市場流動性影響下的亞式期權近似定價

曹圣云,李 鵬

(華北水利水電大學 數學與統計學院,河南 鄭州 450046)

0 引言

市場流動性對期權定價的影響與金融學領域中的很多問題關系密切.亞式期權作為金融衍生品中的一種,具有廣泛的應用價值,因此研究流動性影響下的亞式期權定價問題至關重要.

多項研究表明市場流動性對標的資產收益產生顯著影響[1-2],許多學者深入研究流動性下的定價問題,發現流動性貼現因子可以有效地捕捉流動性不足對衍生品價格的影響[3-6].

大量研究通過不同的方法解決亞式期權的定價問題.對于算數平均亞式期權定價,由于目前尚未找到算數平均資產價格的精確概率分布,許多學者對其進行了近似定價[7-10];對于可以確定概率分布的幾何平均亞式期權,研究者給出了其確定的定價公式[9,11].然而,目前沒有流動性條件下的亞式期權定價的相關研究.

鑒于此,本文借鑒PASRICHA P等[4]研究市場流動性影響下歐式期權封閉式定價公式的思路,構建出一種基于流動性調整的亞式期權的近似定價模型,準確高效地估計出具有固定執行價格的亞式期權的價格.實驗結果表明,本文使用的方法在穩健性和高效性方面表現出顯著的優勢,這將有助于期權交易中的投資者、交易員和決策者更快速地估計亞式期權的價格.

本文主要是將亞式期權的近似定價模型推廣到流動性市場下的定價研究中,并針對具有固定執行價格的亞式期權,推導出流動性影響下的封閉式近似定價公式.

1 模型框架

本文在有限時間范圍T>0和過濾概率空間(Ω,F,Q,Ft∈[0,T])下對經濟中存在的不確定性進行建模,Q為風險中性測度.假設標的資產由于市場供需不平衡而導致流動性不足,現考慮將流動性風險通過流動性貼現因子γt納入標的資產價格的動態變化過程中[3].

其中:St是標的資產價格;γt表示貼現因子;It是信息過程;g是一個平滑的嚴格遞增的函數;v是一個大于0的常數.

在市場清算條件下,標的資產的市場清算價格S應滿足:

使用g的可逆性[3],得到標的資產的市場清算價格S為

顯然,γ=1表示沒有市場流動性不足的貼現情況,此時S的動態退化為B-S模型,即

(1)

(2)

亞式期權在期權到期日的收益依賴于在整個期權有效期內標的資產的價格平均值.這里的平均值有兩種類型:算數平均和幾何平均.在連續情形下,資產價格的算術平均值為

(3)

幾何平均值為

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

其中:

(10)

(11)

n為離散條件下分成若干區間的個數.則受市場流動性影響的幾何平均亞式期權的近似價格Gt可以表示為

(12)

流動性貼現因子γt可以捕捉市場流動性對資產價格的影響,滿足隨機微分方程

(13)

其中:Lt表示市場流動性水平;β為資產價格對市場流動性水平Lt的敏感性程度.

進一步假設市場流動性水平Lt遵循均值回歸隨機過程

(14)

通過式(5)、(8)、(13)與(14)可以得到受市場流動性影響的算術平均資產價格的隨機過程為

(15)

通過式(9)、(12)、(13)與(14)可以得到受市場流動性影響的幾何平均資產價格的隨機過程為

(16)

另外,流動性貼現因子與特定標的資產相關聯,需要進一步加強這二者之間的相關性;由于整個市場的流動性風險是衡量市場總流動性的指標,市場流動性因子可以視為資產特定流動性的整體,因此市場流動性的過程與標的資產的價格過程密切相關,這兩者之間的相關性也需進一步加強;然而在式(13)中,流動性貼現因子γt與市場流動性水平Lt之間的依賴關系已得到體現,因此無需增強相應的兩個維納過程之間的相關性.為了使模型更貼近金融現實,故假設三個維納過程的相關結構為

(17)

2 封閉式定價公式

如果不考慮期權是看漲期權還是看跌期權,具有固定執行價格的亞式期權可以分為兩類:具有固定執行價格的算數平均亞式期權和具有固定執行價格的幾何平均亞式期權.本文用CA和CG分別表示上述兩種亞式看漲期權的價格,并在本節給出在市場不是完全流動的情況下,兩種亞式期權價格的近似解析公式.

2.1 算數平均亞式期權

在風險中性鞅測度Q下,到期日為T,執行價為K,具有固定執行價格的算數平均亞式看漲期權的價格可以表示為

(18)

(19)

(20)

(21)

因此

(22)

其中

然而MA(T)中涉及多個隨機積分,直接求解比較復雜,故從MA(T)整體的特征函數著手,對特征函數進行傅里葉逆變換求解期權價格.

用fA(m)表示MA(T)的概率密度函數,可得

(23)

其中

若要進一步寫出PA,1和PA,2,則需先寫出PA,2的傅里葉形式,進而通過測度變換得到PA,1.

定義ΦA(η,T)為MA(T)的特征函數,則

對ΦA(η,T)進行傅里葉逆變換可得

則

(24)

根據測度變換,有

(25)

其中:i為虛數單位.顯然,要得到期權價格的閉式近似定價公式,需要求出特征函數ΦA(η,T).

2.2 幾何平均亞式期權

在風險中性鞅測度Q下,到期日為T,執行價為K,具有固定執行價格的幾何平均亞式看漲期權的價格可以表示為

(26)

(27)

上式即可用于本文所研究的連續情形.

根據式(19)、(20)與(21),有

(28)

其中

考慮MG(T)的特征函數ΦG(η,T),用fG(m)表示MG(T)的概率密度函數,可得

(29)

其中:

PG,1和PG,2可以進一步寫為

(30)

(31)

此時,需要求出特征函數ΦG(η,T).

2.3 求解特征函數

本文所研究的亞式期權近似定價公式與Pasricha P等[4]研究的歐式期權在市場流動性影響下的閉式定價公式的思路幾乎一致,且推導過程中涉及到的MA(T)和MG(T)與文獻[4]中的M(T)具有相似的結構.根據文獻[4]中定理3.1可得,MA(T)和MG(T)的特征函數解析形式分別為

(32)

(33)

其中:

并且(ωn)n≥1是方程αsin(ωnT)+ωncos(ωnT)=0的嚴格正解,有

需要指出,這里得到的特征函數是無窮級數的形式,在數值模擬過程中需要對n進行截斷.

2.4 定價公式

綜合上述推導過程,可以得到具有固定執行價格的亞式看漲期權有以下定價公式:

(34)

其中,對于算術平均亞式期權和幾何平均亞式期權,分別有

3 數值實驗與討論

數值實驗的結果展示了亞式期權近似定價公式的收斂速度,并通過比較近似公式解的價格和蒙特卡洛模擬得到的價格,驗證了近似公式解的穩健性與高效性.所選擇的參數值如下:市場流動性水平的均值回復速度α=0.3,長期均值θ=0.2,波動率ξ=0.9,控制標的資產對市場流動性的敏感性系數β=0.5,期權的無風險利率r=0.01,相關系數ρ1=0.25,ρ2=0.35,初始值L0=0.3,γ0=1.

所得到的特征函數是無窮級數的形式,需要進行截斷.以算術平均亞式期權為例,固定K=110,近似公式解的收斂速度如圖1所示.在n和n+1處截斷無窮級數得到的期權價格,其絕對差值如圖1(a)所示.可以明顯地觀察到,期權價格的絕對差值隨著n值的增加急劇減小到0,這表明近似公式解快速收斂.此外,在初始價格S0=100的情形下,使用n=70與n=71計算的期權價格一致,如圖1(b)所示.因此,將截斷n=70得到的價格作為近似公式解的收斂期權的價格.

(a) 截斷n與n+1項期權價格絕對差值

接下來考慮對定價公式中涉及的中間項PA,1和PA,2,PG,1和PG,2進行截斷.以算數平均亞式期權的PA,1和PA,2為例,PG,1和PG,2的截斷與此一致.在初始價格S0=100、執行價格K=110情形下,用M1和M2分別表示PA,1和PA,2中無窮積分的截斷項數,通過Matlab模擬,相應的期權價格如表1所列.不難發現,當M1和M2分別大于30時,得到的期權價格都相等.本文保守選擇對PA,1和PA,2截斷40項,即M1=40和M2=40,這樣得到的期權價格具有較高的準確性和效率.

表1 PA,1和PA,2的截斷項數對價格的影響

為確保推導過程中沒有代數錯誤,并驗證亞式期權近似公式解的有效性,現將兩種亞式期權的近似公式解價格和蒙特卡洛價格做出比較,如圖2所示.由于蒙特卡洛方法需要進行大量的模擬路徑以保證高精度的結果,本文對于每個期權值,均采用500 000條路徑的平均值作為蒙特卡洛的價格[4].可以清楚地觀察到,所有類型的期權,包括實值期權、虛值期權和平值期權,其近似公式解的價格均逐點地接近相應的蒙特卡洛價格.進一步比較算術平均亞式期權的兩種方法所需的計算時間,發現計算圖2(a)中的11個期權價格,近似公式解法僅需3.17秒,而蒙特卡洛法要346.89秒.因此,近似公式解法可靠性很強,并且與傳統的蒙特卡洛法相比,近似公式解法在效率上表現出明顯的優勢.

(a) 算術平均亞式期權—固定S0=100

為了證明兩種方法的結果高度一致,進一步分析其各自得到的數據,結果如表2-表5所列.對于固定的初始價格S0=100,不同執行價格K得到的兩種期權價格如表2和表4所列.在給出的所有執行價格K下,兩種方法的絕對誤差都小于0.01,相對誤差低于0.02%.而對于固定的執行價格K=110,不同初始價格S0得到的期權價格如表3和表5所列.盡管當S0的值與K的值差距較大時,對應的相對誤差也較大,但兩種方法呈現出來的絕對誤差仍然小于0.01,相對誤差控制在0.05%以內.這進一步證實了亞式期權近似公式解的可行性.

表2 算數平均亞式期權CA——固定S0=100

表3 算數平均亞式期權CA——固定K=110

表4 幾何平均亞式期權CG——固定S0=100

表5 幾何平均亞式期權CG——固定K=110

最后分析相關系數對期權價格的影響.以算數平均亞式期權為例,給出5組實例,分別為:ρ1=0,ρ2=0;ρ1=-0.5,ρ2=-0.5;ρ1=-0.5,ρ2=0.5;ρ1=0.5,ρ2=-0.5;ρ1=0.5,ρ2=0.5,其對價格的影響如圖3所示.與預期結果相同,近似公式解得到的價格隨著相關系數ρ1和ρ2的增加而增加.這主要歸因于兩方面的原因:一方面,當ρ1變大時,標的資產價格增加會促使貼現因子γt降低,從而導致更高的看漲期權價格;另一方面,較大的ρ2在標的資產價格增加時會產生更低的市場流動性,進而增加看漲期權的價格.因此,本文采用的相關性結構更貼近金融市場.

圖3 相關系數對價格的影響

4 結語

本文研究了標的資產流動性不足時的亞式期權的定價問題.從近似解角度出發,將亞式期權的定價近似轉換為歐式期權的定價,將具有均值回歸模型的市場流動性因子納入貼現因子滿足的動態隨機過程,通過求解整個復雜隨機過程的特征函數,得到了亞式期權無窮級數形式的閉式近似定價公式.通過數值實驗驗證了近似公式的收斂速度和精度,保證了近似公式解的實際有效性.