基于改進伽遼金法解釋簡支輸流管顫振誤判

丁 明，范祖相，孟 帥

（1.上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海 200240；2.上海齊耀動力技術有限公司，上海 201203）

引言

輸流管系統已被廣泛應用于航空航天、核工程、石油化工及海洋工程等領域。輸流管流固耦合問題可歸結為典型的無窮維連續陀螺系統動力學模型。Pa?doussis 在其著 作中詳 細闡述 了內流效應［1］。內流效應分為兩類：一類是保守內流效應，輸流管在振動過程中不會從內流獲取或損失能量。另一類是非保守內流效應，輸流管可從內流中損失能量（阻尼作用）或者吸取能量導致系統失去穩定性。

輸流管內流效應主要取決于內流的方向、內流是單相流還是多相流，輸流管形狀、邊界條件以及周圍環境等［1］。當前學者們的主要精力是將內流效應理論應用于解決實際工程問題［2-12］。孫玉東等［4］以實際管路系統為研究對象，考慮內流和管路結構的相互作用，建立了液-管耦合振動噪聲動力學分析一體化有限元模型，分別對消聲壓力筒和管路撓性元件的噪聲、振動衰減作用進行研究。郭海燕等［5］基于內流效應對海洋立管響應特性的影響，對現用的兩部經典海洋立管設計標準（API RP2RD 和DNV-OS-F201）提出改進建議。陳正翔等［6］開展了實際工程常見的受多個彈性支座支承的輸液管系統穩定性分析。張智勇等［7］進行了充液直管固-液耦合振動響應研究。齊歡歡等［8］采用了時滯主動控制方法對輸液管顫振失穩進行控制以提高其臨界流速。張挺等［9］基于有限積分法研究瞬時關閥時輸流直管軸向耦合振動響應特性。段金龍等［10］分析了剪切流作用下頂張式海洋立管在不同內流速度和密度下橫向渦激振動響應特性。鮑健等［11］分析了內外流對細長海洋彈性管振動特性的作用機制。針對水動力段塞流誘導的柔性立管振動響應問題，高岳等［12］開展了段塞流誘導的懸鏈線型柔性立管模型振動響應測試。

內流效應尚有眾多基礎科學問題未解決［1，13-27］。例如，對于自由端含有點質量的懸臂輸流管，利用伽遼金法計算系統固有頻率時通常采用兩種方法：（1）將集中質量作為邊界條件；（2）利用狄拉克函數將點質量嵌入輸流管振動方程。當內流速度為零時兩種方法計算結果一致。但是當內流速度不為零時兩種方法計算結果顯著不同，此時第二種方法正確，該問題發生原因未可知［13］。對于空氣環境懸臂噴管，當內流速度達到臨界流速時，輸流管會發生顫振而失去穩定性。研究者通過現有內流效應理論可很好地預測臨界內流速度，但是將同樣方法應用在浸沒在靜水環境中的懸臂吸管時，理論上系統會在較小內流速度下失穩，但實驗中臨界內流速度非常大［14-16］。學者們通過修正懸臂吸管的數學模型研究該問題。例如，Pa?doussis 等［15］提出在懸臂管的低端吸口處需考慮外流環境負增壓效應。Kuiper 等［16-17］研究發現外部水曳力對吸管穩定性有著重要影響。Kuiper等［18］通過模型實驗發現，當內流速度超過臨界值后，懸臂吸管將會呈現復雜的動態響應特征，且整個實驗中沒有觀察到平面振動。Giacobbi 等［19］采用解析法、數值計算和模型實驗對上述現象進行了深入的探討。盡管該問題尚未解決，Adiputra 等［20-21］基于現有內流效應理論分析了海洋溫差發電裝置懸臂吸管系統的穩定性。在新型吸管工程應用背景下，Butt等［22-23］對懸臂吸管系統在內流和軸向外流聯合下的穩定性進行理論及實驗分析。

對于兩端簡支輸流管系統，其內流效應保守［1］。利用傳統伽遼金法線性分析時，在超臨界區預測到模態耦合顫振現象，但沒有能量輸入以維持該振動。Ch'ng 等［24］基于輸流管非線性模型發現，兩端固定特別是兩端簡支的輸流管道在有限（伽遼金）近似的數值積分中得出穩定的極限環顫振運動是可能的。Holmes［25］基于有限維非線性模型得到的研究結果與線性模型一致，同樣預測到了顫振現象。其后，Holmes［26］基于有限維非線性模型進行無限維度分析，通過李雅普諾夫第二法評估輸流管道在超臨界區的穩定性，研究證明顫振不能發生。Pa?doussis［1］和Sadeghi 等［27］基于非線性模型分析發現，系統在超臨界區發生屈曲失穩，且隨著內流速度進一步增加，輸流管屈曲響應幅值增加。Pa?doussis 對該研究歷程進行了總結［1］。馬騰等［28］通過在輸流管的兩端引入邊界支承彈簧，采用一種改進傅里葉級數的方法建立了輸流管耦合振動分析模型，依然預測到模態耦合顫振現象。于是產生了第一個疑問：既然對于非線性模型，采用不同求解方法會影響超臨界區響應預測，那么對于線性模型可否通過修正求解方法避免顫振誤判呢？考慮到伽遼金法是加權殘值法的一種，本研究嘗試從加權殘值法求解角度對線性模型產生顫振誤判進行探討。第二個疑問：既然非線性模型可以避免顫振誤判，探究線性模型發生顫振誤判的機理有工程意義嗎？作者認為該研究具有重要的工程應用背景。例如，隨著海洋開發步入深海區，海洋立管長徑比的大幅增加致使立管的柔性增強，柔性立管開始得到應用（尤其是在深海采礦領域），且新型柔性立管系統涌現（例如，為克服海床多變地形環境，有學者提出一種懸浮柔性輸流管系統［29］），柔性立管的內流效應突顯，且可能進入超臨界區［30-32］。在海洋立管響應特性仿真計算中，因基于線性模型的伽遼金法求解簡便實用且可對激發的模態進行分析等優勢被一直廣泛應用，尤其在試驗數據處理中很難采用非線性模型［33-36］。例如，在深海立管（內部傳輸高速流體）渦激振動試驗數據處理中，一般先建立海洋立管的結構動力線性模型，然后采用伽遼金法，利用實驗數據，分析海洋流體力以及激發的立管模態［33］。

1 顫振悖論

1.1 數學模型

簡支輸流管系統如圖1 所示，且采用二維坐標系oxy。原點o為輸流管左端點，y為橫向，x為未發生形變時的軸向，L為輸流管的長度。忽略重力效應，輸流管在恒預張力作用下的橫向振動控制方程為［1］：

圖1 簡支輸流管系統Fig.1 A simply-supported fluid-conveying pipe

式中M為單位長度內流質量；m為輸流管道單位長度的質量；w為橫向形變；EI為輸流管道橫向彎曲剛度；C0為輸流管道阻尼系數；U為內流單相流速；T為預張力；上角標表示對x的導數；上標表示對時間t的導數。

引入無量綱參數：

可得輸流管系統橫向振動無量綱振動控制方程為：

1.2 加權殘值法

基于加權殘值法［37］，可假設：

式中?j(ξ)為采用的試函數，試函數需要滿足正交以及邊界條件；N為基函數的數目；qj(τ)為對應的廣義時間坐標，得：

由于η(ξ，τ)只是近似解，設定η(ξ，τ)與精確解之間的殘差為R[η，ξ，τ]，即：

加權殘值法需要選定一組權函數ψi(i=1，…，N)，使得殘差的加權積分為0，即：

采用不同權函數ψi，加權殘值法有不同實現版本。若采用的權函數為基函數本身，則稱為伽遼金法。

1.3 伽遼金法

可采用簡支梁模態函數為試函數，即：

若采用伽遼金法，權函數和試函數相同即ψj=?j。利用簡支梁模態函數正交性條件：

最后得到輸流管系統結構動力方程為：

式中M為質量矩陣，且M=IN×N，IN×N為N階單位陣；C為阻尼矩陣，且C=C1+C2，C1為系統結構阻尼矩陣，C1=csIN×N，cs為結構阻尼系數，C2為內流科里奧利力矩陣為剛度矩陣，Kij=(iπ)4+(iπ)2(Γ-u2)；q=(q1q2…qN)T。

矩陣C1為反對稱矩陣，故C為反對稱矩陣，可令即轉化為標準特征值問題：

式中λ為系統特征值當u≠0 時λ為復數。Ω實部Re(Ω)為固有頻率，虛部Im(Ω)與阻尼有關［1］。

利用MATLAB 自編程，已完成對輸流管道固有頻率計算程序的驗證（詳見參考文獻［30］）。參考文獻［1］中的某柔性簡支輸流管系統，設β=0.1，Γ=0，忽略結構阻尼c=0，取N=4，系統固有頻率隨著內流速度的變化曲線如圖2 所示，與文獻［1］中的前三階固有頻率數據吻合較好。隨著內流速度的增加，系統的第一階固有頻率逐步減小。當u=π，Re(Ω1)=0，第一階模態發生屈曲失穩。當u=2π，Re(Ω2)=0，第二階模態發生屈曲失穩。隨著u的持續增加，第一階和第二階模態耦合顫振，于是產生一悖論：內流效應保守，系統不會從內流中吸取能量來維持顫振，為什么會發生顫振誤判？

圖2 輸流管系統固有頻率隨u 變化曲線Fig.2 The varying curves of the natural frequencies of the pipe with increase of u

2 悖論解釋

2.1 伽遼金法的局限

伽遼金法中，若采用N個試函數，則結構動力方程（13）是由N個加權殘值方程構成的，其中第i個加權殘值方程（上標N為采用的基函數數目）為：

當基函數增加到N+1 時，第i個加權殘值為：

對于任 意i(i=1，…，N)，根據式(16) 和(17)得：

假設基于伽遼金法求出的解收斂，則當N→∞時，對于任意的i(i=1，…，N) 有：

因此，采用伽遼金法隨基函數數目N的增加不存在收斂解，這顯然不滿足加權殘值法的收斂條件［37］。同時依據式的差異與內流速度u成正比。因此，若u足夠大，采用伽遼金法求得的輸流管固有頻率是不可信的，甚至是錯誤的。

基于計算發現，隨著N增加不會消除耦合顫振誤判，同時隨著模態提高和內流速度的增加，預測結果差別增大。舉例說明，設輸流管參數β=0.1，Γ=0，c=0，基于伽遼金法在N=4，5 時計算出的輸流管固有頻率隨內流速度的變化曲線如圖3所示。

圖3 基于伽遼金法采用不同N 預測輸流管系統固有頻率隨u 的變化Fig.3 The predicted natural frequencies of the pipe vary with the increase of u at different N via Galerkin method

2.2 改進伽遼金法

可否找到合適的權函數ψi確保滿足加權殘值法收斂性條件呢？經過驗算，提出權函數為：

式中?N+i(ξ)依然為簡支梁的模態函數；N仍然為式（3）中采用的基函數數目。利用正交性條件：

M為系統質量矩陣，且M=IN×N；C為阻尼矩陣，且C=C1+C2，系統結構阻尼矩陣C1=csIN×N。需要強調說明的是，利用式（22）內流引入科里奧利力矩陣C2的元素為：

基于權函數和試函數正交性，科里奧利力項C2消失了；K為系統的剛度矩陣，且K=K1+(Γu2)K2，其中：

若Φ矩陣可逆，則式（26）可轉化為：

可以發現，式（31）由N個獨立加權殘值方程構成。M，C，K矩陣的非對角元素皆為0，從而實現了系統結構動力方程全解耦。其中，第i個加權殘值方程為：

觀察式(32)可知，加權殘值與基函數的數量N無關，這意味著當基函數的數量增加到N*(N*＞N) 時：

對任意i(i=1，…，N)皆成立。換言之，隨著N增加，利用式（31）求解能保證收斂。由于此方法屬于加權殘值法的一種，而且與伽遼金法采用相同的基函數，這里定義為改進伽遼金法。

忽略結構阻尼，則可以直接求出第i階固有頻率為：

采用簡支輸流管的參數β=0.1，Γ=0，首先計算發現Φ可逆，然后取N=4 計算輸流管系統固有頻率隨流速的變化曲線如圖4 所示。隨著內流速度增加，系統的第一階固有頻率逐步減少。u=π 時Re(Ω1)=0，發生第一階模態屈曲失穩。u=2π 時Re(Ω2)=0，發生第二階模態屈曲失穩。很明顯，在亞臨界區與文獻［1，26-27］數據較好吻合。但是在內流超臨界區未發生模態耦合顫振誤判。同時發現，當增加試函數數目N時，計算結果具有一致收斂性且始終未發生模態耦合顫振誤判。舉例說明，當N=5 時，計算結果如圖4 所示，與N=4 時的仿真曲線較好吻合。

圖4 基于改進伽遼金法采用不同試函數數量（N=4 和N=5）預測輸流管系統固有頻率隨u 的變化Fig.4 The natural frequencies of the pipe vary with the increase of u at N=4 and N=5 via the modified Galerkin method

2.3 比較分析

內流速度u=0 時，內流產生的科氏力項消失?；谫み|金法和改進伽遼金法得到的結構動力方程即式(13)和(26)都可以完全解耦，任一加權殘值方程與采用基函數數量N及輸流管系統參數無關。此時，兩種方法都能滿足加權殘值法的收斂性條件，采用兩種方法計算輸流管系統固有頻率的結果一致。

當內流速度u＞0 時，基于伽遼金法得到的結構動力方程因科氏力項為反對稱矩陣導致無法完全解耦。在本文提出的改進伽遼金法中，利用選取的權函數和試函數的正交性讓科氏力項為零，進而使結構動力方程完全解耦。計算發現，基于改進伽遼金法可消除顫振誤判，同時發現，采用伽遼金法可能高估了系統的高階固有頻率，且隨模態階數增加和內流速度加快更加顯著。

舉例說明，選取輸流管參數β=0.1，Γ=0，c=0，基于伽遼金法和改進伽遼金法計算出系統固有頻率隨內流速度的變化曲線如圖5 所示。在u=0 時，兩種方法計算的結果一致，即頻率曲線起點相同，但隨著內流速度的增加，第二階、第三階和第四階固有頻率開始分離，且第四階分離最為顯著。

圖5 基于伽遼金法與改進伽遼金法采用N=4 預測某個輸流管系統的固有頻率隨u 的變化Fig.5 The predicted natural frequencies vary with the increase of u based on Galerkin method and modified Galerkin method at N=4

3 結論

兩端簡支輸流管系統的內流效應保守，即系統不會從內流中獲取或損失能量。利用伽遼金法通過線性方法計算得到兩端簡支輸流管的固有頻率，在亞臨界區與試驗數據擬合較好，但是當內流速度超過臨界流速后，預測到一階模態和二階模態耦合顫振現象。盡管學者們認定顫振現象不可能發生，但其發生的機理尚不清楚?？紤]到伽遼金法屬于加權殘值法的一種，本研究基于加權殘值法對該悖論進行探討。

從線性角度看，內流效應引入離心力、科氏力和慣性力三項。采用伽遼金法求解時，因科氏力項為反對稱矩陣，由加權殘值方程構成的輸流管結構動力方程不能完全解耦，這導致采用伽遼金法求解不符合加權殘值法收斂條件。提出一組新的權函數，可利用權函數和試函數的正交性使科氏力項消失，進而使輸流管系統結構動力方程完全解耦，并滿足加權殘值法收斂條件。該方法屬于加權殘值法的一種，定義為改進伽遼金法?；诟倪M伽遼金法計算兩端簡支輸流管固有頻率，在亞臨界區與文獻［1，26-27］吻合較好，在超臨界區未發生顫振誤判，進而完成對模態耦合顫振悖論的解釋。同時發現，基于傳統伽遼金法可能高估輸流管系統高階的固有頻率，且隨著模態階數增加和內流速度加快更加嚴重。由于固有頻率對于輸流管動態特性分析與穩定性預判有著重要影響，本研究具有工程應用價值。例如，海洋立管正常作業時，仿真計算通常設定立管為兩端簡支。需要準確預測立管系統固有頻率以防止/抑制渦激振動［29］、躲避參激不穩定區［30］等。

需要指出的是，式（26）轉化到式（31）的前提是Φ可逆。盡管通過MATLAB 計算發現，當N=1～100 時，Φ皆可逆。未來研究將對Φ的可逆性進行嚴格證明。同時，采用的權函數是基于簡支梁邊界條件提出的，并不適用于其他邊界條件輸流管系統（比如懸臂輸流管等）。但是本研究為實現各種邊界條件輸流管系統結構動力方程的全解耦，尤其為處理內流科氏力項提供了一種思路。同時，關于是否有其他因素影響顫振誤判需進一步研究。