時標上的Clifford 值概周期函數與動力方程的Clifford值概周期解

趙莉莉

(云南大學 數學與統計學院,云南 昆明 650091)

0 引 言

神經網絡能夠從人腦的神經系統結構出發,研究大腦的工作機制,進而揭示人工智能的本質,它是在許多學科的基礎上發展起來的新興的、綜合性、交叉性很強的學科.自20世紀80年代初期,美國加州理工學院的優秀生物學家John J.Hopfield 博士,建立神經網絡的數學模型后,對實值神經網絡的研究進入了一個新的高潮時期,取得了大量的研究成果[1-5].雖然實值神經網絡在自動控制、模式識別、圖像處理、醫療衛生等領域得到廣泛應用,但也有其局限性,無法直接處理復數數據,因此,作為實值神經網絡的推廣,復值神經網絡應運而生,解決了一些實值神經網絡不能解決的問題[6],再次掀起了神經網絡研究熱潮,成為一個新的研究熱點.文獻[7]研究了一類具有時變時滯的復值神經網絡概周期解的存在性與穩定性.文獻[8]研究了多個復值神經網絡在脈沖耦合機制下形成復雜網絡系統的全局漸進同步問題.文獻[9]研究了一類具有不確定性和時滯的分數階復值神經網絡無源性問題.文獻[10]研究了一類具有時滯的分數階復值神經網絡的準一致同步問題.

因在處理幾何問題上的優勢,以及實際應用價值, Clifford值神經網絡已廣泛應用于自動化控制、計算機視覺、圖像與信號傳輸過程等領域之中,獲得了大量研究成果,成為又一個新的研究熱點.文獻[11]利用M矩陣的性質和微分不等式技巧,證明了一類帶有離散時滯和分布時滯的Clifford值遞歸神經網絡平衡點的存在性、唯一性,以及全局指數穩定性.文獻[12]基于Clifford代數,利用圖論方法和線性矩陣不等式方法, 對帶有隨機項的時滯耦合系統的穩定性和同步性進行了研究.研究時標上Clifford值神經網絡,一方面即能涵蓋連續型神經網絡的研究,還能涵蓋離散型神經網絡的研究; 另一方面,還能將實值神經網絡、復值神經網絡,以及四元數值神經網絡的研究有機地統一在一起.再考慮到,要想更精確地描述動力系統的動力學行為,其概周期解的存在性與穩定性起到了至關重要的作用, 因此,在時標上討論Clifford值神經網絡概周期解的存在性與穩定性,既有理論意義,又有應用價值.

不動點原理是探討微分系統各類解函數存在性的常用方法之一,為了更好地在時標上使用不動點原理,討論Clifford值神經網絡的概周期解的存在性,需要將時標上的概周期函數的值域推廣到Clifford代數空間、建立完備的Clifford值概周期函數空間, 以及構建時標上一階動力方程的Clifford值概周期解的存在性定理.

1 時標上Clifford值概周期函數的相關概念

定義1[13]設Τ是實數集的一個非空閉子集(時標).前躍算子、后躍算子,以及粗細度函數分別定義如下:

σ(t)=inf{s∈Τ:s>t},ρ(t)=sup{s∈Τ,s

t∈Τ稱作是左稠密的,是指t>infΤ,且ρ(t)=t;稱作是左分散的,是指ρ(t)t.

時標上的點有以下4種類型1) 即是右稠密點,還是左稠密點,這樣的點稱為時標的稠密點,此時有ρ(t)=t=σ(t); 2) 右稠密且左分散點,此時有ρ(t)

定義2[13]函數f:Τ→稱作是回歸的,是指對于所有的t∈Τk,有1+μ(t)f(t)≠0.

函數g:Τ→稱作是右稠密連續的,是指g在時標Τ的右稠密點上連續,在左稠密點上左極限存在.時標上全體回歸的右稠密連續函數構成的集合記為R=R(Τ,).令

R+=R+(Τ,)={r∈R,1+μ(t)r(t)>0,?t∈Τ}.

定義3[13]如果r是一個回歸函數,則時標上的指數函數er定義如下

其中

從定義3可以得到:其一,當a是一個正常數,且-a∈R+時,由ξμ(τ)(-a)是一個負值函數可得,時標上的指數函數e-a(t,s)關于第一個變元t單調遞減,關于第二變元s單調遞增; 其二,當r∈R+時,由ξμ(τ)(r(τ))關于r單調遞增可得,當t,s是時標上的固定點時,時標上的指數函數er(t,s)關于r單調遞增.

定義4[14]稱時標Τ是周期時標,是指

Π:={τ∈:t±τ∈Τ,?t∈Τ}≠{0}.

從定義4可以看出: 其一,Π關于實數的加法是封閉的,且Π的本身也是實數集的閉子集,是一個時標; 其二,在周期時標上,由前躍算子的定義可得:σ(t+τ)=σ(t)+τ,?t∈Τ,?τ∈Π; 其三,粗細度函數是周期時標上的周期函數,Π中的每一個元素都是它的周期,從而當a是一個正常數且-a∈R+時,ξμ(τ)(-a)也是一個以Π中每一個元素為周期的周期函數,故

e-a(t+τ,s+τ)=e-a(t,s),?t,s∈Τ,τ∈Π.

定義5[15-17]g維歐幾里德空間g上的實值Clifford代數,定義如下

其中eA=es1es2…esv,A={s1,s2,…,sv},1≤s1

在下文中,用Crd(Τ,Αn)表示從時標Τ到n維Clifford代數空間Αn的全體右稠密連續函數構成的集合.

定義6設Τ是周期時標,且Τ∩Π≠?.函數f∈Crd(Τ,Αn)稱作是Clifford值概周期函數,如果,f的ε-移位數集

E(f,ε)={τ∈Π:‖f(t+τ)-f(t)‖Αn<ε, ?t∈Τ}

對于每一ε>0,都在時標Τ上稠密.即,對于任意給定的ε>0,存在l=l(ε)∈(0,+∞)∩Π,使得時標上每一個以l(ε)為長度的區間中,都至少存在一點τ∈Π,使得 ‖f(t+τ)-f(t)‖Αn<ε,?ε>0.

時標取為實數集時,定義在時標上的右稠密連續函數,就是實數集上的連續函數; 而定義在整數集上的任意函數都是連續的,當然也是右稠密連續的,所以,定義6是實變量概周期函數以及概周期序列概念的合理推廣.

時標上全體Clifford值概周期函數構成的集合,記為AP(Τ,Αn).

2 時標上Clifford值概周期函數的相關性質

定理1如果f∈AP(Τ,Αn),則f在時標Τ上有界,且是一致右稠密連續.

證對于一個給定的ε≤1,存在l=l(ε)∈(0,+∞)∩Π,使得時標上每一個以l(ε)為長度的區間中,至少存在一點τ∈Π,滿足

‖f(t+τ)-f(t)‖Αn<ε≤1, ?t∈Τ.

(1)

τ∈(E(f,ε)∩[t-t0,t-t0+l(ε)]∩Τ).

則t-τ∈[t0-l(ε),t0]∩Τ.因此,‖f(t-τ)‖Αn

在時標中任取2個右稠密點u,t,滿足|u-t|<δ.取

則

故‖f(t)-f(u)‖Αn≤‖f(t)-f(t-τ)‖Αn+‖f(t-τ)-f(u-τ)‖Αn+‖f(u)-f(u-τ)‖Αn<ε,即函數在時標上一致右稠密連續.

定理2如果f∈AP(Τ,Αn),則對于任意的ε>0,存在一個正常數l=l(ε)∈Π,使得對于每一個a∈Τ,都存在η∈(0,+∞)∩Π,以及α∈Τ,滿足([α,α+η]∩Τ)?([a,a+l]∩Τ),以及([α,α+η]∩Τ)?E(f,ε).

從而,令α=τ-η0,η=2η0后,可得([α,α+η]∩Τ)?([a,a+L]∩Τ),以及

([α,α+η]∩Τ)?E(f,ε).

定理3f,g∈AP(Τ,Αn),則對于任意的ε>0,E(f,ε)∩E(g,ε)是時標中非空的相對稠密集.

由定義6與定理2,設η=η(ε)是周期時標Τ的最小正周期,則可取

Li=li+η(i=1,2),L=max{L1,L2}.

τ1=mη∈([a,a+L1]∩Τ)?([a,a+L]∩Τ),

本研究以離子液體為反應介質，通過在溶解的纖維素溶液中加入氯乙酰胺和四氧化三鐵，制備磁性纖維素。紅外、掃描電鏡和透射電鏡等表征結果表明，氯乙酰胺及Fe3O4均成功負載于纖維素上。所制得的磁性纖維素具備鮮明的層狀結構和磁性性能，這有利與提高對亞甲基藍的吸附能力。

τ2=nη∈([a,a+L2]∩Τ)?([a,a+L]∩Τ),

τ∈([a,a+L+2Υ]∩Τ).

對于任意的t∈Τ,有

即時標上每一個以L+2Υ為長度的區間中,都至少存在一點τ∈E(f,ε)∩E(g,ε).也就是E(f,ε)∩E(g,ε)是時標中的非空稠密集.

對于任意的t∈Τ,有

‖f(t+τ)+g(t+τ)-f(t)-g(t)‖Αn≤‖f(t+τ)-f(t)‖Αn+‖g(t+τ)-g(t)‖Αn<ε,

即,τ∈E(f+g,ε), 再由a的任意性,f+g∈AP(Τ,Αn).

根據定理1,概周期函數f,g均在時標Τ上有界.令

即,τ∈E(fg,ε),再由a的任意性,fg∈AP(Τ,Αn).

3 時標上Clifford值概周期函數空間

證設{fm}是Crd(Τ,Αn)中任意一個柯西序列,即,對任意給定的ε>0,存在正整數N,當m,s>N時,有

‖fm(t)-fs(t)‖Αn<ε,?t∈Τ.

(2)

因為,對于每一個t∈Τ,{fm(t)}是Αn中的一個柯西序列,而(Αn,‖·‖Αn)是一個Banach空間,所以存在f(t), 使得fm(t)→f(t)(m→∞).因此,在(2)式中,令s→+∞, 可得

‖fm(t)-f(t)‖Αn<ε, ?t∈Τ.

特別地,有

‖fN+1(t)-f(t)‖Αn<ε, ?t∈T.

對于任意給定的ε>0,以及t0∈Τ,由fN+1∈Crd(Τ,Αn),有以下兩種情形.

情形1如果t0是右稠密點,則存在δ=δ(t0)∈(0,+∞)∩Π,使得當t∈(t0-δ(t0),t0+δ(t0))∩Τ時,有‖fN+1(t)-fN+1(t0)‖Αn<ε,故

‖f(t)-f(t0)‖Αn≤‖f(t)-fN+1(t)‖Αn+‖fN+1(t)-fN+1(t0)‖Αn+
‖fN+1(t0)-f(t0)‖Αn<3ε.

(3)

‖f(t)-a‖Αn≤‖f(t)-fmk(t)‖Αn+‖fmk(t)-amk‖Αn+‖amk-a‖Αn<3ε.

(4)

從(3)與(4)式,可得f∈Crd(Τ,Αn).即Crd(Τ,Αn)賦予了上確界范數后構成一個Banach空間.

證對于任意的ε>0, 存在充分大的正整數m0,使得對于所有的t∈Τ,有

‖f(t+τ)-f(t)‖Αn≤‖f(t+τ)-fm0(t+τ)‖Αn+‖fm0(t+τ)-fm0(t)‖Αn+
‖fm0(t)-f(t)‖Αn<ε,

即τ∈E(f,ε),再由a的任意性,f∈AP(Τ,Αn).

定理7(AP(Τ,Αn),‖·‖∞)是一個Banach空間.

證根據定理6,AP(Τ,Αn)賦予了上確界范數后是(Crd(Τ,Αn),‖·‖∞)的閉子空間,又由定理5,(Crd(Τ,Αn),‖·‖∞)是一個Banach空間,故(AP(Τ,Αn),‖·‖∞)是一個Banach空間.

4 時標上一階動力方程Clifford值概周期解的存在性

引理1[18]設fi∈AP(Τ,Xi),其中每一個Xi(i=1,2,…,n)都是一個Banach空間,則對于每一個ε>0,所有函數f1,f2,…,fn具有一個公共的ε-概周期.

引理2設Τ是一個周期時標.如果存在-a∈R+,t,s∈Τ,r∈Π,則

證由(e-a(t,s))Δ=-a(t)e-a(t,s),可以得到

(e-a(t+τ,σ(s+τ)))Δ+a(t)e-a(t+τ,σ(s+τ))=

(a(t)-a(t+τ))e-a(t+τ,σ(s+τ)).

(5)

(5)式兩邊同乘e-a(σ(s),σ(t)),再沿著時標·上的區間[σ(s),t]∩Τ積分后,可得

注意到[ep(c,·)]Δ=-p[ep(c,·)]σ,再考慮到Τ是周期時標,σ(t+τ)=σ(t)+τ, 有

(6)

(6)式兩邊同乘e-a(t,σ(s))后,可得

定理8設Τ是一個周期時標,且Τ≠Π.如果f(t)∈AP(Τ,Αn),a(t)∈AP(Τ,+),且則一階動力方程xΔ(t)=-a(t)x(t)+f(t),?t∈Τ,一定存在Clifford值概周期解.

|a(t+τ)-a(t)|<ε, ‖f(t+τ)-f(t)‖Αn<ε, ?t∈Τ.

因此,由引理2可得

即x(t)∈AP(Τ,Αn).

5 結 語

本文主要探討時標上Clifford值概周期函數的相關性質,以及一階動力方程Clifford值概周期解的存在性.在第1節中,將時標上概周期函數的值域推廣到了Clifford值代數空間,并且將現有文獻中,要求時標上的概周期函數,首先應是時標上的連續函數,減弱為時標上的右稠密連續函數,拓展了時標上Clifford值概周期函數的應用空間.第2節主要獲得時標上Clifford值概周期函數的有界性、一致右稠密連續性,以及關于函數加法、乘法的封閉性.第3節證明了時標上Clifford值概周期函數空間的完備性.在第4節中,利用時標上Clifford值概周期函數的相關性質,得到一階動力方程Clifford值概周期解的存在性定理.

以本文的結論作為理論基礎,使用不動點原理,可以探討時標上任意Clifford值神經網絡概周期解的存在性.第2節中的相關結論,可以用來考察Clifford值神經網絡的非齊次項部分是否概周期函數.而第4節中的主要結論,可以用來構造時標上Clifford值概周期函數空間上的自反映射,若該映射還是壓縮映射,則由第3節中證明的時標上Clifford值概周期函數空間的完備性,使用不動點定理,可以得到Clifford值神經網絡概周期解的存在性.