基于虛實映射模型的慣容慣質系數測試與驗證?

李月昊， 程 哲， 胡蔦慶， 黃良遠， 肖 卓

（1.國防科技大學智能科學學院 長沙，410073）

（2.國防科技大學裝備綜合保障技術重點實驗室 長沙，410073）

引 言

慣容器［1］是基于機電相似理論的一種雙端動力學元件，其動力學特征表現為慣性。與電學中電容器的容性類似，施加在慣容器兩端的力與這兩端間的相對加速度成正比，這一比例即為慣質系數。動力學中的傳統慣性元件——質量，定義在慣性系中，其一端總是接地，并不是一個真正的雙端元件，因而與質量對應的電學元件為接地電容。若電路系統中僅由接地電容構成，其結構與功能均會受到接地條件的限制。實際應用中的電容并不須一端接地，從而基于“電容-電感-電阻”基本結構演變出復雜多樣且功能紛繁的電路系統。慣容的提出完善了機電相似理論，使得 傳統“質量-彈簧-阻尼”系統中亦可存在接于兩質量之間的慣性元件——慣容，從而產生“ 慣 容-彈 簧-阻 尼”（inerter-spring-damper， 簡 稱ISD）［2］系統，而質量即可視作一端接地的慣容器。

基于“慣容-彈簧-阻尼”基本結構，學者們面向不同應用場景，主要針對振動控制問題，提出了多種含慣容器的機械系統，例如ISD 懸架系統［3-6］、調諧質 量 慣 容 阻 尼（tuned-mass-damper-inerter， 簡 稱TMDI）［7-9］系 統 以 及電液慣容彈簧阻尼（hydraulic electric-inerter spring damper， 簡 稱HE-ISD ）［10］系統等。這些機械系統極大地豐富了動力學理論，解決了諸多工程實際問題，慣容亦在這些應用場景中表現出良好的振動控制效果。

慣容器不僅豐富了機械系統，亦使得質量由機械結構的固有屬性變為可設計的結構參數。慣容器已有多種實現形式，如齒輪齒條慣容器［11-12］、滾珠絲杠慣容器［13-15］、液壓馬達慣容器［16］、流體慣容器［17］以及機電式慣容器［18］等，均可實現所需的慣質系數這一核心設計參數。

為保證慣容器被合適安裝，確保慣容器工作于理想慣質系數狀態，提升慣容器運行維護性能，筆者基于慣容器動力學模型與慣質系數測試實驗平臺，建立了面向慣容器安裝預緊力評估的虛實映射模型及其實驗系統。該系統中滾珠絲杠慣容器一端固定，以低頻簡諧力作為慣容器輸入，通過激光位移傳感器獲取滾珠絲杠慣容器另一端位移響應，將該響應與模型仿真輸出進行對比分析，為近實時調整實驗平臺的安裝預緊力提供指導。結果表明，虛實映射系統可有效近實時地判斷慣容器的安裝預緊力的大小，從而實現對慣容器的動態調控，為慣容器以理想慣質系數平穩工作提供基礎，為慣容器的安裝與運行維護提供技術指導。

1 慣容器模型與慣質系數測試

1.1 慣容器動力學模型

慣容器的動力學特性表現為慣性，其動力學模型如圖1 所示。其中：F1，F2分別為作用于慣容器端點1 與端點2 的外力；x1，x2分別為慣容器端點1 與端點2 的位移；b為慣容器慣質系數。

圖1 慣容器動力學模型Fig.1 Dynamic model of inerter

根據圖1，有

式（1）表示作用于慣容器兩端點的力與這兩端點間的相對加速度成正比，這一比例即為慣質系數。

1.2 慣質系數測試實驗原理

慣容器慣質系數測試實驗原理如圖2 所示。其中：Fv為振動臺所施加簡諧力；Pv為簡諧力幅值；ωv為簡諧力角頻率；t為時間；kv為振動臺內部懸掛彈簧剛度，zb為慣容器非固定端位移，ce為等效阻尼。

圖2 慣質系數測試實驗原理Fig.2 Schematic of inertance test experiment

測試慣容器慣質系數，采用固定慣容器一端，使用振動臺對慣容器另一端施加簡諧力，采集力信號與慣容器非固定端位移信號，從而計算慣容器慣質系數。等效阻尼ce主要為慣容器自身結構阻尼，通常認為其極?。☉T質系數接近理論值時），但通過實驗發現，其為慣容器主要非線性因素，受預緊力影響而波動極大。根據圖2，有

zb的穩態解可表示為

其中：φ為初始相位（因為僅關注zb幅值，予以忽略）。

在本研究中，由于kv遠小于bωv2，且當ce影響可以忽略（慣容器安裝預緊力合適）時，式（3）可簡化為

其中：zbv為zb的幅值，可從激光位移傳感器采集的位移信號中獲得；Pv與ωv可從力傳感器采集的力信號中獲得。

根據式（4）可計算得到慣質系數。由于慣容器安裝預緊力的影響，其非固定端會產生速度波動。速度波動通過積分效應造成位移響應偏移較大，此時可對zb進行離散求導獲取其速度vb。由式（5）計算得到慣質系數

其中：vbv為慣容器非固定端速度vb的幅值。

1.3 滾珠絲杠慣容器慣質系數測試實驗

本研究以滾珠絲杠慣容器作為實驗對象，通過實驗驗證面向慣容器的虛實映射模型。滾珠絲杠慣容器結構簡圖如圖3 所示。

圖3 滾珠絲杠慣容器結構簡圖Fig.3 The structure diagram of the ball-screw inerter

滾珠絲杠慣容器主要由殼體、螺母、絲杠、飛輪以及軸承（通常為角接觸球軸承）等構成，通過滾珠絲杠傳動機構，將絲杠的直線運動轉化為螺母及其上飛輪等旋轉部件的旋轉運動，其一端點位于絲杠上，另一端點位于殼體上。

記滾珠絲杠傳動機構的導程為Ps，滾珠絲杠慣容器中隨螺母一同旋轉的旋轉部件相對其共同轉軸的轉動慣量為Ir，螺母與飛輪等部件相對兩端位移靜平衡位置所對應角度位置的弧度為θs，旋轉角速度為ωs。

根據滾珠絲杠傳動機構傳動特性，有

忽略摩擦力和平動部件的平動動能與平動慣性，以端點1 為參考系，考慮微元時間dt內外力做功與滾珠絲杠慣容器動能的關系，有

式（7）兩端同時除以dt，并代入式（6）可得

忽略摩擦力和平動部件的平動動能與平動慣性，以端點2 為參考系，考慮微元時間dt內外力做功與滾珠絲杠慣容器動能的關系，有

式（9）兩端同時除以dt，并代入式（6）可得

由式（8）與式（10）可得

因此，滾珠絲杠慣容器的理論慣質系數表達式為

通常慣容器慣質系數遠大于自身質量，故一般情況下，忽略平動部件平動動能與平動慣性是合適的。由于滾珠絲杠慣容器自身結構中存在安裝預緊力，預緊力的一部分用于保證穩固的連接，另一部分則會使得支撐軸承預緊。使軸承預緊的部分預緊力會為螺母附加一阻力矩，該力矩被滾珠絲杠機構轉化并放大為絲杠平動方向上的阻力，使得滾珠絲杠慣容器偏離理論慣質系數。當簡諧力加載時，該阻力矩與等效阻力亦會變化。記安裝預緊力等效附加力矩為Mte，其在絲杠平動方向上的等效阻力為Fte，則有

在同樣的輸入簡諧力情形下，過大的安裝預緊力會使測得的位移幅值偏小，計算得到的滾珠絲杠慣容器慣質系數實驗值偏大；而過小的預緊力會使得安裝不穩固，螺母與軸承整體出現絲杠平動方向上的竄動，使測得的位移幅值偏大，計算得到的滾珠絲杠慣容器慣質系數實驗值偏小。以上兩種情形均為不正確安裝，當預緊力合適時，測得的滾珠絲杠慣容器慣質系數接近理論值。

滾珠絲杠慣容器慣質系數測試實驗系統參數如表1 所示。

表1 慣質系數測試實驗系統參數Tab.1 Parameters of the inertance test experiment system

當預緊力合適時，慣容器安裝穩固，慣容器軸承附加阻力矩微小，此時測試得到的慣質系數接近理論值。輸入力頻率為5 Hz 且預緊力合適時的力與位移曲線如圖4 所示，其中，Pv=155.5 N，zbv=3.14×10-5m，可得測試慣質系數為5 017 kg，接近理論值5 280 kg。

圖4 輸入力頻率為5 Hz 且預緊力合適時的力與位移曲線Fig.4 The input force and displacement when frequency is 5 Hz and pre-tightening force is right

輸入力頻率為0.5 Hz 且預緊力合適時的力與位移曲線如圖5 所示，其中Pv=74.8 N，zbv=1.33×10-3m，可得測試慣質系數為5 698 kg，接近理論值5 280 kg。

圖5 輸入力頻率為0.5 Hz 且預緊力合適時的力與位移曲線Fig.5 The input force and displacement when frequency is 0.5 Hz and pre-tightening force is right

當預緊力偏大時（本研究通過擰緊慣容器安裝螺釘增加預緊力），慣容器安裝穩固，但慣容器軸承附加阻力過大，導致所得位移信號偏移加大，計算得到的速度幅值偏小，慣質系數嚴重大于理論值。輸入力頻率為5 Hz 且預緊力過大時的力與位移曲線如圖6 所示，其中，Pv=79.8 N，zbv=8.71×10-6m，vbv=2.74×10-4m/s，可得測試慣質系數為9 270 kg，大于理論值5 280 kg。

圖6 輸入力頻率為5 Hz 且預緊力過大時的力與位移曲線Fig.6 The input force and displacement when frequency is 5 Hz and pre-tightening force is too large

當預緊力偏小時（本研究通過擰松慣容器安裝螺釘減小預緊力），慣容器軸承附加阻力微弱，但慣容器安裝欠穩固，螺母與軸承整體出現絲杠平動方向上的竄動，導致所得位移信號幅值偏大，計算得到的速度幅值偏大，慣質系數嚴重小于理論值。輸入力頻率為5 Hz 且預緊力過小時力與位移曲線如圖7所示，其中，Pv=71.1 N，zbv=4.43×10-5m，vbv=1.39×10-3m/s，可得測試慣質系數為1 630 kg，小于理論值5 280 kg。

圖7 輸入力頻率為5 Hz 且預緊力過小時力與位移曲線Fig.7 The input force and displacement when frequency is 5 Hz and pre-tightening force is too small

2 慣容器虛實映射模型構建

為有效區分合適的安裝預緊力與不當的安裝預緊力，便于慣容器的運行維護，本研究基于滾珠絲杠慣容器建立了慣容器虛實映射模型，并搭建了滾珠絲杠慣容器虛實映射實驗系統，如圖8 所示。

圖8 滾珠絲杠慣容器虛實映射實驗系統Fig.8 The virtual-real mapping system of the ball-screw inerter

該系統主要由滾珠絲杠慣容器、信號發生器、振動臺、力傳感器、激光位移傳感器、振動臺功放、力傳感器終端、數字采集卡、計算機及實驗臺架等構成。滾珠絲杠慣容器端點2（殼體）與實驗臺架固聯，端點1（絲杠）與振動臺輸出端及力傳感器固聯。信號發生器產生簡諧電壓信號輸出至振動臺功放，振動臺功放產生驅動電流以驅動振動臺產生簡諧激勵力。力傳感器及其終端可采集輸入力信號。激光位移傳感器及采集卡可采集端點1 的位移響應。力信號與位移信號由計算機進行處理與分析。

慣容器虛實映射模型將來自實體層的輸入力信號與位移信號讀入模型層（僅需若干輸入力周期內的信號），提取輸入力信號的參數，從而設置Simulink 模型的部分輸入并進行Simulink 仿真，仿真得到虛擬位移與虛擬速度。由于所需數據量小且輸入力穩定，所得虛擬位移、虛擬速度可與采集時間內的位移信號及其計算得到的速度做虛實映射，亦可與當前時間內滾動顯示的位移信號做虛實映射。虛實映射可判斷當前慣容器是否工作在理想慣質系數狀態，安裝預緊力是否失當，進而進行運行維護，調整安裝預緊力。另外，亦可設置所采集數據定時保存，此時該模型可循環更新虛擬位移與虛擬速度（取決于采集卡與傳感器工作方式）。慣容器虛實映射模型如圖9 所示，其中Simulink 部分如圖10 所示。

圖10 慣容器虛實映射模型Simulink 部分Fig.10 Simulink part of the virtual-real mapping model of inerter

圖10 所示模型中，對輸入力信號進行快速傅里葉變換可得Pv與ωv，b設置為理論慣質系數，ce可設置為0，b與kv參數見表1，其中zbs為虛擬位移，vbs為虛擬速度。該Simulink 模型可與Matlab 工作區直接交互，所有參數均可由程序設置并由程序控制開始仿真。獲取一定數據量的信號后，該模型僅需一開始操作，即可實現虛實映射。

3 虛實映射實驗驗證

圖11 為輸入力頻率為5 Hz 且預緊力合適時的虛實映射，其對應的實際輸入力和實際位移與圖4相同，此時慣容器安裝預緊力合適，慣容器安裝穩固，慣質系數接近理想情況。由于受積分效應影響，虛擬位移未至穩態，略有偏差，但虛擬速度已至穩態且與實際速度契合良好。

圖12 為輸入力頻率為5 Hz 且預緊力過大時的虛實映射，其對應的實際輸入力與實際位移與圖6相同，此時慣容器安裝預緊力偏大，慣容器安裝過穩固，測試慣質系數偏大。實際位移信號波動較大，其幅值小于虛擬位移。實際速度信號非平滑，其幅值小于虛擬速度。

圖12 輸入力頻率為5 Hz 且預緊力過大時的虛實映射Fig.12 The virtual-real mapping results when frequency is 5 Hz and pre-tightening force is too large

圖13 為輸入力頻率為5 Hz 且預緊力偏小時的虛實映射，其對應的實際輸入力與實際位移與圖7相同，此時慣容器安裝預緊力偏小，慣容器安裝欠穩固，測試慣質系數偏小，慣容器軸承與滾珠絲杠副螺母整體竄動，實驗中沖擊噪聲明顯。實際位移信號波動較大，其幅值大于虛擬位移。實際速度信號幅值大于虛擬速度。

圖13 輸入力頻率為5 Hz 且預緊力過小時的虛實映射Fig.13 The virtual-real mapping results when frequency is 5 Hz and pre-tightening force is too small

所建立的滾珠絲杠慣容器虛實映射模型及其實驗系統能夠有效區分合適的安裝預緊力及過大、過小的安裝預緊力，可驗證面向慣容器的虛實映射模型原理。實際上，該虛實映射模型并不局限于滾珠絲杠慣容器，其他類型的慣容器，如齒輪齒條慣容器等，均可基于相似原理建立虛實映射模型。

4 結 論

1） 基于滾珠絲杠慣容器進行了慣容器慣質系數測試實驗，驗證了慣容器動力學模型及滾珠絲杠慣容器慣質系數表達式。慣容器慣質系數易受安裝預緊力影響，過大的安裝預緊力會使測試慣質系數偏大，過小的安裝預緊力會使測試慣質系數偏小，僅在安裝預緊力合適時，慣容器慣質系數接近理論值。

2） 建立了慣容器虛實映射模型及其虛實映射實驗系統，開展了虛實映射實驗。實驗結果能夠有效區分合適的安裝預緊力以及過大、過小的安裝預緊力，可驗證面向慣容器的虛實映射模型原理。該虛實映射模型有利于保證慣容器合適的安裝，監測慣容器是否工作于理想慣質系數狀態，為慣容器運維保障提供技術支撐。