四元數矩陣方程最小二乘Toeplitz解的半張量積方法

閆立梅, 趙琳琳, 丁文旭, 李 瑩, 范洪彪

(1. 德州學院 數學與大數據學院, 山東 德州 253000; 2. 聊城大學 數學科學學院, 山東 聊城 252000)

為了克服普通矩陣乘法受維數的限制,程代展等[1-2]提出了矩陣的半張量積理論,矩陣的半張量積是矩陣普通乘法的推廣和延展.該理論一經提出,在與矩陣有關的諸多領域得到了廣泛應用.Fan等[3]和Cheng等[4]提出了求解模糊關系方程的半張量積方法,給出了模糊關系方程有解的充分必要條件,找到了所研究模糊關系方程全部的精確解;Fu等[5]使用矩陣的半張量積方法研究了有限Boolean代數的分解以及同構和同態問題;Cheng等[6]使用半張量積方法討論了多值邏輯的完備性問題;葛美俠等[7]在半張量積的理論框架下研究了網絡演化博弈,給出了網絡演化博弈策略一致性的充要條件;丁文旭等[8],王棟等[9]和Ding等[10]將半張量積理論用于求解四元數矩陣方程,提出了四元數矩陣的實向量表示方法,得到了較好的效果;半張量積理論在其它領域也得到了成功的應用[11-13].

本文使用矩陣的半張量積方法研究四元數線性系統(1)的最小二乘Toeplitz型矩陣解和Hermitian Toeplitz型矩陣解.

(1)

Toeplitz矩陣在超視距雷達[14]、噪音消除[15]、計算機視覺[16]等工程應用領域發揮著重要的作用,是矩陣理論的研究內容之一.

1 預備知識

定義1[17]設x1,x2,x3,x4∈R,稱

x=x1+x2i+x3j+x4k

為四元數.其中,i,j,k滿足i2=j2=k2=ijk=-1,ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j.

定義2設X∈Qn×n,稱

為四元數Toeplitz矩陣.顯然,四元數Toeplitz矩陣由它的第一行和第一列上共2n-1個元素決定.

定義3[1-2]設A∈Rm×n,B∈Rp×q,t=lcm(n,p)是n和p的最小公倍數,稱

為A和B的矩陣半張量積.

矩陣半張量積一般不具有交換性.但可以在換位矩陣的協助下具有一定的交換性,稱之為準交換性.

定義4[1-2]稱

故有,

簡記為

W[m,n]=δmn[1,…,(n-1)m+1,…,m,…,mn]

換位矩陣可以起到交換兩個行向量和列向量相乘順序的作用.

性質1[1-2]設x∈Rm,y∈Rn,A∈Rp×q,則

ij=1,2,…,kj;j=1,2,…,n

設

稱MF為F的結構矩陣.

定義6[8]設四元數x=x1+x2i+x3j+x4k,稱vR(x)=(x1,x2,x3,x4)T為x的實排列.

設x,y∈Q,xy的實排列vR(xy)可以通過半張量積方法用實向量vR(x),vR(y)來表示.

引理1[1-2]設x,y∈Q,則

其中

為兩個四元數乘積的結構矩陣.

丁文旭等[8]提出了四元數行向量和列向量的實排列以及四元數矩陣的實行排和實列排概念.

定義7[8]設x=(x1,x2,…,xn)為四元數行向量,y=(y1,y2,…,yn)T為四元數列向量,稱

分別為四元數向量x和y的實排列,vR(x),vR(y)∈R4n.

定義8[8]設A∈Qm×n,Rowi(A),Colj(A),i=1,2,…,m;j=1,2,…,n分別是A的第i行和第j列,稱

四元數向量和四元數矩陣的實向量表示具有下面的性質.

R4mp×16mn2p

引理4[18]設A∈Rm×n,b∈Rm,則不相容線性方程組Ax=b的最小二乘解的通式為x=A+b+(In-A+A)y,其中y∈Rn是任意的向量.

引理5[18]設A∈Rm×n,b∈Rm,則線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是AA+b=b,且其通解為x=A+b+(In-A+A)y,其中y∈Rn是任意的向量.

2 方程(1)的最小二乘Toeplitz解和Hermitian Toeplitz解

稱XT為四元數矩陣方程(1)的極小范數最小二乘Toeplitz解.

定理1設X∈TQn×n,且

定理2設Xi∈TQn×n,i=1,2,…,k,記

定理3設Ai∈Qm×n,Bi∈Qn×p,i=1,2,…,k,C∈Qm×p,則四元數矩陣方程(1)的最小二乘Toeplitz解為

其極小范數最小二乘Toeplitz解XT滿足:

(2)

式中

G′與G在引理3中已交待(其維數不同), 矩陣J如定理2 中所示.

證明由引理2、引理3和定理2 可得

則

y∈R4k(2n-1)

其極小范數最小二乘Toeplitz解XT滿足:

推論1設Ai∈Qm×n,Bi∈Qn×p,i=1,2,…,k,C∈Qm×p,四元數矩陣方程(1)有解的充要條件:

其通解為

y∈R4k(2n-1)

其極小范數Toeplitz解XT滿足:

證明

因此,

y∈R4k(2n-1)

其極小范數Toeplitz解XT滿足:

問題2設Ai∈Qm×n,Bi∈Qn×p,i=1,2,…,k,C∈Qm×p且

欲求XHT∈SHT,滿足:

稱XHT為四元數矩陣方程(1)的極小范數最小二乘Hermitian Toeplitz解.

定理4設X∈HTQn×n,記

則

其中

定理5設Xi∈HTQn×n,i=1,2,…,k,記

問題2與問題1的不同在于解的取值范圍是不同的,仿照定理3與推論1給出四元數矩陣方程(1)的最小二乘Hermitian Toeplitz解的結論.

定理6設Ai∈Qm×n,Bi∈Qn×p,i=1,2,…,k,C∈Qm×p,則四元數矩陣方程(1)的最小二乘Hermitian Toeplitz解為

其極小范數最小二乘Hermitian Toeplitz解XHT滿足:

(3)

推論2設Ai∈Qm×n,Bi∈Qn×p,i=1,2,…,k,C∈Qm×p,四元數矩陣方程(1)有解的充要條件是

其通解為

y∈R4kn

其極小范數Hermitian Toeplitz解XHT滿足:

3 數值實驗分析

算法

步驟1 輸入矩陣Ai∈Qm×n,Bi∈Qn×p,i=1,2,…,k,C∈Qm×p,G′,G,W[4np,4n2],J;

步驟2 計算

下面的算例驗證了該算法在求解四元數矩陣方程Toeplitz解時的精度和有效性.

算例1針對不同維數的四元數矩陣方程(1),檢驗上述算法的精度.取k=2,隨機生成四元數矩陣,

Ai=rand(m,n)+rand(m,n)i+ rand(m,n)j+rand(m,n)ki=1,2

Bi=rand(n,p)+rand(n,p)i+ rand(n,p)j+rand(n,p)ki=1,2

圖1 矩陣不同維數下的誤差ζFig.1 Errors ζ under different dimensions of matrix

4 結論

同時考慮矩陣的半張量積理論和四元數矩陣的實向量表示方法,構建了求解四元數矩陣方程的最小二乘Toeplitz解和Hermitian Toeplitz解的半張量積方法.針對解矩陣的特殊結構,提取有效消息去除冗余,降低了計算復雜度,提高了運算精度.這種方法可以推廣使用求解其它的四元數矩陣方程,是一種求解四元數矩陣方程特殊形式解的有效方法.