用矩陣形式的電路方程分析多層特斯拉線圈

陳希有 金 鑫 李冠林 齊 琛

(大連理工大學 電氣工程學院,大連 116024)

在許多高校的電路類課程中,都介紹了網絡圖論在電路理論中的應用。雖然內容的名稱有所不同,例如文獻[1]叫“電路方程的矩陣形式”,文獻[2]叫“電路的計算機輔助分析基礎”,文獻[3]叫“電路圖論和網絡方程”,等等,但內容大都包括圖的基本概念及圖的矩陣表示;KCL、KVL及支路方程的矩陣形式;通過矩陣運算列寫節點方程、回路方程與割集方程,等等。但是,由于教學基本要求和學時的限制,教學或教材中,得出矩陣形式的電路方程并簡單舉例后內容便終止,沒有進一步介紹矩陣形式電路方程的應用,導致一些學生甚至青年教師們產生困惑:這種利用矩陣運算列寫電路方程的過程,還不如憑觀察列寫來得簡單。因此,影響了對這部分內容教與學的積極性。只有極少數學生,會在研究生階段的網絡分析與綜合課程中,能夠進一步理解矩陣形式電路方程的數學推演優勢[4],大部分學生對學習這部分內容的目的性不甚明了。

本文在科研中制作了多層特斯拉線圈,用于研究諧振式電能傳輸。在建立線圈的電路模型以后,需要對其進行多種分析。該模型包含眾多互感支路,經簡化后,可以作為矩陣形式電路方程具體應用的很好案例,從而加深學生對學習電路方程矩陣形式目的性的理解,喚起求知欲望。

特斯拉線圈能夠利用線圈的分布參數產生諧振。在特斯拉無線電能傳輸的論文中使用了此線圈[5]。因此,這樣的案例也可讓學生了解特斯拉及特斯拉線圈在電氣與信息時代所發揮的基礎作用,潛移默化中提高了對偉大發明家的敬仰之情。

1 多層特斯拉線圈及其電路模型

本文制作的多層特斯拉線圈如圖1所示。線圈骨架為PVC管。低壓繞組只有一層,位于最外層,采用利茲線且非緊密纏繞。高壓繞組有7層,位于低壓繞組層內。

(a) 實物圖

由上述結構可知,多層特斯拉線圈各層之間均存在自感、互感,以及導線電阻;層與層之間存在電容。但高、低壓繞組之間,由于絕緣紙較厚,且低壓繞組匝數很少,因此高、低壓繞組之間的電容相對較小,本文忽略不計。當不關心特斯拉線圈內部電磁行為時,可以用集中參數元件來近似表示上述分布參數,由此得到如圖2所示的多層特斯拉線圈正弦穩態電路模型。

圖2 多層特斯拉線圈正弦穩態電路模型

根據纏繞工藝進行合理簡化,即均勻化。低壓繞組每層等效電阻為R1、等效電感為L1;低壓繞組與高壓繞組每層之間的耦合系數均為k1、互感為M1。高壓繞組每層等效電阻均為R2、等效電感均為L2,彼此之間的耦合系數均為k2、互感均為M2。上述參數的具體量值,可以通過計算或仿真來獲得,本文將在仿真分析中直接給出結果。

特斯拉線圈用于電能變換與傳輸時,高壓繞組要接負載或另一特斯拉線圈的高壓繞組。但為了建立模型的等效電路,在分析時暫用電壓源置換負載,如圖2中的。

2 網孔電流方程的建立

由于模型中含有多個互感,宜使用以電流為變量的方法列寫方程。為使方程個數盡可能少,宜采用網孔電流法。但是,當使用觀察法列寫網孔電流方程時,由于存在諸多互感,網孔之間的互阻抗很容易被漏掉或重復,或者發生符號錯誤。使用矩陣運算列寫網孔電流方程,則可避免這些問題,這是因為分析者只需簡單地寫出網孔-支路關聯矩陣、支路阻抗矩陣和支路電壓源列向量,其余步驟都交給程序,按矩陣運算來建立方程。

畫出圖2的網絡線圖,如圖3所示,它包含16條支路,8個網孔。因此網孔-支路關聯矩陣有8行16列,如式(1)所示。

圖3 電路模型(圖2)的網絡線圖

(1)

讓支路電壓和支路電流具有關聯的參考方向,它們的列向量分別記作

(2)

(3)

式中的Zb具有分塊矩陣形式:

(4)

其中左上角對應電壓源支路和電感支路的分塊,是10行10列的對稱矩陣,如式(5)所示。對角線元素對應支路阻抗;非對角線元素對應支路之間的互感阻抗。即

(5)

對應電容支路的右下角分塊是對角矩陣:

ZC=diag[ZC2,ZC2,ZC2,ZC2,ZC2,ZC2]

(6)

式中,ZC2=1/jωC2。

圖2中只有1、2支路含理想電壓源,因此支路電壓源列向量為,

(7)

再設待求的網孔電流列向量為,

(8)

根據KCL和KVL的網孔-支路關聯矩陣形式,不難得到用矩陣運算表示的網孔電流方程[6]:

(9)

其中系數矩陣稱為網孔阻抗矩陣,記作DZbDT=Zm,它的非對角線元素便是網孔之間的互阻抗。

網孔電流可通過網孔阻抗矩陣的逆并用下式來求得:

(10)

求出網孔電流后,還可以繼續分析其他感興趣的問題,以此彰顯矩陣形式電路方程的數學推演優勢,為矩陣形式的電路方程找到應用場景。選幾個方面示范如下。

3 網孔電流對電路參數的靈敏度

靈敏度反映了電路特性對電路參數變化的敏感程度,用偏導數表示。靈敏度分析是電路分析與優化設計的重要內容[7-8]。使用矩陣形式的電路方程很容易計算各種靈敏度。

假設發生變化的參數是p(例如自感系數、耦合系數等),將網孔電流方程(9)對參數p求偏導數(矩陣對p的偏導數,等于該矩陣各元素對p的偏導數組成的矩陣,只需告訴學生這一規則即可):

(11)

由上式求得網孔電流對參數p的靈敏度為,

(12)

4 二端口阻抗參數矩陣Z的計算

圖4 特斯拉線圈的二端口網絡模型

根據圖2,網孔1、2的網孔電流同時也是圖4的端口電流,因此二端口網絡的阻抗參數方程可以表述成:

(13)

在方程(10)求解后,式(13)中電壓和電流都是已知量,待求的是阻抗矩陣的4個元素。但兩個方程不足以求出4個元素,為此,改變端口外接電壓源,計算改變后的端口電流。由于是線性電路,所以端口電壓與端口電流仍滿足阻抗參數方程:

(14)

聯立(13)和(14)便可求出阻抗參數矩陣元素。為便于使用計算機程序求解,以阻抗參數矩陣元素為待求量,將方程(13)和(14)合寫成如下形式:

(15)

簡記為

(16)

據此求得由阻抗參數矩陣元素組成的列向量:

(17)

由Zp的計算結果得到圖4的T形等效電路,如圖5所示,圖中各阻抗分別為

圖5 特斯拉線圈的T形等效電路

(18)

5 阻抗參數矩陣對電路參數的靈敏度

由阻抗參數矩陣可以確定網絡的許多特性,因此分析阻抗參數矩陣的靈敏度,是分析其他特性靈敏度的基礎。

將式(16)兩邊對參數p求偏導數得

(19)

因此,由阻抗參數矩陣元素組成的列向量Zp對參數p的靈敏度可按下式計算:

(20)

6 有載電壓增益

在建立T形等效電路之后,將T形等效電路的端口2接入負載ZL,根據電路理論的米爾曼定理和分壓公式,便可獲得用等效電路參數表示的電壓增益解析表達式,結果如下:

(21)

(22)

此時電壓增益靈敏度可以通過網孔電流的靈敏度來得到:

(23)

7 仿真分析

7.1 網孔電流仿真

表1 網孔電流仿真結果

第1個網孔為低壓繞組網孔,繞組匝數最少,因此電流最大。

7.2 網孔電流對耦合系數的靈敏度仿真

將耦合系數k1視為發生微小變化的參數p。式(12)中支路阻抗矩陣Zb對k1的偏導數寫成分塊矩陣形式就是:

(24)

根據式(5)列出的子矩陣ZL,它對k1的偏導數矩陣為10行10列對稱矩陣:

(25)

另一子矩陣因為不含k1,所以偏導數為零矩陣,即

(26)

表2 網孔電流對耦合系數k1靈敏度

網孔4、6、8為層間等效電容電流,靈敏度為0,表明這些電流不受耦合系數k1的影響。

7.3 阻抗參數矩陣及靈敏度仿真

從表1可知,端口電流為

(27)

因此,圖5所示的T形等效電路中各阻抗分別為

(28)

由式(20)計算阻抗參數矩陣對耦合系數k1的靈敏度,仿真結果如下:

(29)

可見?Z22/?k1=0,這是因為Z22是當端口1開路時,從端口2看進去的等效阻抗,顯然與高、低壓繞組之間的耦合系數k1無關。仿真結果與客觀事實相符。

7.4 有載電壓增益及靈敏度仿真

特斯拉線圈在諧振時有很大的電壓增益,并且增益與負載阻抗有關。利用式(21)或(22)可以對增益的頻率特性進行仿真。選擇5種純阻性負載,分別是20 kΩ、40 kΩ、60 kΩ、80 kΩ和100 kΩ,得到增益的幅頻特性,如圖6所示。隨著負載電阻的增加,電壓增益變得越來越陡峭,但峰值對應的頻率基本不變,約為24.2 kHz。

圖6 有載電壓增益的幅頻特性

8 結語

將矩陣形式的電路方程應用到特斯拉線圈分析中,可以促進學生對矩陣形式電路方程實用性的認識,并激發教師在科研中努力提煉教學案例,為抽象的電路理論內容找到具體的應用對象,做到學有所用。