加速壽命試驗設計與評估軟件ALT511及其應用（二）

黃首清，劉慶海*，李芳勇，楊 勇，遇 今，張兆霖

（1.航天機電產品環境可靠性試驗技術北京市重點實驗室； 2.可靠性與環境工程技術重點實驗室；3.北京衛星環境工程研究所：北京 100094）

0 引言

單應力多個應力水平加速壽命試驗是經典的加速壽命試驗之一；其可根據所設計的多個應力水平的加速壽命試驗失效時間數據，在失效機理不變的前提下外推其他應力水平的壽命。單應力多個應力水平加速壽命試驗涉及到應力水平的數量和大小的選取、各應力水平壽命分布擬合、失效機理一致性判別、加速模型的選用和擬合、加速模型與壽命分布模型的關聯，以及壽命外推和可靠壽命計算等多個環節，對相關技術和工程經驗要求較高，因此，簡化應用復雜度以及開展軟件設計研究是推廣該技術的重要途徑和研究方向。

在單應力多個應力水平加速壽命試驗領域的相關研究主要聚焦在試驗的精細化設計和數據的高精度分析[1-2]。早期的研究集中在應力水平和樣本量的選擇。例如：Meeker 等[3]認為對于3 個應力水平的情況，從低應力水平到高應力水平的樣本量比例應為4:2:1，且中等應力水平應為低應力水平和高應力水平的平均值；而中國國家標準GB 2689.1—1981 [4]規定，在缺少加速因子相關歷史數據的情況下，需要設計多個應力水平的加速壽命試驗，應力水平一般不少于4 個，每個應力水平下的樣本量不少于5 個；Yang[5]提出了如何設計壽命滿足威布爾分布的4 個應力水平加速壽命試驗；一些學者基于蒙特卡羅方法提出了應力水平、樣本量等設計要素的優化設計方法[6-7]。針對加速壽命試驗數據，主要采用統計學方法進行分析，例如圖估計法[8]、簡單線性無偏估計法[9]、最好線性無偏估計法[10]、最小二乘法[11]、極大似然估計法[12]和貝葉斯法[13]。為了進一步減小加速壽命試驗的分析誤差，一些方法被用來對現有模型進行修正。Mazzuchi 等[14]提出采用動態線性模型與貝葉斯綜合方法來降低分析結果誤差；Watkins[15]提出一種修正的極大似然估計法，降低了計算的復雜度；殷毅超[16]提出了基于不精確概率理論的加速壽命試驗數據分析方法。從工程應用的角度分析，一些傳統的方法輔助工程經驗可以較好地解決單應力多個應力水平加速壽命試驗設計和評估問題，而一些改進和優化方法仍停留在研究層面或者因求解方法過于復雜而難以推廣應用。

在軟件工具方面，美國的ReliaSoft 軟件[17]、JMP Pro 軟件[18]、Minitab 軟件[19]和中國的ReliaQube軟件[20]均具有加速壽命試驗模塊，可以滿足單應力多個應力水平加速壽命試驗設計和分析需求，但在適用性和易用性方面存在一些不足。以Minitab 軟件為例，它包含的加速模型僅有線性模型、自然對數模型等少數幾種，不包括阿倫尼斯模型等常用模型，并且在結果的可視化顯示方面存在不足。除上述軟件外，我國還有零星的用于研究目的的加速壽命試驗軟件，但其研發和應用尚處于起步階段，例如：重慶工業自動化儀表研究所開發的加速壽命試驗數據分析軟件[21]具備壽命分布擬合和加速模型參數估計等功能；電子科技大學開發了加速壽命試驗方案優化設計系統[22]，在試驗條件設計方面很有特色，并融入了自主提出的改進的隨機游走算法。然而，這些軟件在可視化顯示、工程經驗融合、分析結果驗證等方面還存在一些不足，尚無實際的工程應用案例。

本文將從軟件實現、計算方法和實例應用的角度，對北京衛星環境工程研究所自研的ALT511軟件[23]中單應力多個應力水平加速壽命試驗設計與評估功能進行系統和全面的闡述，以期對我國加速壽命試驗軟件的設計和應用提供有益參考和支撐。

1 單應力多個應力水平模塊介紹

1.1 “導入數據”選項卡

如圖1 所示，“導入數據”選項卡主要用于讀入各個應力水平下的失效時間數據；點擊下方的“導入數據”按鈕會彈出選擇數據文件窗口，選定目標數據文件后，數據將以表格形式進行可視化呈現。本軟件可處理4 組應力水平數據，并可兼容3 組和2 組應力水平的情況。由于航天器產品通常價格昂貴且樣本量有限，所以多個應力水平的加速壽命試驗直接應用于單機產品的情況并不多見，它更適用于涂層等材料以及軸承、電機等零件。應力水平建議不少于4 個，每個應力水平下的樣本量建議不少于5 個。

圖1 “導入數據” 選項卡界面Fig.1 Interface of the tab “data import”

1.2 “每組應力水平壽命分布”選項卡

如圖2 所示，“每組應力水平壽命分布”選項卡主要針對指數分布和威布爾分布進行數據擬合并繪制概率密度函數；可針對指數分布給出各個應力水平下的失效率，針對威布爾分布給出各個應力水平下的形狀參數和特征壽命。

圖2 “每組應力水平壽命分布”選項卡界面Fig.2 Interface of the tab “life distribution under each stress level”

分布類型通過界面左上方的下拉菜單選擇；根據選擇的分布類型，界面自動更新顯示相應的曲線和壽命分布模型參數。建議偶然性失效的產品（例如星載電源產品）選用指數分布；損耗性失效的產品（例如控制力矩陀螺軸承、艙外電動工具按鈕、超聲電機、太陽帆板驅動機構導電滑環等）選用威布爾分布。

1.3 “加速模型擬合”選項卡

“加速模型擬合”選項卡可選擇逆冪律模型和阿倫尼斯模型2 種加速模型；針對指數分布可對不同應力水平的平均故障前工作時間（MTTF）進行擬合建模，針對威布爾分布可對不同應力水平的特征壽命進行擬合建模，最終將擬合結果繪制成曲線；繪圖界面中同時顯示擬合點和擬合線，同時根據最小二乘法計算并給出擬合相關系數，并顯示加速模型公式以及公式中模型常數的計算結果。需要指出，本軟件繪制加速模型曲線共4 種情況，即2 種壽命分布和2 種加速模型的排列組合，分別是指數分布逆冪律加速模型、指數分布阿倫尼斯加速模型、威布爾分布逆冪律加速模型和威布爾分布阿倫尼斯加速模型（如圖3 所示）。

圖3 “加速模型擬合”選項卡界面Fig.3 Interface of the tab “acceleration model fitting”

1.4 “指定應力水平下壽命值”選項卡

“指定應力水平下壽命值”選項卡主要用來計算可靠壽命、失效概率密度函數和可靠度函數。如圖4 所示，在界面中輸入指定應力水平、可靠度、置信度，然后在下拉菜單中選擇是否考慮置信度，即可給出可靠壽命，并自動繪制或更新對應的概率密度函數曲線和可靠度函數曲線。

圖4 “指定應力水平下壽命值”選項卡界面Fig.4 Interface of the tab “reliable life value under specified stress level”

2 計算方法

2.1 每組應力水平壽命分布

1）指數分布

對于指數分布，主要進行失效率參數估計，進而得到失效概率密度函數[24]。每組應力水平下失效率可根據極大似然估計法計算，

式中：下標i指第i個應力水平；Ti為累計試驗時間；ri為失效數； λ?i為失效率估計值。平均失效前工作時間為

第i個應力水平下失效概率密度函數為

2）威布爾分布

對于威布爾分布，主要進行形狀參數和特征壽命兩個參數的估計，進而得到失效概率密度函數[24]。對于失效數≥3 的情況，按照極大似然估計法通過求解方程(4)計算每組應力水平下的形狀參數。

式中：mi為形狀參數；ri為失效數；tij為第j個試驗件的試驗時間；ni為樣本量。

對于失效數＜3 的情況，根據工程經驗確定形狀參數mi。第i個應力水平下特征壽命估計值 η?i按照式(5)和式(6)計算：

第i個應力水平下失效概率密度函數為

2.2 加速模型擬合

以下分別針對阿倫尼斯模型和逆冪律模型介紹如何擬合不同應力水平下的壽命。

1）阿倫尼斯模型

用阿倫尼斯模型表達壽命與應力之間的關系：

式中：a和b為模型常數；S為應力；L為應力水平是S時的壽命。這里的壽命L對于指數分布為平均失效前工作時間θ，對于威布爾分布為特征壽命η。對式(8)等號兩邊取對數進行線性化處理得

式中：Y=lnL；A=lna；B=b；X=1/S。根據最小二乘法，可得常數B和A的估計值分別為：

其中：Xi和Yi分別為第i個應力水平下的X和Y取值；Xˉ 和Yˉ分別為X和Y的平均值；k為應力水平的數量。根據計算出來的A? 和B?可以反求加速模型的常數a和b。擬合相關系數ρ為

其中，ρ越接近1，代表選擇該加速模型與試驗數據的匹配程度越高。

2）逆冪律模型

用逆冪律模型表達的壽命與應力之間的關系為

式中：c和α為模型常數。同樣，這里的壽命對于指數分布為平均失效前工作時間 θ?i，對于威布爾分布為特征壽命 η?i。對式(13)等號兩邊取對數同樣可得到形如式(9)的表達式，其中，Y=lnL，A=lnc，B=-α，X=lnS。類似阿倫尼斯模型擬合，可按照式(10)和式(11)分別計算常數B和A，并反求加速模型的常數c和α。進而可根據式(12)計算擬合相關系數，評估逆冪律模型與試驗數據的匹配程度。

2.3 指定應力水平下壽命值

根據2.2 節得到的加速模型，可計算指定應力水平下的壽命。這里的壽命對于指數分布為平均失效前工作時間θ，對于威布爾分布為特征壽命η。以下介紹在不考慮置信度和考慮置信度下，如何得到失效概率密度函數、可靠度函數和可靠壽命。

1）不考慮置信度

在不考慮置信度的情況下，可以得到指數分布的失效概率密度函數f(t)和可靠度函數R(t)表達式，分別見式(14)和式(15)，并可繪制曲線。

威布爾分布的失效概率密度函數f(t)和可靠度函數R(t)表達式分別見式(16)和式(17)，并可繪制曲線。

指數分布和威布爾分布的可靠壽命tR表達式可分別由式(15)和式(17)推導得出，分別為

2）考慮置信度

在考慮置信度的情況下，對于指數分布，采用式(20)[24]得到平均失效前工作時間的置信下限θL：

圖5 置信壽命系數與失效數、置信度、形狀參數的關系Fig.5 Impact of failure numbers, confidence level and shape parameter on confidence life factor

考慮置信度的失效概率上限密度函數fu(t)和可靠度下限函數RL(t)表達式分別為式(21)和式(22)，可靠壽命下限tRL表達式為式(23)。

對于威布爾分布，采用式(24)得到特征壽命的置信下限ηL：

對比式(24)和式(20)，可以發現指數分布是威布爾分布形狀參數mˉ取1 的特殊情況。將式(24)中ηL/η記為威布爾分布的置信壽命系數，表征考慮置信度下特征壽命的降低程度，從圖5(b)～(d)可以看出：置信壽命系數隨著失效數的增加而增大、隨著置信度的增加而減小，這一規律與指數分布的一致；并且隨著mˉ增加，置信壽命系數顯著降低。

類似指數分布，可以得到考慮置信度的失效概率上限密度函數fu(t)和可靠度下限函數RL(t)表達式，分別見式(25)和式(26)；可靠壽命下限tRL表達式見式(27)。

3 軟件應用案例

以某航天器超聲電機為對象，給出單應力多個應力水平加速壽命試驗設計和評估的軟件應用案例。

根據失效模式與影響分析（FMEA），以負載為加速應力，設計比正常應力水平0.02 N·m 高且比破壞極限0.22 N·m 低的4 個應力水平開展加速壽命試驗并記錄試驗件的失效時間。如圖6 所示，將0.03 、0.07 、0.16 和0.21 N·m 共4 個應力水平下共20 個試驗件的失效數據讀入軟件并顯示。

圖6 某航天器超聲電機在4 個應力水平下的失效時間Fig.6 Failure time of a spacecraft ultrasonic motor under four stress levels

又根據FMEA，該航天器超聲電機在負載應力作用下主要失效機理為磨損失效，具有典型的累積損傷失效特征，這樣各個應力水平下的壽命應滿足威布爾分布。選擇分布類型后，軟件可自動計算4 個應力水平下的形狀參數、特征壽命，并繪制失效概率密度函數曲線（如圖7 所示）。以應力水平1（0.03 N·m）為例，壽命滿足形狀參數為5.1、特征壽命為5941 h 的威布爾分布。此外，觀察4 個應力水平的壽命分布，隨著負載的增大，特征壽命逐漸降低，說明加大負載能很好起到縮短試驗時間的加速效果；而4 個應力水平的形狀參數相差不大，提示各個應力水平的失效機理基本一致，各組應力水平下的試驗數據有效，可用于建立加速模型。

圖7 4 組應力水平下的某航天器超聲電機壽命分布Fig.7 Life distribution of a spacecraft ultrasonic motor under four stress levels

基于4 個應力水平下的特征壽命數據進行加速模型擬合，結果如圖8 所示，可見：當選擇阿倫尼斯模型時，算得模型常數a和b分別為32.22 和0.171，相關系數為0.894 4；而選擇逆冪律模型時，算得模型常數c和α分別為0.519 3 和2.776，相關系數為0.971 9。由于逆冪律模型的相關系數更接近1，說明數據擬合的效果更好，所以選擇逆冪律模型作為航天器超聲電機的加速模型。這一加速模型表達式與圖9 所示Excel 軟件的擬合結果一致，證明加速模型擬合算法是正確的。但Excel 軟件沒有針對阿倫尼斯模型的擬合功能，Minitab 軟件的加速壽命試驗模塊也未提供阿倫尼斯加速模型和逆冪律加速模型的擬合功能，這從一個側面反襯出本軟件的專業性。

圖8 某航天器超聲電機加速模型擬合Fig.8 Acceleration model fitting for a spacecraft ultrasonic motor

圖9 Excel 軟件擬合的逆冪律加速模型Fig.9 Inverse power law acceleration model fitted by Excel

獲得加速模型后，可得到指定應力水平、可靠度和置信度要求下的可靠壽命。如圖10 所示，假設0.02 N·m 為正常應力水平，這一負載下，不考慮置信度時可靠度0.95 對應的可靠壽命為15 180 h，這一計算結果與圖11 所示的Minitab 軟件計算結果幾乎一致。

圖10 某航天器超聲電機可靠壽命計算Fig.10 Calculation of the reliable life of a spacecraft ultrasonic motor

圖11 Minitab 軟件計算的可靠度0.95 的可靠壽命Fig.11 Reliable life under 0.95 reliability calculated by Minitab

此外，本軟件提供了更豐富的概率密度函數曲線和可靠度函數曲線顯示功能，例如：設置置信度0.7，考慮置信度條件下，本軟件計算的可靠度0.95 對應的可靠壽命為14 760 h。加速壽命試驗中各試驗件最長試驗時長為7100 h、最短試驗時長12.5 h，均遠小于要驗證的壽命指標要求。而且完成多個應力水平的加速壽命試驗后，后續針對同類產品可以只做一個短耗時的高應力水平加速壽命試驗，即可驗證壽命指標。

4 結束語

本文介紹了加速壽命試驗設計與評估軟件ALT511 的單應力多個應力水平模塊，包括：詳細說明了“導入數據”、“每組應力水平壽命分布”、“加速模型擬合”和“指定應力水平下壽命值”4 個選項卡；給出了基于多應力水平失效數據的指數分布和威布爾分布擬合方法、阿倫尼斯模型和逆冪律模型的加速模型擬合方法，以及指定應力水平下考慮和不考慮置信度兩種情況的可靠壽命、概率密度函數和可靠度函數計算方法。以某航天器超聲電機加速壽命試驗為例，軟件應用結果表明：ALT511 軟件的加速模型擬合結果與Excel 軟件擬合結果一致，逆冪律模型常數c和α分別為0.519 3 和2.776，相關系數為0.971 9；可靠壽命計算結果與Minitab 軟件計算結果幾乎一致。

后續還將進一步研究多應力加速壽命試驗、加速常數靈敏度分析、加速模型可信度分析，以及這些技術的軟件實現。