廣義Rickart模

王永鐸, 任玉芳

(蘭州理工大學 理學院, 甘肅 蘭州 730050)

貫穿全文,環R都是有單位元的環,模都是右R-模.對于右R-模M,S=EndR(M)表示M的自同態環.對于任意的φ∈S,Kerφ表示φ的核,Imφ表示φ的像.用N≤M,N≤⊕M,L?N分別表示N是M的子模,N是M的直和項,L和N同構.E(M)表示M的內射包,R(n)表示R的n次直和.記

rM(φ)={m∈M|φm=0}rS(I)={φ∈S|Iφ=0}rR(N)={r∈R|Nr=0}

其中φ∈S,I是S的任意非空子集,N≤M.

Lee等[1]引入了Rickart模的概念.稱M是Rickart模,如果S中的任意元素在M中的右零化子由S的冪等元生成.證明了環R是半單阿廷環當且僅當所有右R-模是Rickart模當且僅當所有extending右R-模是Rickart模當且僅當所有內射右R-模是Rickart模當且僅當所有內射右R-模是Baer模.Wilson[2]提出了SIP模的概念.稱模M為SIP模,如果M的任意一對直和項的交是M的直和項.Tasdemir等[3]引入了廣義SIP模(簡稱GSIP模)的概念.稱模M為GSIP模,如果M的任意一對直和項的交同構于M的直和項.受文獻[1-3]的啟發,本文中引入了廣義Rickart模的概念.稱M是廣義Rickart模,如果S的任意元素在M中的右零化子同構于M的直和項.給出了是廣義Rickart模但不是Rickart模的例子,并研究了廣義Rickart模的一些性質,證明了環R是半單阿廷環當且僅當所有右R-模是廣義Rickart模.

1 預備知識

稱M是virtually半單模[4],如果M的任意子模同構于M的直和項.稱R是右遺傳環[5],如果R的每個右理想都是投射的.稱M是不可分解模{5],如果M≠0且M只有平凡的直和項.稱模M是內射模[5],如果對任意的單同態f:N→K以及R-模同態g:N→M均有模同態h:K→M使得hf=g.稱M是Baer模[6],如果S的任意非空子集的右零化子由S的冪等元生成.稱R是右V-環[7],如果任意單右R-模是內射模.稱M是有限余生成模[7],如果M的基座是有限生成的且在M中本質.稱M是有限余表示模[7],如果M滿足:

1)M是有限余生成的;

2) 若在正合列0→M→L→N→0中L是有限余生成的,則N也是有限余生成的.稱M是extending模[8],如果M的任意子模都是其直和項的本質子模.

2 主要結果

定義1設M是右R-模,S=EndR(M).稱M是廣義Rickart模,如果S的任意元素在M中的右零化子同構于M的直和項,即對于任意的φ∈S,存在e2=e∈S,使得

rM(φ)=Kerφ?eM

注意Kerφ=rM(φ),φ∈S.

例1Virtually半單模是廣義Rickart模.

證明設M是virtually半單模,對于任意的φ∈EndR(M),因為M的任意子模同構于M的直和項,所以Kerφ同構于M的直和項,即M是廣義Rickart模.

Rickart模是廣義Rickart模,但是廣義Rickart模不一定是Rickart模.

定義2稱M滿足H3條件,如果對M的任意直和分解M=L⊕N,C≤L,D≤⊕M,由C?D可推出D≤L.稱滿足H3條件的模為H3模.

例3不可分解模是H3模.

命題1H3模的直和項是H3模.

證明設M是H3模,M=L⊕N.令N=A⊕B,C≤A,D≤⊕N,且C?D,那么M=L⊕N=A⊕(B⊕L),D≤⊕M.因為M滿足H3條件,所以D≤A,因此N是H3模.

定理1設M是廣義Rickart模,且滿足H3條件.則M的直和項是廣義Rickart模.

證明設M是廣義Rickart模,N≤⊕M,存在e2=e∈EndR(M),即N=eM,φ∈EndR(N).需要證Kerφ同構于N的直和項.令M=L⊕N,φ′=φ⊕1L.從而自同態φ:eM→eM可擴展到自同態φ′:L⊕N→L⊕N,即φ′:M→M.因為

Kerφ′= Kerφ

M是廣義Rickart模,所以

Kerφ?A≤⊕M

因為M滿足H3條件,所以由M=L⊕N,Kerφ≤N,A≤⊕M,Kerφ?A,可推得A≤N.從而A≤⊕N,進而Kerφ?A≤⊕N,故N是廣義Rickart模.

注1設M是廣義Rickart模,且滿足H3條件,φ∈EndR(M).若φ是冪等元,則有M=Kerφ⊕Imφ,根據定理1可知,Kerφ和Imφ都是廣義Rickart模.

定義3稱M滿足廣義D2條件,如果對任意的N≤M,由M/N同構于M的直和項可推出N同構于M的直和項.稱滿足廣義D2條件的模為廣義D2模.

命題2設M是模.若對于任意的φ∈EndR(M),Imφ同構于M的直和項.則以下條件等價:

1)M是廣義D2模;

2)M是廣義Rickart模.

證明1)?2) 設M是廣義D2模.對于任意的φ∈EndR(M),由模同態基本定理可知,M/Kerφ?Imφ,因為Imφ同構于M的直和項,所以M/Kerφ同構于M的直和項.又因為M是廣義D2模,所以Kerφ同構于M的直和項,因此M是廣義Rickart模.

2)?1) 設M是廣義Rickart模,N≤M,且M/N?L≤⊕M.存在φ∈EndR(M),使得Kerφ=N.因為M是廣義Rickart模,所以N同構于M的直和項,因此M是廣義D2模.

定義4[9]稱M滿足H1條件,如果A≤M,B≤M且A?B,可推出M/A?M/B.

命題3設M是廣義Rickart模.若M滿足H1條件,則對于任意的φ∈EndR(M),Imφ同構于M的直和項.

證明設任意的φ∈EndR(M).因為M是廣義Rickart模,所以

Kerφ?M′≤⊕M

記M=M′⊕N.又因為Kerφ≤M,M′≤M,且M滿足H1條件,所以

M/Kerφ?M/M′?N≤⊕M

由模同態基本定理可知:

M/Kerφ?Imφ

因此Imφ同構于M的直和項.

稱M是morphic模,如果對于任意的φ∈EndR(M),

M/Imφ?Kerφ

命題4設M是滿足H1條件的morphic模.若對于任意的φ∈EndR(M),Imφ同構于M的直和項,則M是廣義Rickart模.

證明設Imφ?M′≤⊕M,記M=M′⊕N.因為Imφ≤M,M′≤M,且M滿足H1條件,所以

M/Imφ?M/M′?N≤⊕M

又因為M是morphic模,所以M/Imφ?Kerφ,因此Kerφ同構于M的直和項,即M是廣義Rickart模.

定理2廣義Rickart模是GSIP模.

證明設M是廣義Rickart模.令L=eM,N=fM,非零冪等元e,f∈EndR(M),M=L⊕L′=N⊕N′.那么

Ker(1-f)e=[eM∩Ker(1-f)]⊕(1-e)M= (eM∩fM)⊕(1-e)M= (L∩N)⊕L′

因為M是廣義Rickart模,所以

(L∩N)⊕L′?M′≤⊕M

即存在同構φ:(L∩N)⊕L′→M′,使得

φ(L∩N)+φ(L′)=M′

因為

φ(L∩N)∩φ(L′)=0,所以

φ(L∩N)⊕φ(L′)=M′

因此φ(L∩N)是M′的直和項.因為M′≤⊕M,所以φ(L∩N)≤⊕M.又因為L∩N?φ(L∩N),所以L∩N同構于M的直和項,因此M是GSIP模.

由定理2可知廣義Rickart模是GSIP模,那么根據文獻[3]中的定理2.2和2.3可得以下兩個推論.

推論1若M是廣義Rickart模,則對于M的任意一對直和項L和N,投影映射φ:M→N,限制映射φ|L的核同構于M的直和項.

推論2若M是廣義Rickart模,則對于M的任意直和分解M=L⊕N,任意同態φ:L→N,Kerφ同構于M的直和項.

設M是右R-模.稱M滿足C2條件,如果N≤M,L?N,且L≤⊕M,可推出N≤⊕M.

稱M是準內射模,如果對于單同態f:N→M及任意同態g:N→M,存在同態g-:M→M,使得g-f=g.

稱M是偽內射模,如果對于任意同態β:0→A→M和α:0→A→M,存在γ∈EndR(M),使得β=γα.

定理3設M是右R-模,且M滿足C2條件.則以下條件是等價的:

1)M是廣義Rickart模;

2)M是Rickart模.

推論3內射模(自內射模,準內射模,偽內射模)M是廣義Rickart模當且僅當M是Rickart模.

定義5稱M是廣義N-Rickart模,如果對于任意同態φ:M→N,Kerφ同構于M的直和項.

根據定義5,右R-模M為廣義Rickart模當且僅當M為廣義M-Rickart模.

命題5設M是廣義Rickart模,且滿足H3條件,M1⊕M2≤⊕M.則Mi是廣義Mj-Rickart模,對于任意的1≤i≠j≤2.

證明設φ∈HomR(Mi,Mj).令

N={(mi+φmi)|mi∈Mi}

則N≤⊕M,那么Kerφ=Mi∩N.因為M是廣義Rickart模,由定理2知M是GSIP模,所以Kerφ=Mi∩N同構于M的直和項.記

Kerφ?H≤⊕M

則存在M的子模L,使得

M=L⊕H,Kerφ≤Mi≤⊕M

因為M滿足H3條件,所以H≤Mi.又因為

Mi∩M=Mi∩(L⊕H)

由模律可知

Mi=(Mi∩L)⊕(Mi∩H)=(Mi∩L)⊕H

從而H≤⊕Mi,所以Kerφ同構于Mi的直和項,因此Mi是廣義Mj-Rickart模,對于任意的1≤i≠j≤2.

定理4設R是環.則以下條件是等價的:

1) 所有右R-模是廣義Rickart模;

2) 所有extending右R-模是廣義Rickart模;

3) 所有內射右R-模是廣義Rickart模;

4) 所有內射右R-模是Baer模;

5)R是半單阿廷環.

證明1)?2)?3)是顯然的.

3)?4) 設右R-模M是內射模.由于內射模都滿足C2條件,因此M是滿足C2條件的廣義Rickart模,故由定理3知M是Rickart模.由文獻[1]中定理2.25知,所有內射的Rickart模是Baer模.

4)?5) 由文獻[6]中定理2.20可得.

5)?1) 由文獻[1]中定理2.25知所有右R-模都是Rickart模,所以所有右R-模都是廣義Rickart模.

引理1[7]設R是環.則以下條件等價:

1)R是右V-環;

2) 所有有限余生成R-模是半單模;

3) 所有有限余表示R-模是內射模.

定理5設R是右遺傳環.則以下條件等價:

1)R是右V-環;

2) 所有有限余生成R-模是廣義Rickart模;

3) 所有有限余表示R-模是廣義Rickart模.

證明1)?2) 由文獻[7]中引理23.1可得.

2)?3) 由定義可知,如果M是有限余表示模,那么M是有限余生成模,因此由2)知所有有限余表示R-模都是廣義Rickart模.

3)?1) 設M是有限余表示R-模.由文獻[7]中的命題30.1知,E(M)和E(M)/M是有限余生成的.從而由文獻[7]中命題21.4可知,E(M)⊕E(M)/M是限余生成的.因為R是右遺傳環,所以內射模的商模是內射模,從而E(M)/M是內射模.又因為內射模的有限直和是內射模,所以E(M)⊕E(M)/M是內射模.因為有限余生成內射模是有限余表示的,所以E(M)⊕E(M)/M是限余表示R-模,從而E(M)⊕E(M)/M是廣義Rickart模,由推論2可知,對于自然滿同態φ:E(M)→E(M)/M,Kerφ=M同構于E(M)⊕E(M)/M的直和項.因為內射模的直和項是內射模,所以M同構于內射模.因此由引理1可知,R是右V-環.

3 結論

本文對Rickart模進行推廣, 給出廣義Rickart模的概念, 研究了廣義Rickart模的一些性質,證明了廣義Rickart模是GSIP模;所有右-R模是廣義Rickart模的環R是半單阿廷環; 滿足H3條件的廣義Rickart模的直和項是廣義Rickart模等.本文的研究使得模類更加豐富,同時希望能夠為進一步研究環與模提供新的方法和思路.