應用功率譜法進行電磁閥線圈松動非線性模態仿真

廖云龍,吳佩沛,尤 罡

(1． 上?？臻g推進研究所,上海 201112; 2． 上?？臻g發動機工程技術研究中心,上海 201112)

0 引言

空間推進系統設計領域廣泛使用具有螺紋連接、箍帶連接的結構,易出現非線性模態問題,如推進系統用電磁閥、氣瓶、管路組件會因螺紋、箍帶松動造成模態頻率降低。航天產品對力學環境條件較為敏感,而非線性模態缺乏成熟的仿真方法,這一矛盾使得非線性模態機理研究愈發迫切。如何進行非線性模態仿真,成為空間推進系統設計過程中亟待解決的問題。

非線性模態研究發展過程中,Rosenberg的工作具有重要意義[1-2]。Rosenberg 于20世紀60年代初,在對非線性系統的自由振動進行研究時引入了非線性模態的概念。20世紀90年代,Shaw等提出了阻尼非線性模態,將相空間的不變流形定義為非線性模態,系統初始狀態符合某一非線性模態,隨后按照該模態運動[3-4]。劉鍊生等推廣了相似模態的概念[5-6],使其能夠應用于非線性系統。李誠等提出基于譜單元的伽遼金法求解不變流形定義下的非線性模態曲面,獲得兩自由度非線性系統更高精度的非線性模態曲面解[7]。胡曉君應用混合攝動伽遼金法進行單自由度體系的非線性隨機結構自由振動數值分析[8]。近20年來,非線性模態理論發展仍停留在簡單自由度系統分析階段。

非線性模態分析由于其復雜性,使其長期處于理論研究狀態,工程實際多采用模態試驗與線性模態仿真結合的方法。代鵬等進行了脈沖等離子推進系統模態分析和試驗驗證[9]。杜大華等進行了火箭發動機渦輪盤模態影響因素與振動安全性分析[10]。田彤輝等研究了沖擊荷載下級間螺栓法蘭連接結構失效實驗與數值仿真[11]。

直接應用非線性理論進行模態仿真存在困難,但模擬試驗過程通過功率譜對系統動態參數進行識別,將瞬態仿真方法與信號分析方法相結合,可能成為解決非線性模態問題的另一種途徑。功率譜密度(power spectral density,PSD)分析法應用于系統參數識別始于文獻[12]。在時變系統或非線性系統參數識別相關研究領域,張潔等進行了機械變速過程的瞬時參數識別及頻譜分析[13];王豪等應用圖像處理技術,提出一種自適應時頻脊線的方法,對時變結構在隨機激勵下的瞬時頻率進行了辨識[14];王曉敏等研究了在白噪聲激勵下非線性聲學超材料的隨機響應[15];許文峰等研究了具有非線性剛度邊界的桿梁結構的動態特性[16]。傳統研究認為瞬態時域仿真應用存在計算量大、求解過程慢、數據處理過程復雜等問題,但近年來隨著計算機能力的快速提升,基于瞬態時域法與信號后處理進行動力學仿真在多場景下已具備工程應用條件。聶肇坤等對運載火箭艙段連接結構進行了簡化建模,采用沖擊、周期信號時域非線性仿真,對時域結果進行FFT變換后與精細模型進行了對比驗證,使得簡化模型在保留線性計算效率的同時接近精細模型的計算精度[17]。樂晨等進行了運載火箭大直徑螺栓承受拉彎耦合載荷的失效判據研究[18]。

基于計算機能力的提升與功率譜在模態試驗中應用的優勢,本文提出一種全新的瞬態動力學仿真與功率譜密度分析結合的方法,應用于空間推進系統電磁閥線圈螺紋松動非線性模態仿真。在時域進行接觸非線性仿真,并將時域結果變換為功率譜,在頻域進行非線性模態分析,關注重點為接觸非線性對模態頻率的影響。

1 時域隨機試驗條件擬合

某型號電磁閥是推進系統關鍵組件,線圈元件通過外套螺母連接于電磁閥本體,飛行試驗過程中因隨機振動導致線圈松動,出現模態偏移,本文以該閥門為研究對象,采用功率譜分析法進行非線性模態仿真方法研究。閥門隨機試驗條件以PSD形式給出,如表1所示,隨機試驗狀態如圖1所示。

圖1 電磁閥振動試驗Fig.1 Solenoid valve vibration test

表1 隨機試驗條件Tab.1 Random test conditions

采用隨機試驗條件作為結構的激勵條件,可在較短的計算時間內激發結構多階模態響應,相較正弦掃描等試驗條件更適用于時域仿真分析。但應用隨機試驗條件進行時域仿真需要對PSD進行時域擬合,擬合出的隨機試驗條件具備相同的統計性質,但并不唯一。隨機瞬態動力學分析首先需要進行時域隨機數據擬合方法研究。

在現代信號分析中,PSD分析是研究具有時不變、各態歷經、平穩隨機信號的重要途徑,PSD可反映隨機信號各頻率成分功率的分布情況,反映各階模態的共振效果。隨機信號的研究往往需要轉換到頻域進行,而理論隨機信號通常是無限長的,需要使用有限長信號對真實PSD進行估計。經典譜估計方法包括維納-辛欽定理、周期圖法、Welch法等,其中周期圖法為應用廣泛且最具代表性的方法,其基本原理是對觀測到的數據進行快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT),然后取模的平方作為真實PSD估計。

取平穩隨機信號X(n)的有限個觀察點X(0),X(1),…,X(n),則傅里葉變換過程為

(1)

周期圖法功率譜為

(2)

瞬態動力學仿真計算量較大,仿真時間較長,應在滿足仿真需求的前提下盡量減少仿真資源的使用,減少仿真時間。隨機條件最低頻率為10 Hz,保證10倍最低頻率采樣,擬合總時長1 s。

對隨機試驗條件進行時域數據擬合與驗證過程如圖2所示。

圖2 時域隨機條件合成流程Fig.2 Time domain random conditional synthesis process

依據圖2(a)流程進行擬合驗證,首先由計算機生成兩列1 s均勻分布的白噪聲UN、VN,應用文獻[19]的方法獲取正態分布的數據列XN,即

(3)

將數據通過截止頻率為隨機振動條件最高頻率10倍的低通濾波器;對XN進行FFT變換后在頻域進行增益調整,并采用周期圖法進行PSD計算,使其符合試驗曲線,再進行逆FFT變換,擬合的時域信號如圖2(b)所示。

圖2(c)為擬合時域加速度PSD曲線與標準PSD曲線對比。對擬合時域數據進行概率密度統計[見圖2(d)],表明擬合數據具備較好的正態分布特征。在時域對擬合數據進行數學期望與均方根計算,如表2所示。其中時域數據數學期望接近0,均方根為12.2g,與表 1試驗條件均方根加速度符合較好,作為后續瞬態動力學仿真的輸入。

表2 數據統計性質Tab.2 Statistical properties of data

2 非線性模態仿真方法

2.1 模態仿真對比分析流程

為分析應用瞬態動力學方法進行非線性模態分析的有效性,同時進行非線性瞬態動力學模態仿真與基于線性模態疊加法的隨機振動仿真。由于計算原理不同,仿真將依據不同的流程,如圖3所示。瞬態動力學仿真過程使用擬合的隨機時域條件作為輸入,并將結果轉換為PSD曲線;而線性隨機仿真首先進行線性模態仿真,然后直接應用模態疊加法計算PSD曲線。

圖3 PSD仿真對比流程Fig.3 PSD simulation and comparison process

2.2 非線性模態仿真

電磁閥線圈出現非線性模態的主要原因在于固定螺紋松動,能否在仿真方法中考慮螺紋松動過程出現的接觸非線性,從仿真原理上考慮接觸對模態結果的影響,是決定非線性模態仿真方法是否可行的關鍵。

基于瞬態顯式動力學分析結果進行非線性模態仿真,在時間維度上進行迭代求解。瞬態顯式動力學計算原理為應用中心差分法對物體運動過程進行積分,其迭代求解的基本方程如式(4)與式(5)所示。

(4)

(5)

(6)

瞬態動力學計算過程中,式(6)中質量矩陣、外力向量、內力向量均進行修正,且任意迭代步均可以考慮接觸非線性影響,進入接觸范圍的節點可依據摩擦因數進行力的傳遞。當內力I(i)與外力F(i)不平衡時,接觸對將發生滑動,出現接觸非線性。

采用瞬態動力學方法,應用商用有限元軟件ABAQUS將擬合的時域試驗條件作為動力學仿真輸入條件,對閥門進行時域振動仿真。邊界條件與假設如下。

1)考慮閥門線圈螺桿與螺母螺紋之間為接觸關系,在模型上引入接觸非線性。

2)建立虛擬梁單元兩端分別與閥體墊圈端面、螺母端面耦合約束。

3)旋緊線圈螺桿時,螺紋發生接觸,螺桿產生位移壓縮梁單元,虛擬梁內力即反映螺紋預緊力,通過預緊力試驗與螺母旋松旋緊仿真,對螺紋摩擦因數進行精確標定。

電磁閥上提取3個響應點時域數據,位置如圖4所示。

圖4 線圈模型Fig.4 Coil model

圖5為經過1 s時域隨機載荷瞬態動力學仿真后得到的預緊力時域曲線,預緊力由19 kN減小到3.6 kN。預緊力的減小使得結構整體的剛性減弱,整體模態頻率降低。

圖5 預緊力時域曲線Fig.5 Pre-tightening time domain curve

瞬態動力學仿真結果包含所有節點的時域曲線,如圖6所示,提取線圈根部、中部、尾部3個響應點時域響應曲線,可見從線圈根部到線圈尾部,加速度響應呈現放大趨勢。

圖6 測點時域加速度響應Fig.6 Time domain acceleration response of measured point

2.3 線性模態仿真

基于對比分析的需求,應用商業有限元軟件ABAQUS同時進行線性模態仿真。線性模態仿真基于特征值法,結構自由振動方程為

(7)

式中:C為阻尼矩陣;K為剛度矩陣。

自由振動位移u的振動屬性為

u=φejωt

(8)

模態計算過程中忽略阻尼C,并考慮式(8),則式(7)轉化為

(-ω2M+K)φ=0

(9)

式中ω為結構圓頻率。求解模態的過程即求解廣義特征值與特征向量。

數值方法求解特征值過程中,式(9)中無時間相關量,即質量矩陣與剛度矩陣為確定狀態同時求解多個特征值,從原理上無法考慮與時間相關的非線性影響,即特征值法無法進行接觸非線性模態分析。

對閥門線性模態仿真過程中,采用如下邊界條件。

1)假定螺紋為完全約束狀態,即不存在松動、接觸。

2)結構屬性不變,即結構不出現屈服等材料非線性性質。

圖7為應用線性法得到模態振型,振型描述了特征值對應的特征向量。

圖7 閥門線圈模態振型Fig.7 Modal vibration of valve coil

2.4 結果分析

模態頻率對比如表3所示。非線性時域仿真反映出螺紋逐漸松動過程中,預緊力逐漸變小,結構整體剛性變差,導致模態頻率降低的結果,模態仿真頻率為1.464 kHz;線性隨機仿真進行保守假定,即認為螺紋為完全固定狀態,反映在仿真結果上模態頻率更高,模態仿真頻率為1.576 kHz。如圖1所示,推進系統振動試驗過程中,電磁閥線圈出現松動,線圈頭部加速度峰值頻率約為1.450 kHz。

表3 模態頻率對比Tab.3 Comparison of modal frequency

將非線性仿真方法與線性仿真方法結果進行對比分析。將瞬態動力學線圈根部、中部、尾部響應曲線依據周期圖法轉換為PSD曲線,如圖8(a)所示。圖8(b)為使用模態疊加法獲得的線圈相應位置PSD曲線。將曲線對比可以發現,線性與非線性PSD曲線形態相似,均反映主振模態特征,區別在于瞬態動力學采用的時域方法考慮了螺紋松動接觸非線性影響,計算頻率低于線性模態仿真方法。

圖8 PSD仿真結果對比Fig.8 Comparison of PSD simulation results

值得說明的是,本文提出的非線性模態仿真方法無法獲取系統模態振型,但由于線性、非線性方法獲得的頻率峰值接近,工程仿真過程中將線性模態振型作為參考。

圖8(a)的非線性仿真方法模型中使用預緊力試驗標定過的摩擦因數,計算過程中考慮了接觸非線性,最終得到模態非線性仿真結果;而圖8(b)線性仿真方法無法考慮螺紋副接觸狀態,采用保守的全固定約束方式,得到保守的線性仿真結果。

雖然線性算法可假定部分螺紋固定,將模態仿真結果標定至試驗值,但全固定至部分固定變化規律缺乏理論與物理事實依據,僅可做經驗性假設,而這一關鍵性假設對仿真結果影響較大,除完全固定與完全不固定兩種極限狀態外,無法證明其余狀態下仿真結果偏保守或者激進。相較而言,在本文采用的非線性仿真方法中,對仿真結果存在影響的摩擦因數具備明確物理含義,可采用預緊力試驗進行標定,使用標定參數進行仿真,得到更為接近試驗值的仿真結果。

本文采用的非線性模態仿真方法理論上可推廣應用于包括材料非線性、幾何非線性、邊界非線性等在內的非線性模態分析。

3 結束語

本文研究隨機功率譜的時域數據擬合與驗證方法,并應用于某閥門隨機振動線圈松動仿真,得到了閥門非線性模態頻率,從機理上定量解釋線圈松動對閥門模態的非線性影響。

本文提出的非線性模態仿真方法引入了接觸非線性的影響,通過預緊力試驗對摩擦因數進行標定后,對比采用保守邊界條件的線性方法,仿真結果與試驗結果誤差從8.69%降低為0.96%。