基于Nussbaum函數的多無人機預設性能反步容錯協同控制

孫朋悅，楊海川，李嘉旭，余自權

（南京航空航天大學自動化學院，江蘇南京 211106）

0 引言

無人機在軍用與民用領域作為日益重要的空中力量，被廣泛用于植物保護、森林防火、巡檢變電設備、智能物流調度、應急救援、空中作戰等領域。多無人機對海上艦船作戰是無人機應用的研究熱點[1-6]。在集群無人機遠航作戰中，利用多機的高效率和高可靠性優勢，部署多架無人機可滿足海上偵察巡視、防衛干擾、火力打擊等作戰任務需求，然而復雜多變的海洋環境和執行器故障極易導致機間碰撞，對無人機的穩定性與安全方面會產生極大影響。未來多機協同完成任務過程中的安全性與可靠性會更加重要。

反步法是1 種遞歸過程的設計方法，可通過遞歸的方式構建出最終控制信號。由于反步法中會涉及虛擬控制變量微分的計算，致使反步法存在微分爆炸問題，而動態面控制可作為解決這一問題的有效途徑之一。文獻[7]針對同時存在執行器、外界干擾和多個未知控制方向的多輸入多輸出非線性系統，將模糊邏輯系統與反步技術相結合，利用Nussbaum 函數解決了控制增益方向未知帶來的問題。在多無人機協同過程中，誤差會通過通信拓撲傳遞給相鄰無人機，可能導致整個集群系統的不穩定甚至無人機之間發生碰撞，對多機協同的穩定性與安全性造成巨大的影響，因此要求誤差限制在一定的范圍內。為使誤差收斂在期望的范圍內，研究人員提出了許多約束控制方案，如障礙李雅普諾夫函數、預設性能函數等。文獻[8]針對擾動下的復合式變體無人機，設計了復合時變障礙李雅普諾夫函數和動態滑模面的控制方法。預設性能控制是1 種被廣泛使用的控制算法，通過將系統的輸出誤差約束在期望的范圍內，可使跟蹤誤差收斂到1 個小的殘差集中，并同時兼顧了系統的瞬態與穩態性能。文獻[9]設計了1 種具有預設性能的高速飛行器的自適應反步控制方法，并利用徑向基神經網絡逼近了高速飛行器的不確定項。

受文獻啟發，針對多無人機協同執行任務過程中可能遭遇執行器故障的問題，本文主要貢獻如下：

1）與文獻[10]處理故障的方法相比，本文基于Nussbaum 函數處理由故障引起的未知控制增益的問題，設計了分布式預設性能反步協同容錯控制方案，降低了控制算法的復雜度，在多無人機遭遇故障時保證了系統協同執行任務的安全。

2）與文獻[11]預設性能控制設計方法相比，由于故障率先對角速率產生影響，繼而對姿態產生影響，因此設計了2 種預設性能函數。首先，約束角速率誤差，保證無人機自身實際角速率跟蹤上虛擬控制信號的角速率；然后，進一步約束無人機和相鄰無人機之間的協同姿態跟蹤誤差，收斂到任意小的1個區域，且均滿足期望的超調量與收斂時間，抑制了故障對系統造成的不利影響，以提升系統的容錯性能。

1 問題描述與預備知識

1.1 UAV運動模型

本文面向由N架固定翼無人機構成的飛行編隊，開展容錯協同控制方案設計。第i架無人機力學方程表示為[12]：

式（1）中：i=1,2,…,N；mi和gi分別為無人機質量和重力；Vi、χi和γi分別為空速、航向角和飛行路徑角；αi、βi和μi分別為迎角、側滑角和航跡傾斜角；Ti、Di、Li和Yi分別為推力、阻力、升力和側向力。

無人機姿態運動學模型表示為：

式（2）中：pi為滾轉角速度；qi為俯仰角速度；ri為偏航角速度。

無人機的姿態動力學模型表示為：

式（3）中：?i、?i和Ni分別為總力矩在機體坐標軸系上的分量，即滾轉力矩、俯仰力矩和偏航力矩。

式（2）中的推力Ti、空氣動力Li、Di、Yi，式（3）中的空氣動力力矩?i、?i和Ni表示為：

考慮增益損失故障，執行器故障模型為：

將式（7）故障代入姿態模型，可得：

將xi1求二階導可得：

式（9）中，Fi=fi1+gi1xi2+gi1fi2,Gi=gi1gi2。

定義跟蹤誤差：

為了實現多架無人機的同步跟蹤控制，定義如下分布式同步跟蹤誤差：

進一步，分布式同步跟蹤誤差可以化為：

1.2 預設性能

定義1 如果1個平滑函數?(t):?+→?+能夠滿足以下條件，則稱為預設性能函數[16]：

1）?(t)是嚴格單調遞減的正函數；

根據定義，選擇如下預設性能函數[17-18]：

式（12）（13）中：εi1τ0、εi1τ∞、νi1τ、νi2τ、ιi1τ和εi2τ∞為待設計的參數；i=1,2,…,N，τ=1,2,3。顯然，所選函數εi1τ(t)和εi2τ(t)滿足預設性能函數的定義。

跟蹤誤差Ei1和ei2分別滿足下述不等式：

其中：

式（16）（17）中，κi1τ=0.5 ln()。Γ(·) 是光滑的嚴格遞增函數，存在下列特性：

1）Γ( 0)=0；

其中，j=1,2。

轉換后的誤差可以表示為：

進一步求導可得：

1.3 Nussbaum函數

定義2 如果函數N(ζ):? →? 具有如下的性質，則稱其為Nussbaum函數：

選擇偶函數ζ2cos(ζ)作為Nussbaum 函數來設計系統的控制器。

引理1 給定1個Nussbaum函數N(ζ)，則：

1）對于任意1 個有界的函數g(·):?n→?，滿足|g(·) |∈[ε0,g0)成立，其中ε0是任意的正的常數，g0是1個未知的正的常數且有ε0＜g0＜+∞成立，那么就是說g(·)N(ζ)也是Nussbaum的函數；

2）對于任意1 個函數如果滿足c(·) ∈[-ε0,ε0]??成立，就說N(ζ)+c(·) 也是1個Nussbaum的函數。

引理2 設V(t)≥0，且ζ(t)是定義在[0,tf)上的光滑函數，同時函數N(ζ(t))是1 個偶的光滑Nussbaum 函數，如果下面的不等式成立[21]：

2 容錯協同控制器設計

2.1 控制器設計

本節提出了基于Nussbaum 函數的預設性能反步容錯協同控制方案，依據反步法，第i架無人機的中間虛擬控制信號設計為：

式（24）中：Λ=λi1+λi2?ii；K1為待設計的參數。

基于Nussbaum函數，構建如下控制信號：

式（25）～（28）中：N(ζ)=diag(N1(ζ1),N2(ζ2),N3(ζ3))；K2為待設計的參數，?i的表達式如下：

式（29）中，K為待設計的參數。

2.2 穩定性分析

證明：選取Lyapunov函數為

對式（30）求一階導數并代入式（6）（8）（11）（20）（21）（24）和（28）可得：

式（31）中：κi=2 min{λmin(K1),λmin(K3)}；υi=gi2ρi。

式（31）左右兩邊同乘以eκit，可得：

3 仿真結果及分析

為了驗證本文預設性能反步容錯姿態協同控制方法的可行性，對4 架固定翼無人機組成的飛行編隊進 行 仿 真 。 鄰 接 矩 陣 設 置 為A=[0,1,0,1；1,0,1,1；0,1,0,1；1,1,1,0]；每架無人機的初始速度均為30 m/s。

4架無人機的初始飛行條件如表1和表2所示。

表1 無人機姿態初始參數表Tab.1 Attitude initial parameters of UAVs

表2 無人機角速率初始參數表Tab.2 Angular rates initial parameters of UAVs

4架無人機的姿態角如圖1所示?？梢钥闯?，無人機在遭遇故障的情況下依舊可以保持穩定飛行。

圖1 姿態角xi1Fig.1 Attitude angles xi1

圖2 展示了4 架無人機的控制輸入，在遭遇故障時，控制輸入能夠及時做出反應。

圖2 控制輸入信號uiFig.2 Control input signals ui

由圖3 可知，各無人機之間的姿態協同跟蹤誤差時刻處于預設性能界限內。

圖3 姿態協同跟蹤誤差Fig.3 Synchronized attitude tracking errors

由圖4 可見，無人機自身角速率誤差均被限制在預設性能邊界內，體現了預設性能容錯控制的有效性。

圖4 無人機自身角速率跟蹤誤差Fig.4 UAV's own angular rate tracking errors

通過以上仿真結果可知，在無人機遭遇增益故障時，本文提出的基于Nussbaum-type 函數的預設性能反步容錯協同控制方案，展示了較強的容錯效果與較好的跟蹤性能，各無人機的姿態角幾乎保持一致，同時，也保證了多架無人機在執行任務時的飛行安全。

4 結論

本文研究了多機協同執行任務過程中遭遇執行器故障情況下的容錯控制問題。針對遭遇執行器故障多機協同控制系統，提出了1種基于Nussbaum-type函數的分布式預設性能反步容錯姿態協同控制方法。首先，給出了固定翼無人機動力學模型，進一步將動力學模型轉化為面向控制的二階系統，并將故障模型融入系統，構建具有執行器故障的控制系統；其次，針對定義的同步姿態跟蹤誤差與角速率誤差，引入預設性能函數，將不等式約束轉化為等式約束，構造了新的誤差，基于轉化誤差設計反步控制器；再次，采用Nussbaum-type函數解決執行器故障導致的控制律增益未知問題；最后，通過仿真驗證了控制方法的有效性。