毒平衡態處的感染個體I*(a)會隨著感染年齡的不斷增大而逐漸減少,直至為0.這說明此時計算機病毒的傳播是可以得到有效控制的．圖3(b)表明,對于整個模型而言,感染年齡a和感染時間t同時增大時,感染個體I(t,a)會不斷減少．然而,在數值模擬中發現,當時滯超過某個臨界值τ*時,系統會出現Hopf分支,這意味著計算機病毒流行的狀態從感染平衡狀態變為極限環．也就是說,計算機病毒的傳播已經失去了控制．圖4說明系統經歷了Hopf分支,此時Hopf分支范圍內時滯τ的取值很?。欢?當時滯超過臨界值后,系統的穩定性會再次發生變化成為漸近穩定的．

(a) I*(a)在E*處的分布 (b) I(t,a)的分布

(a) 周期解 (b) 相圖