考慮局部模態約束的衛星結構優化

劉嫣潔，楊苗苑，李子軒

（航天科工空間工程發展有限公司，北京 100039）

0 引言

隨著機械復雜性和動力學性能要求的顯著提高，動力學優化已成為結構設計中的關鍵問題，尤其是對于航天器結構而言[1]。如果衛星結構的固有頻率與運載火箭發動機的激勵頻率相同，則在發射階段會發生共振，而通過衛星結構傳遞的高振幅振動將會對星內有效載荷造成破壞。因此，衛星結構的固有頻率必須高于目標值以避免發生共振，從而提高結構自身和有效載荷的安全性[2]。結構優化方法已被應用于解決實際衛星結構設計中的頻率約束問題[3-6]。然而，大多數研究考慮的是全局頻率約束，例如一階橫向和一階縱向固有頻率，很少有研究關注到對于改善關鍵有效載荷安裝區域的局部結構剛度同樣非常重要的局部頻率約束。

局部頻率約束和全局頻率約束的優化問題之間沒有本質區別[7]。然而，由于結構尺寸的改變而引起的模態置換是局部頻率約束優化問題的主要難點[8]：自動識別某一確定的局部頻率難度很大，且其階數在結構優化過程中通常不是恒定的，從而導致優化程序收斂困難[9-10]，使得確定局部頻率約束的優化問題的最優值變得極為復雜。因此，全局頻率約束的結構優化方法不能直接應用于局部頻率約束的結構優化問題。近幾十年中，關于局部模態領域的研究較多：Tenek 和Hagiwara[11]將單元密度限制在較大的閾值之上以避免局部模態，這就是動態結構頻率最大化設計中材料布局的優化結果中出現明顯灰色區域的原因。Pedersen[12]提出一種改進的可變懲罰因子方法來避免SIMP（solid isotropic microstructure with penalization）的局部模態。Cheng和Wang[13]提出一種利用多項式懲罰低密度區域單元剛度矩陣的方法。然而，目前的研究大多集中在連續體結構的拓撲優化方面，對于尺寸優化問題的研究較少。此外，目前關于局部模態識別的參考方法很少。

本文提出一種解決局部頻率約束的結構優化問題的近似方法，其基本思想是將具有局部頻率約束的原始結構動力學優化問題轉化為具有節點位移約束的近似結構靜力學優化問題，以回避在優化過程中使用局部模態階數和局部模態識別。方法仍以最小化結構質量為目標建立近似優化模型，并將橫截面尺寸作為設計變量，將局部區域在一定局部頻率下的節點位移作為約束；節點位移約束由局部區域的初始位移以及初始局部頻率與期望局部頻率之間的比值導出。最后給出數值算例和實際的衛星結構優化問題驗證所提出方法的合理、有效性。

1 原優化問題

具有頻率約束的傳統動力學結構優化問題可以表述為非線性數學規劃問題，即

式中：xi(i=1, 2, ···,n)為設計變量；F(X) 為結構質量（Weight）；g(X) 為頻率約束；ωlocal為當前設計結構的局部頻率； ω?local為局部頻率的期望值；xli和xui分別為xi的下限和上限。

2 近似策略

2.1 約束變換

為了提高局部結構剛度，將在局部區域增加加強筋以提高局部模態頻率。為了近似轉換原始優化問題，提出以下2 個必不可少的假設：

1）由于加強筋引起的質量增加與結構的總質量相比非常小，所以在優化過程中結構整體質量矩陣的變化可以忽略不計；

結構修改對單元剛度影響重大，其變化不應忽視[14]。因此，假設剛度矩陣是優化問題中設計變量的函數，即

考慮到可以將初始結構的局部模態振型視為在一定靜載荷下的節點位移，本文根據模態振型定義了靜載荷F?local，

式中：K(X0)為初始結構的單元剛度矩陣；為初始結構的節點位移。

基于假設2），靜載荷也可以表示為

式中：K(X)為當前結構的單元剛度矩陣；ulocal為當前結構的節點位移。

無阻尼結構系統的特征值問題可以表述為

式中：K為剛度矩陣；M為質量矩陣； ?i為第i階特征向量或固有模態； ωi為相應的第i階特征值或固有頻率。通過求解該特征值問題，可以計算出結構的第i階固有頻率，

定義放大倍數P為局部頻率的期望值 ω?local與初始結構的局部頻率的比值，即

可以將當前結構的局部頻率表述為

同樣基于假設2），當前結構的局部頻率也可表述為

將式(4)代入式(8)，得到

將式(3)代入式(10)，得到

將式(7)代入式(11)，可以進一步將期望的局部 頻 率 ω?local與 當 前 結 構 的 局部頻率 ωlocal聯 系 起來，得到

至此，原始問題中的局部頻率約束可表述為

由于結構的頻率肯定為非負，所以可以用節點位移約束代替頻率約束，則式(13)可以表述為

從最終的節點位移約束表達式g*(X)可以看出，最優化工程中需要約束結構中每個節點的位移，這給近似優化模型的建立帶來了極大的工作量，同時也增加了優化問題求解的復雜性。然而，結構的節點位移與模態振型相同。也就是說，對于局部振動模態，相對明顯的節點位移幾乎都分布于局部振動區域。因此，在建立近似優化模型時僅約束局部振動區域的節點位移是一種合理的簡化方式。

2.2 近似優化模型

當前的近似優化模型可以表示為非線性規劃數學問題，

此近似優化模型不再受局部模態的影響，局部模態置換現象不會改變優化模型中的約束條件。

定義相對誤差e=|PT-PP|/PT，其中，PT和PP分別為局部頻率的理論放大倍數和實際放大倍數?？捎孟鄬φ`差的大小來度量近似方法的精度。

3 近似優化過程

應用近似方法的優化過程（見圖1）概述如下：

圖1 近似優化模型優化過程Fig.1 Optimization process of the approximation optimization model

1）在Patran 中建立結構的初始有限元模型，并進行詳細的模態分析。

2）從模態分析結果中提取局部振動模態的節點平衡力。

3）根據步驟2）獲得的節點平衡力建立靜載荷邊界條件。

4）使用上述信息創建近似優化模型，并進行優化分析。

5）更新分析模型并檢查優化結果是否收斂到最佳值，如是，優化結束；如否，則返回步驟2）。

6）重復步驟2）～步驟5），直到滿足收斂標準，結束優化過程。

值得注意的是，由于局部模態的階數等必要的數據需要手動獲取，故需手動建模以獲得具有更高近似程度的優化模型。如何獲得局部模態的節點平衡力并建立有限元模型中的靜態載荷條件是創建近似優化模型時的2 個難點，本文進行算例驗證時將使用Msc.Patran/Nastran 軟件完成這2 項操作。

4 數值算例

本章將通過2 個數值算例驗證本文所提出的近似優化方法的合理性和有效性。第1 個簡單數值算例的參數來自于Pedersen[12]論文中的一個例子；第2 個算例是某大型衛星的實際結構優化問題。

4.1 算例1——結構板優化

該算例是簡單的結構板優化問題，以局部頻率不大于60 Hz 為優化約束，以結構的質量最小為優化目標，初始有限元模型（FEM）如圖2 所示，共包含20×20 個有限元網格（網格尺寸50 mm×50 mm），圖中白色和黑色區域的材料分別為M1和M2，其中：M1的彈性模量E1=2.0×1011N/m2，泊松比v1=0.3，質量密度ρ1=7800 kg/m3；M2的E2=2.0×105N/m2，v2=0.3，ρ2=78 kg/m3。結 構 板 的 尺 寸 為L1×L2×T=1 m×1 m×0.002 m，T為板厚。局部模態存在高振動密度區域的設計特征，因此結構板的黑色區域出現局部振動，如圖3 所示。

圖2 結構板的初始有限元模型Fig.2 Initial FEM of the structural plate

圖3 初始結構板的局部振型Fig.3 Local modal shape of the initial structural plate

局部振動模態的節點平衡力可直接從結構模態分析結果中提取，并據此建立靜載荷條件。根據新建立的工況進行靜力學分析，可以看到，圖3 所示初始結構板的模態振型與圖4 所示靜力分析的節點位移分布保持一致，與第2 章提到的近似優化思路完全相符。

圖4 靜力學分析得到的初始結構板節點位移Fig.4 Nodal displacements of the initial structural plate obtained from static analysis

在最大位移發生處設置1 個加強筋以增大局部頻率。在近似模型中，設計變量為加強筋的橫截面尺寸（參見圖5），通過約束局部區域的節點位移來確定最小結構質量。初始設計對所有4 個設計變量施加下限和上限。原優化問題中以局部頻率不大于60 Hz 作為優化約束，轉化至近似優化問題中即以加強筋上的最大節點位移不大于0.557 m 作為優化約束。

圖5 加強筋加固方式及加強筋橫截面尺寸Fig.5 Reinforcement method and cross section dimension of the reinforcing stiffener

近似模型優化結果如表1 所示，迭代歷程如圖6 所示?？梢钥吹?，經過4 次優化迭代后得到結構板的最小質量為125.3 kg，僅比初始質量增加了0.2 kg，符合2.1 節提出的假設1）。

表1 結構板近似模型優化結果Table 1 Optimization results of approximation model of the structural plate

圖6 結構板近似模型迭優化代歷程Fig.6 Iteration history for approximation model of the structural plate

為了驗證近似方法的準確性，使用當前參數對優化后的結構板進行模態分析并提取局部模態振型。如圖7 所示，結構板優化前后局部模態振型保持一致，符合2.1 節提出的假設2）。經進一步觀察，局部頻率僅存在1.44%的相對誤差，符合設計要求。

圖7 優化前后結構板的局部模態振型Fig.7 Local modal shapes of the structural plate before and after optimization

4.2 算例2——某大型衛星的結構優化

本算例中，某大型衛星被用于驗證本文近似方法在大型衛星結構優化中的效率。首先建立由殼單元和梁單元組成的原始結構有限元模型并進行模態分析，結果表明衛星結構艙內某水平艙板上存在局部振動模態振型（如圖8 所示），且局部振動頻率小于火箭激勵頻率（60 Hz）。此時衛星及星內設備的安全存在重大共振隱患，因此，需針對水平艙板進行衛星結構優化設計，優化設計約束為局部頻率不大于60 Hz，優化目標為衛星結構質量最小。

圖8 衛星的初始局部模態振型Fig.8 Initial local modal shape of the satellite

與算例1 的優化過程相同，通過靜力學分析得到整星的節點位移結果，如圖9 所示?？梢钥吹?，圖8的局部模態振型與圖9 的節點位移分布保持一致。

圖9 靜力學分析得到的衛星節點位移Fig.9 Nodal displacements of the satellite obtained by static analysis

通過在出現節點最大位移的區域設置矩形橫截面加強筋來增大對應的局部頻率。以加強筋的橫截面尺寸作為優化設計變量（矩形截面的長為H、寬為W），以節點位移不大于0.029 m 作為優化約束，以衛星結構質量最小為優化設計目標建立近似優化模型。

近似模型的優化結果如表2 所示，迭代歷程如圖10 所示?？梢钥吹?，經過5 次優化迭代后得到衛星的總質量為8 194.4 kg，比衛星初始質量僅增加6.5 kg，符合2.1 節提出的假設1）。此外，在最后2 次迭代中，優化目標的值變化不大。

表2 衛星結構近似模型優化結果Table 2 Optimization results of the satellite structural approximation model

圖10 衛星結構近似模型優化迭代歷程Fig.10 Iteration history for approximation model of the satellite structure

對優化后的衛星進行模態分析并提取局部模態振型。對比優化前后的局部模態振型（圖11）可見，優化前后衛星的局部模態振型保持相似，符合2.1 節提出的假設2）。經進一步觀察，局部頻率僅存在0.54%的相對誤差，符合設計要求。

5 結束語

本文提出一種處理局部頻率約束的結構優化問題的近似方法。其核心思想是將具有局部頻率約束的動力學優化問題轉化為具有節點位移約束的靜力學優化問題，則可以不受局部頻率非恒定階數的影響。在節點位移約束的推導過程中，分別對優化前后的質量矩陣和局部振型進行了近似。本文中的數值算例和實際工程優化算例均驗證了該方法合理可行，可以有效處理具有局部頻率約束的結構優化問題。