時間分數階Klein-Gordon方程的有限差分方法

丁 鵬，梁宗旗

(集美大學理學院，福建 廈門361021)

0 引言

近年來，由于分數階微積分的不斷發展，分數階微分方程在科學與工程的各個領域都得到了廣泛的應用，如光學[1]、流體力學[2]、化學[3]、物理學[4]、金融[5]和其他自然科學[6]。在分數階微分方程理論分析上，已經有大量學者開展了許多重要的工作[6-14]。但是，大多數分數階微分方程的精確解依然難以直接給出，即使是含有特殊函數的線性分數階微分方程亦是如此。由于這些特殊函數大多是無窮級數，其收斂速度比較慢，導致這些函數的計算也變得相當困難。因此，分數階偏微分方程的數值求解成為當今相關研究領域的課題之一。

本文研究了時間分數階Klein-Gordon方程

(1)

u(x，0)=φ(x)，ut(x，0)=ψ(x)，x∈[-L，L]，

(2)

u(-L，t)=0，u(L，t)=0，t∈(0，T]。

(3)

其中：f(x，t)為已知函數；φ(x)、ψ(x)為初值函數。Caputo分數階導數為

(4)

關于時間α(0<α≤1)階偏微分方程的數值解法，已經有豐富的研究成果，但相對時間α(1<α≤2)階偏微分方程而言，其數值求解的研究成果比較欠缺。Zhang等[12]將時空分數階非線性Klein-Gordon方程進行有限差分L1格式離散，空間上進行譜離散，利用線性化的方法將非線性項線性化，并利用能量法證明其離散格式是無條件穩定的。Vong等通過構造一維和二維時間分數階Klein-Gordon方程的空間緊差分格式，得到空間上4階的收斂階，并利用能量法證明了其收斂性和穩定性[15-16]。Chen等[17]利用時空譜方法求解了時間分數階非線性Klein-Gordon方程的數值解，并證明了其離散格式的收斂性和穩定性。事實證明，關于差分格式收斂性和穩定性的分析，大都采用能量法證明數值解是有條件或無條件穩定的。Sun等[13]提出了一種新的能量分析方法來分析多項時間分數階偏微分方程的收斂性與穩定性，給出有關Caputo導數L1差分格式的相關結果，證明了時間分數階混合次擴散方程和擴散波方程有限差分格式的收斂性與穩定性。事實表明，這種新的能量分析方法也能推廣應用到其他時間α(1<α≤2)階偏微分方程的數值求解問題，分析其有限差分格式的收斂性和穩定性。因此，本文利用這種新的能量分析方法，嚴格證明時間分數階Klein-Gordon方程的L1有限差分格式的收斂性與穩定性。

1 時間分數階Klein-Gordon方程有限差分的構建

記Λ：=[-L，L]，I=(0，T]，Ω=Λ×I，將求解區域Ω={(x，t)|-L≤x≤L，0

分別在節點(xi，tn)和(xi，tn-1)考慮方程(1)，并相加得到

u(xi，tn-1)]=[f(xi，tn)+f(xi，tn-1)]/2，1≤i≤M-1，1≤n≤N。

對時間Caputo導數采用L1格式逼近，空間導數采用中心差分格式逼近，得到

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

2 收斂性和穩定性分析

(11)

(12)

(13)

(14)

式(14)等式右端第一部分和第二部分分別利用分部求和公式，得到

(15)

(16)

將式(15)～式(16)代入式(14)中，得到

(17)

式(17)乘以Δt，將n從1到N求和，并利用引理3，得到

(18)

式(18)利用引理2，得到

(19)

利用引理5，式(19)右端最后一項得

(20)

將式(20)代入式(19)中，得到

(21)

(22)

式(22)可改寫為

(23)

(24)

定理1證畢。

類似于定理1的證明，差分格式(11)～(13)有如下的收斂性，即定理2。

證明用式(5)～式(7)減去式(11)-式(13)，得到

(25)

(26)

(27)

3 數值例子

表1分別給出了α=1.3、1.5、1.8和Δt=1/10、1/20、1/40、1/80差分格式(11)～(13)的誤差和收斂階。從表1中可以看出，差分格式(11)～(13)在無窮模下的時間方向上收斂階為3-α。表2給出了α=1.3、1.5、1.8和M=10、20、40、80差分格式(11)～(13)在T=1處的誤差和收斂階，得到無窮模下的空間收斂階為2。由表1和表2可以看出，差分格式(11)～(13)的收斂速度較快，而且數值結果和理論分析結果是一致的。

表1 例1的不同時間步長下的最大誤差及收斂階 (M=1 000)Tab.1 The maximum errors and convergence orders with different time node for example 1 (M=1 000)αΔtE∞(h,Δt)Order11.31/108.385 5×10-3—1/202.597 0×10-31.691 11/408.031 4×10-41.693 11/802.492 7×10-41.688 01.51/101.936 5×10-2—1/206.927 0×10-31.483 11/402.463 8×10-31.491 41/808.747 7×10-41.493 91.81/105.953 4×10-2—1/202.631 7×10-21.177 71/401.154 8×10-21.180 01/802.179 3×10-31.188 3

表2 例1的不同空間步長下的最大誤差及收斂階(N=1 000)Tab.2 The maximum errors and convergence orders with different spatial node for example 1 (N=1 000)αME∞(h,Δt)Order21.3107.691 5×10-2—201.838 6×10-22.064 7404.495 5×10-32.032 1801.119 8×10-32.005 31.5106.337 2×10-2—206.927 0×10-31.985 5403.964 3×10-32.013 1801.002 2×10-31.983 91.8104.442 2×10-2—201.113 3×10-31.996 4402.689 5×10-32.049 4806.700 7×10-42.005 0

同例1，例2給出了有關時間和空間方向上無窮模下的誤差和收斂階。由表3可以看出，當α=1.3、1.5、1.8、時間步長成1/2倍減少時，差分格式(11)～(13)的時間方向上是3-α階收斂的。由表4可以看出，當α=1.3、1.5、1.8時差分格式(11)～(13)在無窮模下的空間方向上收斂階為2。這與定理2中差分格式的收斂階是O(Δt3-α+h2)是一致的，說明數值結果和理論分析是一致。

表3 例2的不同時間步長下的最大誤差及收斂階(M=1 000)Tab.3 The maximum errors and convergence orders with different time node for example 2 (M=1 000)αΔtE∞(h,Δt)Order11.31/101.112 2×10-1—1/203.448 2×10-21.689 61/401.064 8×10-21.695 21/803.282 7×10-31.697 71.51/102.470 4×10-1—1/208.845 8×10-21.481 71/403.146 9×10-21.491 11/801.115 9×10-21.495 61.81/107.116 8×10-1—1/203.131 2×10-11.184 41/401.371 1×10-11.191 31/805.988 1×10-21.195 2

表4 例2的不同空間步長下的最大誤差及收斂階(N=1 000)Tab.4 The maximum errors and convergence orders with different spatial node for example 2 (N=1 000)αME∞(h,Δt)Order21.3102.949 9×10-2—207.129 2×10-32.048 9401.768 4×10-32.011 3804.435 9×10-41.995 11.5102.543 1×10-2—206.266 0×10-32.021 0401.572 3×10-31.994 7804.073 4×10-41.948 61.8101.913 9×10-2—205.048 4×10-31.922 6401.447 6×10-31.802 2805.453 9×10-41.408 3

4 結論

本文利用新的能量分析方法，證明了時間分數階Klein-Gordon方程標準L1差分格式的穩定性與收斂性。數值例子證明，該方法是一個簡單、經濟和高效的數值方法。下一步的研究將基于L1新的能量分析方法推廣應用到其他時間分數階偏微分方程上，證明其有限差分格式解的穩定性和收斂性。除此之外，還可以建立基于L2新的能量分析法來證明時間分數階微分方程高階的差分格式穩定性和收斂性。