協方差分析法在調制型慣導系統設計中的應用

關博帆,胡巍,李四海,楊小康,李熾融

(1.西北工業大學 自動化學院,陜西 西安 710072; 2.中國人民解放軍93170部隊,陜西 西安 710000)

慣導系統的誤差分析是慣導研究的重要內容[1],這里的誤差分析主要是指分析不同誤差源對最終系統精度的影響。對旋轉調制慣導系統來說誤差分析這項工作顯得尤為重要。在設計旋轉策略時,要針對器件的誤差特性量體裁衣,有針對性地對影響系統精度程度較大的誤差項進行抑制,從而獲得較理想的系統精度。在確定旋轉策略后,運用合適的誤差分析方法計算出各誤差源在最終導航誤差中的占比,從而評判旋轉策略的優劣?？焖?、準確地獲得誤差分析結果對于評判、驗證旋轉調制策略不可或缺。因此,合適的誤差分析技術對旋轉調制慣導系統具有相當重要的意義。

目前對慣導系統進行誤差分析的方法可以分為3種。第一種方法是通過對慣導仿真模型逐次注入特定的誤差項進行單次仿真分析,有學者研究了戰術導彈慣導系統的誤差模型并通過實驗驗證了不同誤差源對系統精度的影響[2],這種方法的缺陷是每次加入的誤差是固定值,且忽略了不同誤差之間的耦合關系。第二種方法是蒙特卡羅仿真方法,這種方法需要進行大量的仿真[3],對于旋轉調制慣導的長航時應用環境來說計算量過大。第三種是協方差分析法,這種方法脫胎于對組合導航系統中卡爾曼濾波器的分析,通過對濾波器中協方差矩陣的分析推導獲得各項誤差方差和分布情況。研究人員通過推導協方差矩陣的更新方程提出了組合導航系統的誤差分析方法[4],還有學者提出了機載慣導進行空中對準時的誤差分析方法,并采用蒙特卡羅仿真對誤差分析的結果進行了驗證[5]。夏家和等[6]運用協方差分析法對傳遞對準過程進行了分析,獲得了各項誤差源對航向誤差的貢獻量。但這些協方差分析方法主要運用在濾波器中,而旋轉調制系統是純慣性系統,導航解算過程中不涉及卡爾曼濾波器運用,需要將協方差分析法引入到旋轉調制系統中,設計出適合該系統的誤差分析方法。

本文提出了一種相對簡單可行的應用于旋轉調制慣導的誤差分析方法。首先給出了慣導系統的誤差模型,并將其改寫為線性狀態空間模型的形式。然后對狀態向量進行了分解,并詳細推導了分解后的協方差矩陣更新方程,得到了狀態預測誤差與初始狀態、系統噪聲中各誤差因素分量之間的關系。根據線性系統的線性疊加原理,揭示了各誤差因素之間是相互獨立的,狀態預測總誤差可以分解成各誤差因素的貢獻量之和,從而簡化了誤差分析的計算方法。與蒙特卡羅法相比,該方法獲得的統計結果在理論上是準確的,并且無需大量的重復計算,計算量更小,耗時更少。最后,對不同的旋轉調制策略運用協方差分析法分別進行了誤差分析,得到了初始對準誤差、IMU常值誤差和隨機誤差等誤差源對最終系統導航精度的影響,分析結果能為評估旋轉策略的誤差抑制效果,提升系統精度提供有益參考。

1 系統的常規誤差模型

首先將本文后續分析所用到的坐標系定義如下:i系表示慣性坐標系;e系表示地球坐標系;g系表示當地的地理坐標系,定義為東-北-天;n系表示導航坐標系,本文中選取g系作為導航坐標系。b系表示運載體坐標系,定義為右-前-上。p系表示平臺坐標系,即安裝IMU的平臺所在的坐標系,該平臺與IMU固連,IMU隨平臺轉動。當轉軸上的測角機構讀數為零時,p系與b系重合。

一般情況下的姿態誤差可以表示為[7]

(1)

速度誤差可以表示為

(2)

位置誤差可以表示為

(3)

式中:L,λ,h分別表示運載體所在位置的緯度、經度和高度;RM和RN分別表示子午圈和卯酉圈的曲率半徑。

旋轉調制慣導系統的誤差模型由3個線性微分方程組成,因此可以將其改寫成矩陣乘法形式,如(4)式所示

(4)

式中,X是由導航誤差和IMU誤差組成的向量,可以用(5)式來定義

(5)

(5)式中的向量元素自左到右依次為初始姿態誤差、陀螺常值零偏、陀螺標度因數誤差、陀螺安裝誤差、加速度計零偏、加速度計標度因數誤差以及加速度計安裝誤差。需要說明的是,這里的誤差項并不是固定的,可根據實際情況增加或減少。

系統誤差模型中IMU的隨機誤差,其向量及分布矩陣由(6)式給出

(6)

向量元素自左到右依次為x,y,z三軸陀螺和加速度計的隨機噪聲。

(7)

根據系統的誤差模型,F可以寫成(8)式,而F中一些子矩陣的定義為

這樣就得到了旋轉調制慣導的線性系統狀態空間模型。

2 協方差矩陣更新方程的推導

2.1 根據狀態空間模型的推導方法

隨機輸入線性系統空間狀態模型由(9)式給出

(9)

式中:W為隨機輸入向量。定義X為n×1維的狀態向量;W為m×1維的噪聲向量。X的離散形式為

Xk=Φk/k-1Xk-1+Γk-1Wk-1

(10)

將(10)式等號兩邊進行轉置有

(11)

將(10)和(11)式相乘可以得到

(12)

(13)

式中:Pk為系統誤差的協方差矩陣;Qk為隨機誤差的方差矩陣。

在第n次更新的時候,經過n次迭代的系統協方差矩陣可以擴寫成

(14)

從(14)式可以看出,第n次迭代后協方差矩陣值只與初始的協方差矩陣和隨機輸入序列有關,如果定義

則(14)式可以寫成

以上結果可以用如(19)式所示的協方差矩陣更新公式來概括

(19)

根據協方差矩陣對角線上的每個元素將(19)式分解為

(20)

(21)

則協方差矩陣的更新過程被分解為

(22)

2.2 利用卡爾曼濾波基本方程的推導方法

協方差分析法在慣導系統的應用來源于對卡爾曼濾波器協方差陣的分析,而對旋轉調制慣導系來說,應用的是純慣性算法,并沒有外界輔助量測引入系統。但是這里可以借助部分卡爾曼濾波器的思路,摒棄濾波器中的量測更新過程,僅參考其時間更新過程,則可以應用于純慣性系統的誤差分析。

卡爾曼濾波的狀態均方差陣Pk一步預測方程為

(23)

在僅考慮時間更新過程的情況下可簡寫為

(24)

將其不斷向前遞推可以得到

(25)

一般情況下P0和Q均為對角陣,那么(25)式可以改寫為

(26)

(26)式中有

(27)

(28)

如果令

(29)

那么有

(30)

3 調制型捷聯慣導的誤差抑制原理

通常旋轉調制慣導系統的器件誤差有陀螺常值零偏ε,加速度計零偏,陀螺的標度因數誤差δKg,加速度計的標度因數誤差δKa等。

一般情況下陀螺和加速度計的誤差模型可以表示為[8]

(31)

(31)式表明陀螺和加速度計的誤差模型具有一致性,唯一不同的是陀螺標度因數誤差和安裝誤差與轉軸的角運動存在耦合,且考慮到陀螺誤差對導航精度的影響更加顯著,因此下文以陀螺誤差為例分析繞方位軸勻速旋轉下的慣性器件誤差調制原理。

對于陀螺常值零偏有

(32)

對于陀螺標度因數誤差有

(33)

對于陀螺安裝偏角有

(34)

可見,在一個旋轉周期內δGxy和δGyx無法被調制,而δGxz,δGzx,δGyz,δGzy在一個周期內積分為零,誤差得到了抑制。

對于陀螺隨機誤差有

(35)

旋轉前后陀螺隨機誤差協方差并未發生實質性改變,也即對于陀螺隨機誤差無法起到周期性旋轉調制作用。這是因為旋轉調制的頻率遠小于陀螺隨機誤差的頻率,在一個旋轉調制周期內,陀螺隨機誤差的表現形式仍然是白噪聲。

通過對旋轉調制誤差抑制機理的簡要分析可以看出,同一個旋轉動作對不同的器件誤差項抑制效果不同,類似地,由多個旋轉動作構成的整套調制策略對不同的器件誤差抑制效果也不同,需要對各個器件誤差的抑制效果進行逐項分析,這也正是本文推導協方差分析法的強項。

4 協方差分析法的評估與實際應用

下面使用本文推導的協方差分析法對慣導系統的誤差傳播過程進行分析,前提是這里的誤差必須用方差矩陣的形式來進行描述,以分析陀螺和加速度計噪聲的影響。

這種方法與傳統的蒙特卡羅方法不同,新方法不需要進行多次的仿真以獲取最終誤差的統計結果。尤其是旋轉慣導主要應用于航海等長航時工作場合,如果進行蒙特卡羅仿真將會消耗大量計算資源和時間,而本文推導的協方差分析法只需進行一次運算即可,是一種簡單、快速、可行的慣導誤差分析方法。

下面將設計幾組典型的場合進行這種分析方法的分析評估和實際運用,分析展示各項誤差的傳播形式以及對總誤差的貢獻。

4.1 協方差分析法的準確性評估

最簡單的捷聯慣導靜態導航狀態下,各誤差項的傳播規律相對明確,因而可以與協方差分析法處理過的結果進行對比,驗證該方法的準確性。

誤差分析用到的相關慣導誤差源列于表1中。

表1 誤差源設置表

簡潔起見,下面僅以經度誤差為例展示分析結果。

圖1清晰展示了捷聯慣導靜基座條件下24 h的經度誤差以及各個誤差項的傳播規律和總誤差的貢獻,從圖中可以得到幾個結論:

圖1 捷聯慣導的協方差分析結果

1) 初始水平誤差對最終的經度誤差影響程度很小,而初始航向誤差的影響則不可忽略,這也是提高初始對準精度的意義之一。

2) 陀螺誤差對系統總誤差的貢獻比例要遠大于加速度計誤差。

3) 靜基座條件下陀螺標度因數誤差和安裝誤差對總經度誤差的貢獻很小,原因是這2項誤差需要通過與角運動耦合引入,而靜基座條件下的角運動僅有地球自轉,其數量級較小,因而引起的誤差有限。

4) 陀螺的常值零偏是靜基座條件下經度誤差的主要誤差源。

上述結論與捷聯慣導誤差分析[9]得到的結論一致,也能從側面驗證該分析方法的合理性。

圖2為單軸旋轉條件下的經度誤差及初始誤差貢獻,從圖中可以看出,初始姿態誤差引起的經度誤差曲線與捷聯條件下完全相同,說明旋轉調制技術對初始對準誤差無能為力。

圖2 單軸旋轉慣導經度誤差(初始對準誤差貢獻)

從圖3可以看出,水平(x,y軸)陀螺零偏引起的經度誤差相對于捷聯慣導大幅度減小,趨近于零,說明繞方位軸的旋轉調制可以很好地抑制水平陀螺的常值零偏。而z軸陀螺零偏的貢獻無變化(圖中未標出)。

圖3 捷聯與單軸旋轉慣導陀螺零偏對經度誤差貢獻

對比圖1和圖2的總經度誤差可以看出,系統經度誤差最大值從約23 000 m降到了13 000 m,說明單軸旋轉調制對提高系統精度有一定效果。

接下來進行單軸旋轉與雙軸旋轉的對比。理論上雙軸旋轉可以對三軸上的器件誤差進行抑制,可以獲得較單軸調制更佳的效果,下面用協方差分析法對一種典型的雙軸16位置調制方法[10]進行分析。

從圖4的經度誤差曲線可以看出,三軸陀螺零偏造成的誤差相比總誤差可以忽略不計(僅為數米),說明雙軸旋轉可以調制三軸陀螺零偏誤差,這也是其與單軸調制的最大區別。

上面幾組實例分析的主要目的是將得到的結果與已知結論進行對比,從而驗證這種分析方法的合理性以及在旋轉調制慣導研究領域的適用性。

4.2 協方差分析法在評價旋轉策略的應用

不同的旋轉調制策略對不同器件誤差項有不同的抑制效果,很難找到一種調制方法能對所有的器件誤差項有最優抑制效果,因此要根據系統的器件誤差特性等因素來選擇最適合的旋轉調制策略,這也是設計旋轉調制系統非常關鍵的一個步驟。應用上文推導的協方差分析法可以相對快捷且清晰地獲得某種調制策略對各項器件誤差的抑制效果,下面通過一個實例來具體分析。將上文提到的16位置方法和一種64位置方法[11]進行對比分析,該64位置方法對陀螺標度因數誤差有較好的抑制效果。為了凸顯2種調制方法的差別,將陀螺標度因數誤差由10×10-6增加為30×10-6,其余條件不變。

從圖5可以看出,2種調制方法的差別主要是緯度誤差,然后對緯度誤差的各個誤差源進行繪圖。

圖5 2種調制方法的位置誤差圖

從圖6中可以看出,造成2種調制策略效果差異的主要原因是對陀螺標度因數誤差的抑制。如果某系統采用了標度因數性能較差的陀螺,就需要避免采用這種16位置的調制方法。

圖6 2種調制方法的緯度誤差分解

通過上面的實例分析可以看出,協方差分析法只需運行一次即可獲得各個誤差項對總誤差的貢獻,這一特點尤其適合旋轉調制慣導的誤差分析,可清晰地展示各項誤差的傳播規律以及與總誤差的對比,具有快捷、準確、明了等特點。該方法在慣導系統設計和精度評估中的應用,可以輔助器件選型、系統方案設計、慣導算法優化等環節,協方差分析結果對慣導算法研究和工程應用有一定意義。

5 結 論

本文在根據慣導系統誤差模型構建狀態空間模型后,將隨機誤差的狀態向量進行遞推和分解,推導出了包含初始誤差和系統隨機誤差信息的協方差矩陣的更新方程。利用協方差更新方程即可對系統進行誤差分析。這種分析方法僅運行一次即可獲得每個誤差源的誤差分布情況,這就為評判調制策略的優劣以及改進旋轉策略提供了依據,并且相較于蒙特卡羅仿真方法更快速簡明。因此,這種方法在設計旋轉調制慣導系統方面具有較為重要的實用價值,利用協方差分析法得到的結果可以直觀看出某種調制策略對某項器件誤差的抑制效果,評判調制策略與系統的適合程度,對優化和提升旋轉調制慣導系統精度具有較好的指導意義。