三類數學軟件在中學物理教學中的應用及對比研究

王伶俐

上海市浦東復旦附中分校，上海 200120

教育部頒布的《教育信息化2.0 行動計劃》［1］和《普通高中物理課程標準（2017 年版2020 年修訂）》［2］，都明確了將現代信息技術融入到教育改革的重要性。當前，現代教育技術正不斷滲透到物理教學中。然而，目前的研究大多集中于某個特定軟件在特定教學問題上的應用［3-4］。隨著研究的深入發展，可應用于物理教學的數學軟件越來越多，相關案例也越來越繁雜。同時，盡管數學軟件在物理教學中的研究日益深入，但從事這一領域研究的一線物理教師卻很少。面對眾多可供選擇的數學軟件，大多數尚未參與此類研究的一線物理教師可能由于不了解各個軟件的特點而感到手足無措，難以作出正確的選擇。根據應用于物理教學中的數學軟件所具備的能力、面向的場景和使用的難易程度，可將其分為通用數據處理軟件、面向基礎教育者的動態數學軟件和面向科研工作者的專業數學軟件。

本文對這三類數學軟件在中學物理教學中的應用現狀和軟件特點進行了對比分析，旨在幫助物理教師全面了解與物理教學相融合的數學軟件，進而在此基礎上選擇適應教學內容的數學軟件。

1 通用數據處理軟件

Excel 和Origin 是兩款在管理、統計財經、金融、教育等眾多領域中得到廣泛應用的數據處理軟件，它們具有較強的數據分析和繪圖功能，且都不需要編程，簡單易學。其中，Excel 的操作更容易且應用更廣泛。目前，國內將Excel 用于物理教學的研究中，按其實現的功能可以分為三類，如圖1 所示。第一類是處理實驗數據，在獲得實驗數據的前提下，繪制實驗圖像和擬合函數，得到可視化的實驗結果及物理量的具體關系式。最后，把可視化結果應用在“測定電源電動勢和內阻”“探究一定質量氣體等溫變化時壓強與體積的關系”等實驗中［5］。與傳統的人工數據處理和人工作圖法相比，借助Excel 軟件的數據處理和作圖效率更高且更準確。第二類是繪制函數圖像，可應用于“等量同種或異種點電荷中垂線的電場分布［6］”“分壓電路中滑動變阻器的選擇［7］”“直流閉合電路輸出功率的動態分析［8］”等物理問題中。通過理論分析，可以得到這些物理問題中物理量的關系式，但函數關系式比較復雜，超出了中學生的數學水平，無法直接畫出函數圖像?？刹捎妹椟c法，先賦予自變量一系列的初始值，再利用Excel 的數據計算功能，生成小樣本的結果，進而繪制函數圖像。第三類是用“Excel VBA語言”編程實現動態模擬。例如，用此功能研究“簡諧波的疊加［6］”和驗證“勻變速直線運動的位移與時間的關系［9］”等。用“Excel VBA 語言”編程可實現超出Excel 本身菜單欄的拓展功能，但需要用戶在熟練掌握Excel 的基礎上，具備一定的編程能力。這方面的研究仍比較欠缺，有待廣大教育工作者繼續探索。

圖1 Excel 在中學物理教學中的應用

Origin 是一款科學繪圖、數據分析軟件，其入門難易程度與Excel 相近，均不需要編程基礎，對初學者非常友好。知網搜索表明，Origin 應用于物理教學的功能與Excel 的重合度較高。從實驗數據作圖、擬合數據和繪制函數圖像三方面進行比較，結果如表1 所示。Excel 和Origin 均可方便、快捷地對實驗數據作圖。在擬合曲線方面，Excel 只有指數、線性、對數、多項式、冪等數種函數表達形式可選，而Origin 擬合時可自定義函數類型，靈活性更高、適用范圍更廣。在繪制函數圖像方面，Excel 可利用描點法生成數據后再作圖，而Origin 可直接利用函數功能作圖，操作步驟更簡單。同時，Origin 的作圖功能更加強大，能繪制三維立體圖，圖表樣式更多，模板更豐富，繪圖更美觀。美中不足的是，Origin 的操作難度相對Excel稍有上升，且為付費軟件，使用成本也比Excel更高。

表1 Excel 和Origin 的功能比較

2 面向基礎教育者的動態數學軟件

幾何畫板和GeoGebra 都是面向基礎教育者的動態數學軟件，均可以實現數形結合和動態展示，表2 從開發時間、開發國家、最近更新時間、是否免費、軟件運行環境等進行了比較。由對比結果可知，幾何畫板的開發時間雖然比GeoGebra早10 年，但近年來發展遲緩，已停止更新超十年。而GeoGebra 更新迭代的速度非?？?，更新周期以天為計量單位。另外，GeoGebra 是免費的開源軟件，可在iOS，Android，Windows，Mac，Chromebook，Linux 等多種系統中運行。幾何畫板是收費的商業軟件，只支持在Windows 系統中使用。綜上，GeoGebra 免費易得、運行環境豐富且功能持續更新，廣受國內外物理教育工作者歡迎。

表2 幾何畫板和GeoGebra 的基本信息對比

截至2023 年2 月，在知網中分別對幾何畫板和GeoGebra 在中學物理中的應用進行文獻檢索，得到文獻數量隨年份的變化曲線（圖2）?？梢钥闯?，2019 年至2022 年間，幾何畫板的相關文獻每年在5 篇左右，相對平穩；而GeoGebra 的相關研究文獻從6 篇增至27 篇，增速迅猛。這表明近年來國內越來越多的物理教育工作者關注到GeoGebra 軟件，其對物理教學起著越來越大的輔助作用。

圖2 幾何畫板和GeoGebra 發文總趨勢圖

通過文獻梳理，對GeoGebra 在中學物理中的主要應用實例進行了分類統計，結果如表3 所示。表中的“繪圖功能”包括兩部分，一是指獲得物理量的理論解后，利用GeoGebra 繪制圖像；二是已知物理問題中一些物理量的幾何關系，通過GeoGebra 的幾何功能繪制示意圖［10］。由于某些物理問題涉及物理量在一段時間內的變化，故會出現動態過程圖像。在一些文獻中，動態圖像的繪制被稱為“動態模擬”［11］。在這里，自變量為時間的函數的繪制也包含在“繪圖功能”中?！皵抵的M功能”是指在物理建模后、求出解析解之前，使用計算機求解方程近似的數值解，來模擬實際物理場景?！皩嶒灁祿幚砉δ堋笔侵父鶕嶒灁祿L制圖像，進行曲線擬合的功能。

表3 GeoGebra 在中學物理中主要應用實例統計

對三類功能相關的文獻進行數據統計，如圖3 所示。在中學物理中，GeoGebra 主要應用于運動學、力學、光學、電磁學和熱學，最主要的功能體現在繪制圖像方面，占91.3%。在繪制圖像方面，主要用于三種物理情境，一是已獲得物理量理論解，但解析式較為復雜，如電源輸出功率與外電阻的關系［12］；二是物理問題涉及三維空間，利用GeoGebra 的3D 視圖可以得到清晰明了的可視化結果，如振動和波的疊加、光的干涉、電場線與等勢面的描繪和理想氣體的三維圖像等［13］；三是通過GeoGebra的幾何功能繪制示意圖，如動態平衡分析、天體運行的軌跡和帶電粒子在電磁場中的運動等。

關于GeoGebra 在中學物理中的“數值模擬功能”和“實驗數據處理功能”的實例較少。2020年，云南師范大學金惠吉等利用歐拉法模擬了示波器中帶電粒子的運動［14］。后來，又有學者模擬了運動學中較為復雜的運動，如彈簧擺［15］、天體運行［16］等。

3 面向科研工作者的專業數學軟件

Maple，Mathematica，Matlab 和Mathcad 是面向科研工作者的四大專業數學軟件。梳理國內的相關文獻，發現這四大軟件應用于大學物理領域的研究遠多于應用于中學物理。其中，應用于中學物理研究的發文趨勢如圖4 所示?？梢钥闯?，Matlab 的發文數量明顯多于其他三款軟件。

圖4 Maple，Mathematica，Matlab 和Mathcad 軟件的發文總趨勢圖

Matlab 在中學物理中的應用實例統計如表4 所示，與表3 對比后發現，它與GeoGebra 的主要應用實例有較多重合。值得注意的是，2013 年蔡亮利用Matlab 定量研究了機車的恒定功率啟動問題［17］，在數值模擬方面比GeoGebra 的首次模擬要早。在實驗數據處理方面，Matlab 在中學物理中的應用很少，但在大學物理中較多。例如，弗蘭克－赫茲實驗［18］、剛體轉動慣量實驗［19］和霍爾效應實驗數據處理［20］等。除繪圖、數值模擬和實驗數據處理三種功能外，Matlab 還可用于符號運算，具體實例有滑塊運動、小球碰撞、透鏡成像和等效電阻等。

表4 Matlab 在中學物理中主要應用實例統計

4 三類軟件的對比

三類軟件的功能，由強至弱依次為專業數學軟件、動態數學軟件和一般數據處理軟件；可操作性由難至易也是上述排序。下面，從繪圖、數值模擬、實驗數據處理和符號計算功能方面，對三類軟件進行對比，結果如表5 所示。

表5 三類軟件的功能對比

5 總 結

分析了三類數學軟件的特點及其在中學物理教學中的應用現狀，對數學軟件在中學物理教學中的應用給出如下建議：

（1）在中學物理教學中，優先采用Excel 和Origin 等通用數據處理軟件來處理實驗數據。中學物理實驗數據樣本小且變量的關系較為簡單，Excel 和Origin 等一般數據處理軟件可以滿足絕大部分需求。

（2）在中學物理教學中，優先采用如GeoGebra的動態數學軟件進行繪圖（包括函數圖像和示意圖）。中學物理中的物理量的函數關系大多為初等函數，可以通過GeoGebra 輸入相應的指令直接生成圖像，比Excel 和Matlab 的操作更為方便。而且，GeoGebra 可根據幾何關系直接作圖，明顯優于Excel 和Matlab。

（3）在物理競賽和大學先導課等拓展類課程中，物理模型往往涉及偏微分方程等復雜的數學方程，可利用Matlab 的數值計算功能得到近似解，幫助學生理解真實的物理過程。

（4）可利用專業數學軟件的符號計算功能求解物理方程，獲得理論解析解。一方面，可利用理論解進行對比演算。另一方面，能將學生從繁瑣的數學運算中解放出來，將重心放到物理建模過程上。

（5）可考慮將專業數學軟件的數值模擬和符號計算等功能與GeoGebra 的繪圖功能結合起來，充分發揮這兩款軟件的優勢。