高分辨率遙感小衛星微振動全鏈路集成建模與驗證

段勝文，鐘 興，陳善搏*，張 冰，韓霜雪，張 雷,2,3，趙相禹,2,3

（1.長光衛星技術股份有限公司，長春 130032； 2.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，長春 130032；3.中國科學院大學，北京 100049）

0 引言

隨著空間遙感技術的快速發展，高分辨率、高指向精度、高姿態穩定度的遙感衛星成為空間探測、地理測繪、目標監測的重要載體和實現手段?？臻g載荷，如高分辨率相機[1]、激光傳感器[2]、高精度探測器[3]等，其性能的對其所處工作環境要求極高，對微振動環境尤為敏感[4]。對于高分辨率遙感衛星，振源產生的寬頻域、小幅值擾振會引起衛星相機傳遞函數下降，從而造成圖像質量下降[5]。

從系統的角度考慮，衛星圖像扭曲是振源對衛星光學、控制、結構等系統綜合作用的結果。目前國外多采用集成建模分析方法開展微振動分析，即應用不同學科工具建立微振動數學和物理模型，研究振源作用下各系統獨立響應過程，最終得到其微振動傳遞規律[6]。國外已知的大型空間望遠鏡都開展了集成設計與驗證工作，如ESA 研制的超大口徑望遠鏡（Thirty-Meter Telescope, TMT）、超大望遠鏡干涉儀（Very Large Telescope Interferometer,VLTI）[7]和下一代太空望遠鏡NGST[8]，以及NASA的Origins Plan 項目[9]，均建立了綜合集成分析系統并取得成功應用。已公開的資料顯示，國外針對航天器的微振動研究主要集中在主動隔振系統對各類振顫抑制作用方面[10-11]。

近二三十年來，我國針對遙感衛星的微振動研究取得了一定進展。文獻[12]中考慮飛輪轉子軸承非線性因素，推導了多干擾源輸入飛輪的解析動力學模型，可應用該模型對光學系統進行微振動行為預測。葛東明等[13]提出一種結構運動與姿態控制閉環的時域建模方法，可以較好地解決姿態“漂移”問題，計算系統時域穩態響應，但尚未闡述飛輪轉速特性對系統穩態響應的影響。李林等[14]通過建立飛輪與衛星動力學模型，給出相機光軸晃動的仿真值，但沒有進行相機光軸角位移與焦面成像像移的定量評價。文獻[15-16]中建立了黏彈性材料傳力路徑下的動力學分析簡化模型，計算飛輪隔振平臺的動力學響應，以力的傳遞率為評價指標，但未明確給出評價指標與系統抑制能力的關系。劉瑞婧等[17]提取相機光學系統視軸敏感的關鍵模態信息，開展了遙感成像試驗，并評估微振動設計的合理性。龐世偉等[18]對微振動集成技術進行深入研究，給出了微振動集成建模與綜合評估技術的框架。關新等[19]提出采取相機隔振與控制律一體化設計方案，實現隔振性能和控制性能兼備的系統方案。文獻[20-22]建立了飛輪擾振動力學模型，分析飛輪諧波和結構擾振對光學系統的影響，并給出擾振對相機調制傳遞函數影響的定量結果；該方法從理論上給出了光學系統像移量與飛輪擾振的關系，但沒有考慮擾振對控制系統的影響。文獻[23]建立多系統仿真模型并給出模型之間數據交換方法；從時域角度分析了微振動對光軸的影響，但沒有給出微振動指標的定量評價，結果不夠直觀。文獻[24]分析了飛輪擾振力作用下有限元模型的動力學響應，對引起衛星微振動因素的考慮較單一。李青等[25]構建了載荷-本體隔振界面的航天器微振動集成動力學與控制模型，評價隔振前后航天器的姿態穩定度和姿態精度，得到微振動抑制結果。文獻[26]建立飛輪與平臺耦合振動力學模型，比較系統輸出力并計算平臺傳遞性能，但隔振系統是否會影響飛輪姿態控制轉矩的正常輸出尚未得到研究和闡明。

與國外研究相比，我國微振動研究多從衛星結構動力學響應、相機成像質量指標評價以及控制閉環的問題分析等分立角度出發，有關研究方法和結果不足以支撐系統級的建模分析；并且在公開文獻中少見對整星級集成分析建模的實際工程應用案例，相關分析模型中缺少整星級隔振系統的建模，尚無從振源到光學系統像移的完整傳遞鏈路建模研究。為了在衛星設計早期階段全面、定量分析飛輪擾振引起衛星圖像抖動的原因，本文以“吉林一號”星座中的“高分04A”高分辨率商業遙感衛星為應用背景，建立時間延遲積分線陣體制的電荷耦合元件 （time delay and integration - charge coupled device,TDI-CCD）遙感衛星的光學-姿控-結構全鏈路集成分析模型。在飛輪余弦諧波擾振作用下，該模型可在全頻域范圍定量評估飛輪各典型轉速對衛星振動、控制和光學系統的作用，準確評估隔振系統傳遞特性；給出相機光軸運動與像移的轉換公式，通過建模計算得出像移值。最后通過地面及在軌成像試驗對模型計算結果進行校驗。

1 衛星振源特性及隔振模型

1.1 飛輪擾振特性分析

遙感衛星在軌成像期間，飛輪作為星上主要姿態控制執行部件會產生寬頻域、小幅值的擾振，其對衛星的微振動激勵隨轉子轉速變化。飛輪本身由于內部轉子動靜不平衡會導致一次倍頻諧波；同時，由于軸承缺陷等問題亦會出現超、次諧波共振。忽略軸承油脂潤滑、軸承剛度的非線性作用，飛輪擾振力/力矩可統一描述為[20]

式中：Xj(t)為坐標系六自由度擾振幅值；X1(t)～X6(t)依次代表x、y、z方向的擾振力/力矩Fx、Fy、Fz、Mx、My、Mz；Ω為飛輪轉速；Cij對應各諧波幅值系數；hij為對應諧波因子；φ0j為初始相位。

某型飛輪的典型轉速-頻率-擾振幅值分布如圖1 所示，其中：x、y向為飛輪橫向，z向飛輪軸向。由圖可見，飛輪擾振在0～50 Hz 頻率范圍主要體現為一倍頻（即擾振頻率與飛輪轉頻相等）特性。圖中還包括從原點出發且呈放射狀分布的諧波，在50～500 Hz 頻率范圍，存在飛輪結構模態放大等與轉速無關的共振現象；測試飛輪擾振力幅值可達到0.125 N（頻率58.19 Hz 處）、0.845 N（頻率402.4 Hz處）、1.286 N（頻率407.4 Hz 處）、0.453 N（頻率483.1 Hz 處），擾振力矩幅值可達到0.018 N·m（頻率58.19 Hz 處），0.077 N·m（頻率483.1 Hz 處），0.039 N·m（頻率384.6 Hz 處）。飛輪轉速-頻率-擾振幅值分布體現軸系及飛輪裝配體的力學特性，可為衛星動力學計算和有限元數值分析、飛輪姿態穩定度計算提供輸入條件。

圖1 飛輪三方向擾振瀑布圖Fig.1 Waterfall plot of flywheel force and moment disturbances in three directions

1.2 衛星隔振系統建模

衛星上常采用黏彈性隔振器來降低微振動響應過大的問題[27-29]。在振源飛輪端和載荷相機端同時安裝隔振器形成兩級隔振系統（如圖2 所示）。建立小尺寸衛星模型時，把飛輪、衛星平臺、相機載荷作為各自獨立的整體；衛星、相機、飛輪三者質心距離較近（相機、飛輪質心分別與衛星質心的距離同衛星z向高度之比＜1/10，兩者的質心與衛星質心在x、y向近似重合）。相機隔振器在衛星z向均布安裝。因此，在衛星三個方向上，振源及相機隔振器均處在衛星質心附近，三個方向耦合度較小，可近似獨立建模。

圖2 星上兩級隔振系統Fig.2 Two-stage vibration isolation system of satellite

對于整星z向，衛星等效為由獨立隔振器連接的隔振系統，系統的運動方程為

式中：m1、m2和m3分別為飛輪、衛星平臺和相機的質量；x1、x2和x3分別為飛輪、衛星平臺和相機在飛輪擾動下的位移；k12和c12分別為飛輪與衛星之間的相對剛度和阻尼系數；k23和c23分別為衛星平臺與相機之間的相對剛度和阻尼系數；F1為飛輪轉動體輸出擾振的疊加，作用在飛輪本體上；F2為經過減振器1 后傳遞到衛星平臺上的擾振力/力矩；F3為經過減振器2 后傳遞到相機上的擾振力/力矩。系統簡化模型如圖3 所示。

圖3 兩級隔振系統動力學模型Fig.3 Dynamics model of two-stage vibration isolation system

式 中：β為 質 量 比，β=m2/m1；λ為 質 量 系 數，λ=(1+β)/(2+β) ；δ為對數衰減率，e為頻率比，e=ω/n1。

在兩級隔振系統中，k12(c12)-m2-k23(c23)代表了兩級隔振和衛星平臺質量系統m2組成的中間部分。由式(4)可知，由于慣性力與彈性元件k12和k23產生的相互作用，傳遞率以激振力頻率的4 次方衰減，而對單級隔振系統來說，傳遞率只以激振力頻率的2 次方衰減，故而隔振器在激振力頻率超過系統固有頻率以后，具有更高的隔振效率。

以“吉林一號”星座中的“高分04A”高分辨率商業遙感衛星為例。衛星質量為90 kg，其中m1=1.5 kg，m2=43.5 kg，m3=45 kg。將衛星參數代入式(4)，可得到兩種隔振系統傳遞率的對比結果，如圖4所示。當m2趨向于0 時，兩級隔振系統趨向于單級隔振系統。由1.1 節可知，飛輪擾振主要集中在40～58 Hz、135～249 Hz 和384～483 Hz 頻率范圍。相機前三階固有頻率分別為103 Hz、108 Hz和120 Hz。為隔離飛輪擾振頻率區間，避免固有頻率與相機頻率的耦合作用，將整星三向基頻設計為28 Hz（x向）、29 Hz（y向）和86 Hz（z向）。相機隔振器隔振頻率分別為39 Hz（x、y向）和118 Hz（z向），飛輪隔振器隔振頻率為25 Hz（x、y向）和80 Hz（z向），避開由兩級隔振系統在40～58 Hz 引入的共振放大效應，同時在135～483 Hz 高頻段起到更好的隔振效果。衛星對飛輪擾振的抑制能力最終通過集成分析模型驗證。

圖4 兩級隔振系統絕對傳遞率計算Fig.4 Calculation of absolute transfer-rate of two-stage vibration isolation system

2 衛星結構、姿態學及光學建模

2.1 衛星結構模型

衛星結構由金屬結構件、復合材料件經過螺釘裝配而成，構成多自由度系統。飛輪安裝在結構平臺上，其產生的擾振力/力矩通過結構系統傳遞到相機焦面處，從而引起像移。通過計算從飛輪安裝點到相機光路各鏡體的位移響應，可在集成模型中將響應位移轉換為像移。多自由度彈性阻尼系統的振動微分方程為

式中：M為包含飛輪、結構平臺和相機的衛星總體質量矩陣；C為衛星總體阻尼矩陣；K為衛星總體剛度陣；f(t)為形如式(1)中描述的飛輪擾振力/力矩。其中C采用Rayleigh 黏性比例阻尼模型便于解耦。通過拉普拉斯變換，并取s=jω，得到頻響函數矩陣

利用模態變換，取位移頻響函數的模態展開式

式中：mi、ci和ki分別為第i階模態質量陣、比例模態阻尼陣和模態剛度陣。

相機鏡體質心處的某自由度位移頻響為

式中：k=1,2,···,6 為自由度編號；H(d,k)(ω)是從飛輪安裝點到鏡體在k自由度上的位移頻響函數；Fjk(ω)為飛輪在安裝點k自由度上的擾振力。于是得到編號j的擾振力/力矩在各自由度上的時域位移響應

2.2 擾動力矩作用下姿態控制系統簡化模型

在成像期間，衛星姿態為三軸對日穩定狀態。衛星控制器的設計中實際上還包含了耦合力矩項，由于與衛星三軸運動的耦合力矩相抵消，控制系統最終變為各個軸解耦的形式，此時每個方向的控制參數根據該軸的主慣性矩大小確定。

建立在飛輪擾振力矩作用下的衛星姿態控制系統理論簡化模型。按照式(1)給出的擾振模型，計算衛星在擾動作用下的姿態角穩態誤差值?？刂葡到y框圖如圖5 所示，其中系統輸入為衛星姿態角指令（期望值），輸出為衛星實際姿態角。

圖5 衛星控制系統框圖Fig.5 Block diagram of satellite control system

比例微分控制器G1(s)=KP+KDs， 其中：KP為比例系數；KD為微分系數；s為拉普拉斯算子。將飛輪視為二階系統，其中：ωn為系統固有頻率； ξ為控制系統阻尼比。衛星本體G3(s)=1Ibs2，其中Ib為衛星轉動慣量。此處只分析飛輪對姿態的影響，忽略光纖陀螺、星敏等姿態測量傳感器誤差，即認為H(s)=1。將飛輪擾振視為正弦函數n(t)=Knsin(ωt) ， 其中：Kn為飛輪擾振力矩幅值； ω為擾振頻率；t為時間。其拉普拉斯變換為

令期望值R(s)=0，Cn(s)為輸出姿態角，則有誤差信號

其中，系統對擾振作用的誤差傳遞函數為

將各個傳遞函數的表達式代入式(11)中，得到

時域穩態誤差為

根據時域穩態誤差公式，計算獲得衛星在飛輪擾振力矩作用下的穩態姿態角，并進行數值差分，求得對應穩定狀態的姿態角速度。

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將表1 中衛星質量特性參數和控制器參數代入式(14)，選取圖1 中x、y、z三向飛輪擾振力矩的較大值及對應頻率，將低頻0.001 33 N·m（頻率16.69 Hz 處）、中頻0.018 N·m（頻率58.19 Hz 處）、高頻0.077 N·m（頻率483.10 Hz 處）代入到控制系統，計算得到衛星在軌姿態角穩態誤差及姿態角速度穩態誤差。由圖6 可知，當衛星處于常規推掃模式下，衛星姿態角穩態誤差＜4.5×10-6rad，姿態角速度穩態誤差＜7.5×10-6rad/s。

表1 飛輪及衛星參數表Table 1 Table of the flywheel and the satellite parameters

圖6 典型擾振力矩作用下在軌衛星姿態穩態誤差計算結果Fig.6 Calculation results of attitude steady-state error of onorbit satellite under typical disturbance moment

TDI-CCD 相機的成像過程采用逐級積分形式，獲得目標總體灰度值圖像為探測器各行灰度值疊加之和[30]。衛星在軌成像時，飛輪微振動造成衛星姿態在其理想位置附近微小擺動，引起相機光軸晃動。假定衛星俯仰角速度、滾動角速度及偏航角速度等3 個方向的姿態穩定度為同一數值 θ′，取焦面法線與視軸重合且平行于整星坐標系z軸（偏航軸）、積分方向與整星坐標系x軸（滾動軸）平行的一片CCD 計算，

式中：dTDI為像元尺寸；f′為光學系統焦距；dpitch和dyaw分別為俯仰和偏航方向擾振力矩產生的像素偏移；dall為由姿態變化產生的總像素偏移。

將相機參數和計算所得衛星姿態穩定度最大值7.5×10-6rad/s 代入式(15)，可得像素偏移值＜0.03 px。

2.3 光學系統模型

衛星姿控系統產生的微小抖動會導致光學系統各部組件產生微小剛體位移，從而偏離光學設計理想位置，引起光學成像模糊、扭曲，進一步導致像質變差。在進行微振動分析時，將光學系統沿光軸入射的均勻光線展開成以各剛性件自由度為自變量的Taylor 級數形式，即

式中：L(Δu)為相機受到擾振作用時，一組光線經過光學系統中各鏡面后達到焦面的光程；j為組件編號； Δu為 光學組件在各自由度上的位移； ?L/?uj為光學組件在其各自由度上產生單位位移時光程的變化。

式中： ΔPcx為微振動引起的焦面Ofpxfp像移值；ΔPcy為 微 振 動 引 起 的 焦 面Ofpyfp像 移 值； ΔTj和ΔRj/分別為光/學組件的平動位移和轉動位移；?Lx?Tj和?Ly?Tj為光學組件平動放大系數；?Lx/?Rj和 ?Ly/?Rj為光學組件轉動放大系數。

圖7 為反射鏡等光學組件受到擾動激勵產生位移示意圖。使用鏡面上3 點組成平面代替鏡體，通過求解三角形質心處的位移和平面法向量的夾角在坐標系的投影，來計算鏡體的剛性位移。

圖7 光學組件空間位移Fig.7 Spatial displacement of optical components

其平動位移和轉動位移為

式中， (x,y,z)為鏡體上點的空間坐標。

法向量的夾角公式為

微振動對光學系統全鏈路的影響原理如圖8所示。系統為同軸三反光學系統，由主鏡、次鏡、三鏡、折疊鏡、調焦鏡組成。O′x′為沿軌方向，O′y′為垂軌方向，Oxyz為相機本體坐標系。利用線性疊加方法建立線性光學系統像移與剛體自由度的函數關系，從而可以定量評估飛輪微振動對相機像移的影響。

圖8 微振動對光學系統影響原理示意Fig.8 Schematic diagram of micro-vibration influence on optical system

3 集成分析模型及計算結果

建立光學-姿控-結構集成分析模型如圖9 所示。衛星控制系統根據目標姿態指令控制飛輪轉速[32]。飛輪擾振力矩會引起衛星姿態抖動，因而需要保證在成像期間衛星具有足夠的姿態穩定度。飛輪擾振通過結構系統傳遞到光學系統，飛輪的諧波擾振和結構擾振在與結構系統耦合的頻率點引起共振，激發光學組件抖動，從而造成焦平面像素偏移。集成分析模型的輸入為飛輪的擾振，輸出為焦面像素偏移值。

圖9 衛星光學-姿控-結構集成分析模型Fig.9 Integrated analysis model of optical-attitude controlstructure for the satellite

模型首先確立飛輪轉速工況，計算結構系統在飛輪擾振作用下各光學組件位移響應結果；隨后將響應矩陣等參數導入集成分析模型中進行數值計算；最后擬合光學組件的平動位移和轉動位移，計算衛星姿態穩定度及姿態變化引起的像移值，得到由飛輪微振動引起的綜合像移分布。

計算結果如圖10 所示。

圖10 衛星減振前后光學-姿控-結構集成分析模型計算的像移值Fig.10 Calculation results of image offset by optical-attitude control-structure integrated analysis model before and after the satellite vibration reduction

隔振前，衛星在頻率218 Hz、240 Hz、389 Hz、449 Hz 處像移值超過0.1 px，最大為0.26 px（頻率389.3 Hz 處）。隔振后，飛輪在頻率41～81 Hz 頻率處引起的像移值比隔振前略有增大，由式(4)可知，這是由于衛星各向一階固有頻率分布在28～86 Hz，飛輪擾振頻率與系統固有頻率接近引起共振放大所導致；衛星最大像移為0.129 8 px，發生在飛輪轉速為3500 r/min、58.21 Hz 處。

4 微振動抑制校驗

4.1 地面試驗驗證

“吉林一號”星座中“高分04A”高分辨率商業遙感衛星在地面研制階段開展了整星微振動測試，試驗由低頻懸吊系統、衛星主體、微振動測試儀、飛輪電源及其控制軟件組成。光學-姿控-結構集成分析系統與地面試驗系統的組合如圖11 所示。試驗前，在主鏡、次鏡、折疊鏡、三鏡、調焦鏡處安裝高精度加速度傳感器，每個組件粘貼3 個傳感器以測量剛體運動；為了保證鏡體具有較小的法向量擬合誤差，同一鏡體上的傳感器相對均勻地粘貼在鏡體邊緣位置。測量時，對各飛輪進行100 r/min 間隔轉速控制，按照采樣頻率4096 Hz 采集星體各測點響應數據，轉速范圍為0～±3500 r/min；待衛星在擾振作用下達到穩態，開啟振動測量系統，記錄相機鏡體的時域響應數據。最后通過軟件積分變換得到位移響應，代入式(9)～式(15)，可得到綜合像移值試驗結果。

地面試驗像移測量結果如圖12～13 所示。隔振前，衛星在頻率153、220、402、408、483 Hz 處像移值超過0.1 px，最大為0.49 px（頻率402.4 Hz 處）；隔振后，整體上看，對于飛輪在頻率大于81 Hz 的隔振效率均超過70.0%，全頻域像移實測值最大為0.114 8 px（Ofpyfp方向@3500 r/min）和0.066 55 px（Ofpxfp方向@3500 r/min），與圖10 的模型計算結果接近，均發生在飛輪轉速為3500 r/min、58.21 Hz 處。

圖12 地面試驗像移測量結果Fig.12 Measured results of image offset in ground test

圖13 衛星減振前后地面試驗測量的像移值Fig.13 Image offset measurements in ground test before and after the satellite vibration reduction

4.2 在軌驗證

“吉林一號”星座中的“高分04A”高分辨率商業遙感衛星于北京時間2022 年4 月30 日11 時30 分發射并成功在軌運行，其影像分辨率大于0.5 m，地面幅寬優于15 km。該衛星采用“三正交”衛星姿態控制策略，即x、y、z飛輪軸向與衛星坐標系三軸分別平行。

該衛星進行了在軌成像試驗，提取遙感影像中的微振動幅值。衛星推掃模式下，對直線目標（如筆直的道路、橋梁或機場）進行成像，圖像處理得到目標高對比度的灰度圖；隨后采用均值法提取到目標圖像質心典型曲線后，進行多項式曲線擬合，再利用傅里葉計算方法對曲線進行頻域處理，最終得到衛星成像時刻的振動頻率與像移幅值關系曲線。獲得衛星微振動測量結果如圖14 所示。由衛星輔助數據可知，在成像時刻，3 個飛輪的轉速分別為x飛輪-316.30 r/min、y飛輪1 265.18 r/min、z飛輪-2 000.48 r/min。

圖14 在軌圖像與試驗Fig.14 On-orbit images and tests

按照4 Hz 采樣率得到成像期間10 s 內衛星三軸姿態穩定度遙測數據，如圖15(a)所示，姿態穩定度最大幅值絕對值＜7.0×10-6rad/s，與仿真結果在同一水平。

圖15 衛星在軌微振動試驗結果Fig.15 Result of micro-vibration test of satellite on orbit

衛星光學系統像移允許值的確立，僅考慮正弦振動下成像最模糊時的調制傳遞函數（MTF），由式(21)[33]求得滿足奈奎斯特采樣頻率下MTF 降低＜3%的成像質量條件下微振動振幅容限。對于既定的CCD，動態MTF 僅為正弦像移振動幅值D和曝光時間te的函數。

式中：T為振動周期；te/T為振動頻率；f為奈奎斯特頻率；J0(2πf D)和J2k(2πf D)分別為第一類貝塞爾函數。

衛星遙感圖像下傳后，提取圖像1200 行數據進行分析。在0～300 Hz 范圍內，由3 個飛輪擾振疊加造成的像移最大值為0.084 6 px（頻率29.7 Hz，衛星一階固有頻率附近），測量結果與允許值曲線如圖15(b)所示。集成分析模型計算像移結果在同一水平，證明了模型的有效性。

5 結論

本文以飛輪為振源，建立了一種光學-姿態-結構集成分析模型，模型以飛輪擾振為輸入，輸出光學系統綜合像移值。該模型可考慮飛輪典型轉速特性，定量給出飛輪擾振力矩對衛星姿控系統穩定度的影響，計算定幅、定頻擾振下的相機像移；給出相機光軸平動、轉動位移與焦面成像像移的定量關系，具有快速、精確的特點。最后開展了全面的微振動地面與在軌試驗驗證。建模及校驗結果表明：全頻域像移實測值最大值為0.114 8 px，在軌成像期間姿態穩定度達到7.0×10-6rad/s；集成模型計算像移值為0.129 8 px，衛星在擾振力矩作用下姿態穩定度為7.5×10-6rad/s。衛星在軌測試結果表明，在頻率0～300 Hz 像移值為0.084 6 px。集成分析模型計算與試驗結果一致。

本文的光學-姿控-結構集成分析模型可用于評估整星隔振狀態的微振動抑制能力以及在衛星設計階段預測微振動成像結果，為定量評價振源對衛星光學、姿控、結構系統綜合影響提供了有效方法，具有工程應用價值。