擊實試驗的數據處理及對比分析

侯世昌，李洪帥，劉維巖

（河北省水利水電勘測設計研究院集團有限公司，天津 300220）

在水利工程建設施工中， 填筑土料經挖掘后，其原有結構已被破壞。王述紅、寧寶寬等［6］認為：未經壓實的填土松散、壓縮性大、抗剪強度低、水穩性差等不利特點，不能作為土工構筑物或地基。因此，填筑土料的有效碾壓是保證工程質量的重要環節。碾壓后的土料可提高土體的抗剪強度，降低透水性和壓縮性等［7］不利特性，從而滿足設計要求的土體穩定和運行安全。土料的擊實試驗是采用標準化擊實設備和標準方法［1］，測定土料的最大干密度和最優含水率，為填筑工程設計和現場碾壓施工提供土料的壓實性控制指標。因此，擊實試驗是土料填筑工程（如堤壩、路基、房基等）不可或缺的重要試驗項目。

土料擊實試驗成果分析表明：土料的類型、擊實功能等因素影響擊實試驗效果； 土料的擊實效果與土的物理特性有一定相關關系，但具有局限性。馮建國［10］認為：擊實試驗獲得的土料最大干密度和最優含水率的準確與否關系到實際工程中碾壓填筑土料的質量控制。潘新欣［11］認為：盡管在同一區域內，在一定擊實功能下， 土料的最大干密度和最優含水率與土料的液限、塑限具有良好的相關關系,但這些關系式只能在限定工程中或范圍內借鑒, 還不具有通用性，不能代替實際的擊實試驗結果。

目前， 擊實試驗的數據處理一般采用作圖法和土工試驗數據處理軟件。但在資料的整理過程中，對于圖表的格式和自由編輯還存在一定不便。 如當在報告中插入擊實試驗曲線（干密度度與含水率關系曲線）時，作圖法或土工試驗數據處理軟件生成的圖形不一定滿足要求。如果采用Excel 形成的圖形和土工試驗數據處理軟件計算的最大干密度和最優含水率，可能圖形與計算結果不一定相互匹配；如果采用Excel 形成的圖形和在圖上通過目力確定最大干密度和最優含水率，造成數據結果的精度不夠。為解決這種問題,依據Excel 提供的強大圖表和內置函數功能，結合實際工程項目的土試驗數據，詳細描述既在Excel 中繪制圖形又與圖形相一致的幾種擊實試驗數據的處理方法及對比分析。

1 試驗方法

試驗依據GB/T 50123—2019 《土工試驗方法標準》［1］規定的擊實試驗方法進行。采用輕型擊實法，擊實試驗的單位體積擊實功約592.2 kJ/m3。

干土質量按式（1）計算：

式中md為干土質量(g)；m0為風干土質量（或天然濕土質量）(g)；ω0為風干含水率（或天然含水率）（%）。

土樣制備含水率所加水量按式（2）計算：

式中mw為土樣所需加水質量(g)；ω' 為土樣所要求的含水率(%)。

擊實后各試樣的含水率按式（3）計算：

式中ω 為擊實后試樣的實測含水率(%)；m濕為試樣中所取的濕土質量(g)；m干為烘干后的干土質量(g)。

擊實后各試樣的濕密度按式（4）計算：

式 中ρ 為 擊實后試樣的濕密度(g/cm3)；m 為擊實后試樣的濕土質量 (g)；V 為擊實筒體積(cm3)。

擊實后各試樣的干密度按式（5）計算：

式中ρd為擊實后試樣的干密度（g/cm3）。

擊實后各試樣的飽和含水率按式（6）計算：

式中ωsat為飽和含水率(%)；ρW為水的密度（g/cm3）；Gs 為土粒比重。

2 基本數據

2.1 土料的基本物理性質數據

土料取自某除險加固工程的筑堤填筑料， 其基本物理性質數據如表1。

表1 土料的基本物理性質數據

2.2 擊實試驗基本數據

擊實試驗的基本數據如表2。

表2 擊實試驗數據

3 結果數據

根據表1 中的試驗數據，采用上述公式分別計算不同含水率情況下對應的干密度，同時為后續方便計算和分析, 用符號x 表示含水率（代替符號ω）， 用符號y 表示干密度（代替符號ρd）。其結果如表3。

表3 相同擊實功能的情況下干密度與含水率對應值

4 數據處理

為滿足Excel 軟件繪圖和擬合趨勢線的要求，分別把計算結果的含水率數據定為x 值序列,相對應的干密度定為y 值序列，如表3。

在Excel 中建立與表2 中的數據相同的數據源。插入散點圖如圖1，在圖中添加多項式趨勢線。由于繪制的干密度與含水率關系曲線要求其均過實際測試點，因此采用拉格朗日差值多項式擬合趨勢線，其階數是擬合趨勢線測試點數減一值。 按照土工試驗方法標準［1］要求的基本測試點數，多項式的階數取為4。在Excel 中趨勢線選項為：顯示公式和R2 值。

圖1 干密度y 與含水率x 關系曲線

為實現擊實試驗數據的自動化處理， 需利用Excel 中提供的強大函數功能把擬合多項式的各項系數先提取出來并放到指定的單元格內， 通過提取多項式的各項系數， 建立隨基礎數據變化而變化的計算公式，實現動態計算的目的。

以表2 中的基礎數據為例， 首先采用函數INDEX 和LINEST 提取擬合多項式中各項的系數，格式如下：

設定擬合的多項式格式為：

提取多項式各項系數的函數式：

a1=INDEX（LINEST（已知y 值系列（干密度），已知x 值系列（含水率）^{1,2,3,4},TRUE,TRUE）,1,1）

a2=INDEX（LINEST（已知y 值系列（干密度），已知x 值系列（含水率）^{1,2,3,4},TRUE,TRUE）,1,2）

a3=INDEX（LINEST（已知y 值系列（干密度），已知x 值系列（含水率）^{1,2,3,4},TRUE,TRUE）,1,3）

a4=INDEX（LINEST（已知y 值系列（干密度），已知x 值系列（含水率）^{1,2,3,4},TRUE,TRUE）,1,4）

a5=INDEX（LINEST（已知y 值系列（干密度），已知x 值系列（含水率）^{1,2,3,4},TRUE,TRUE）,1,5）

這樣， 通過提取多項式的各項系數后組成的多項式就可隨基本數據變化而變化。 提取出的多項式各項系數如表4。

表4 提取出的多項式中各項系數

從圖1 和表5 中可看出：對于同一組數據,表5中提取出的多項式中各項系數與圖1 中多項式各項的系數一致，因此，采用提取多項式的各項系數后進行其計算結果是可靠的。

表5 采用多項式計算不同含水率情況下的干密度

另外，從圖1 可看出：求解圖1 中最優含水率和最大干密度就是求解干密度與含水率關系曲線在區間［12.3，20.3］內的極值問題。

令ψ(x)=f'(x)=0 （8）

即：ψ(x)=4a1x3+3a2x2+2a3x+a4=0，求最優含水率的值即為求函數ψ(x)=0 的根。

利用Excel 表格數據計算功能， 分別采用搜索法、迭代法、二分法和正割法求解函數ψ(x)=0 的根。

為防止出現非預期求解的結果， 繪制函數ψ(x)與含水率的關系曲線（曲線兩頭各延長一部分），如圖2。從圖2 可看出：在區間［12.3,20.3］內，函數ψ(x)=0 時只有1 個實根。

圖2 ψ(x)值與含水率x 關系曲線

4.1 搜索法

為獲得最大干密度和最優含水率， 采用圖1 多項式對一定間隔數值的含水率進行干密度搜索計算。當計算干密度由逐漸增加變為逐漸減小時，其分界值即為最大干密度， 對應的含水率即為最優含水率。其結果如表5。

從表4 可得出：當含水率為15.6%時，干密度達最大值1.7530 g/cm3。對照圖1 中的干密度與含水率關系曲線，其值合理。為獲得最優含水率和最大干密度，本方法共進行30 次計算,根據圖1 中曲線變化趨勢選定計算起始值（如：15.0）和控制終了值（如：15.9），至少需進行10 次計算。

4.2 采用Newton 迭代法［3,8,9］求函數ψ(x)=0 的根

Newton 迭代法：設ψ(x)=0，ψ'(x)≠0，且ψ(x)在x 的領域N(x)內有連續的一階導數，則Newton 迭代格式為：

為減少計算次數,加快計算收斂速度,取x0=16.30（試驗測定含水率的最小值與最大值的平均值），采用Newton 迭代法迭代計算過程如表6。

表6 Newton 迭代法迭代求解最優含水率的過程

由表5 可知： 迭代計算收斂速度很快，x3=x4=x5=x6=x7，x2即為最終的迭代結果（x3=15.62353）。將x3值代入圖1 中的多項式后得：y=0.000150x4-0.009363x3+0.209586x2-1.986151x+8.373072=1.75299，修約后其最優含水率15.6%，最大干密度1.7530 g/cm3。

4.3 采用二分法［2,8,9］求函數ψ(x)=0 的根

設：函數ψ(x)=0.00060x3-0.028089x2+0.419172x-1.986151 在［a1,b1］上連續，且ψ(a1)·ψ(b1)＜0（在此實例中：a1=12.3，b1=20.3）,方程ψ(x)=0 在區間(a1,b1)內僅有1 個實根。

第1 步分半計算（k=1）：將［a1,b1］分半，計算中點x1=1/2(a1+b1)及ψ(x1)，如果

則函數ψ(x)的根一定在區間［a1,x1］≡［a2,b2］內，否則其根一定在區間［x1,b1］≡［a2,b2］內（若ψ(x1)=0，則x1=x*）。于是得到長度縮小一半的含根區間［a2,b2］。

以［a2,b2］作為根x* 所在的縮小范圍的新區間，重復上述做法。當x*≠x2=1/2(b2-a2)時，可求得a2＜x*＜b2，且b2-a2=1/22(b1-a1)

第k 步分半計算：重復上述過程，可求得ak＜x*＜bk，且bk-ak=1/2k(b1-a1)。

由此可知： 如果以ak 或bk 作為x* 的近似值，那么其誤差小于1/2k(b1-a1)。

如果達到上述計算方法的精度，如：|xk-x*|＜10-7，那么需要計算的次數為：k＞(ln(b1-a1)-lnε)/ln2,即

計算步驟至少達27 次后（如：28 次），所計算方程ψ(x)=0 的近似根值才能滿足要求精度。當計算步驟達28 次時，a28=15.6235311，b28=15.6235312， 于是15.6235311＜x*＜15.6235312。 即15.6235311 作為根的不足近似值，15.6235312 作為根的過剩近似值，其誤差均小于10-7。

按照同樣的含水率精度計算最大干密度，即x28=15.62353, 代入多項式y=0.000150x4-0.009363x3+0.209586x2-1.986151x+8.373072=1.75299 后，求得最大干密度為1.7530 g/cm3， 含水率修約后其值為15.6%。

4.4 采用正割（割線）法［2,4］求函數ψ(x)=0 的根

通過正割法求解方程ψ(x)=0.00060x3-0.028089x2+0.419172x-1.986151=0 在區間［12.3,20.3］內的根。其計算公式如式（12）。

設：x0=12.3，x1=20.3， 其值為實測含水率的最小值和最大值。 為防止出現不合理的計算結果， 保證ψ(x0)·ψ(x1)＜0,在確定x0和x1值時，最好取實測含水率的兩個端點值。計算結果如表7。

表7 正割法求解最優含水率過程

從表7 可看出：x10=x11=x12，x10即 為 最終的正割法計算結果x10=15.6235311。按照同樣的含水率精度計算最大干密度，即x10=15.62353,代入多項式y=0.000150x4-0.009363x3+0.209586x2-1.986151x+8.373072=1.75299， 求得最大干密度為1.7530g/cm3，含水率修約后其值為15.6%。

同時,從圖2 可看出：當函數ψ(x)=0 時，在區間（-∞,+∞）內可能有多個根，符合計算結果要求的只能在區間（12.3,20.3）內，否則為無效結果。因此，在確定初值x0，x1時，如果不能保證ψ(x0)·ψ(x1)＜0，即使x0，x1均在區間（12.3,20.3）內也可得出錯誤結果。如：當x0=12.3，x1=13.0 時，ψ(x0)=0.0392640，ψ(x1)=0.0373816，ψ(x0)·ψ(x1)＞0，計算結果為x=10.0505085；當x0=20.3，x1=18.2 時，ψ(x0) = -0.0211313， ψ(x1) = -0.0357733，ψ(x0)·ψ(x1)＞0，計算結果為x=21.0331016。兩種情況下均產生無效結果。 這兩個無效解不是針對上述函數ψ(x)=0 情況的，而是針對實際擊實試驗數據情況的。如果實際擊實試驗測試的含水率存在數據x=10.0505085 或x=21.0331016（相近即可），或兩者均存在，則圖1 擬合的多項式和函數ψ(x)就不是上述結果了。

5 數據處理對比分析

幾種計算方法的特點分析如表8。

表8 幾種求解最優含水率方法的特點分析

從表8 可看出： 針對擊實試驗數據的處理，Newton 迭代法無論從計算精度還是從計算效率都是比較好的選項。

6 結語

（1） 通過Excel 插圖和內置函數的強大功能，可實現擊實試驗數據多項式函數的自動擬合, 可實現多項式系數的自動提取，從而建立模板文件，實現插圖和計算結果隨原始數據的變化而自動更新。

（2）在求解最優含水率的方法中，Newton 迭代法在計算精度和計算效率方面均相對較好。

（3）為保證最優含水率和最大干密度的精度，在計算過程中兩者均要保留一定的小數位數, 計算結束后進行修約。