具有對流項的單種群時滯反應擴散模型的穩定性和Hopf分支

潘英翠,張存華,李永花

(蘭州交通大學 數理學院,甘肅 蘭州 730070)

0 引言

近年來, 許多研究學者關注了對流環境中的種群動力學[1-2]. 在文獻[3]中, Ma和Wei考慮了齊次Dirichlet 邊界條件下具有對流項的單種群模型

(1)

其中:u(x,t)是位置x和時刻t處物種的種群密度;d>0表示種群的擴散系數;a>0是種群的對流率;b是種群的死亡率;g∈Cm(R,R)(m≥3)是種群的出生率且滿足g(0)=0.

其中f(u)=g(u)/d且γ=a/d,ε=b/d,τ=dr.

Dirichlet邊界條件表明外部環境是惡劣的,物種不能跨越環境邊界移動.一些研究人員已經研究了Dirichlet邊界條件下擴散系統在空間非齊次穩態解附近的動力學行為[3-5].然而,討論Dirichlet邊界條件下擴散系統空間非齊次穩態解附近的動力學行為非常困難,因為非齊次穩態解是空間非常數的.文獻[5]應用Lyapunov-Schmidt約化方法,研究該模型空間非均質穩態解的穩定性,Hopf分支的存在和方向等.在文獻[6]中,Busenberg和Huang利用隱函數定理和巧妙的構造,研究了具有Dirichlet邊界條件的延遲擴散Hutchinson方程的Hopf分支的存在性.

在有些情況下,需要同時考慮瞬間和延遲反饋控制,基于此,本文考慮模型:

(2)

其中t>0.在文獻[7]中,作者利用Lyapunov-

Schmidt約化方法得到了模型(2)空間非齊次穩態解的穩定性.本文在文獻[7]的基礎上,通過分析模型(2)在空間非齊次穩態解處線性化模型的特征值問題,研究了模型(2)的空間非齊次穩態解的穩定性以及Hopf分支的存在性.

1 特征值問題

記f1(0,0)=α,令λ=α+f2(0,0)-ε,考慮下面的特征值問題:

(3)

其中q(x)∈C([0,L]).由文獻[3]可知(3)的所有特征值都是實的.設λ1(q)是(3)的主特征值,則其對應的特征函數不改變符號.下面將用φ1表示相應于主特征值λ1=λ1(0)>0的特征值函數且滿足‖φ1‖L2[0,L]=1.

根據文獻[7],在條件

(H)f11(0,0)+2f12(0,0)+f22(0,0)≠0下,當λ∈Λ?(λ*,λ1)∪(λ1,λ*)時,其中λ*和λ*為常數,模型(2)有空間非齊次的穩態解

的解,這里

G(uλ,λ)=(eγx(uλ)x)x-
(f′1(0,0)+f′2(0,0)-λ)eγxuλ+
f(eγxuλ,eγxuλ).

另外h(·,λ):span{φ1}→X1滿足h(0,λ)=0,其中X1={y∈X|〈v,y〉=0,v∈K}.K=span{φ1}.

在uλ處線性化模型(2),可得

(4)

其中,t>0,x∈(0,L).根據文獻[8-9],由(4)的解所誘導的半群的無窮小生成元Aτ,λ為

其中

Aτ,λ的譜集為

σ(Aτ,λ)=
{μ∈C∣m(λ,μ,τ)ψ=0,ψ∈XC{0}},

其中

將τ作為分支參數,研究了Aτ,λ的譜來描述模型(2)正穩態解uλ的穩定性.

引理1假設條件(H)成立,那么當λ∈Λ時,對于所有的τ>0,0?σ(Aτ,λ).

證明若0∈σ(Aτ,λ),則對于任何τ>0,存在一個ψ∈XC{0},使得

(5)

令

(6)

其中βλ∈R,φλ∈X1,滿足〈φ1,φλ〉=0,將(6)代入(5),可得

(7)

將βλ和φλ(x)在λ=λ1處進行泰勒展開,可得

令

其中

當λ趨近于λ1時,比較(7)中各項的系數,可得到

接下來,討論Aτ,λ的純虛數特征值的存在.對于每個(λ,τ)∈Λ×R+,Aτ,λ有一個純虛數特征根μ=iω(ω≠0)的充分必要條件是對于某個ψ∈XC{0},

(8)

當ω>0,θ∈[0,2π)時,上式可解,那么

整理得

對上式分離實虛部,得

根據上述分析,得出如下結論.

定理1如果(ω,θ,ψ)是(8)的解,其中ψ∈XC{0},那么

根據定理1,討論λ∈(λ*,λ1)時的情況,作如下變換

(9)

其中

(10)

因此,得到如下結果.

定理2假設條件(H)成立,則存在一個常數λ*<λ1,

(i)存在從(λ*,λ1)到(XC{0})×R3的連續可微映射F:λ(φλ,βλ,tλ,ηλ),使得F(φ*,1,t*,0,λ1)=0,且F(φλ,βλ,tλ,ηλ,λ)=0,其中

(ii)模型(2)存在一個空間非齊次穩態解,模型(2)在其穩態解處線性化模型的解生成的半群的無窮小生成元Aτ,λ具有一個純虛數特征值iω,當且僅當

且

其中βλ,φλ,tλ,ηλ,θλ在第(i)部分給出.

證明下面開始證明(i)部分,第(ii)部分同理可證.根據(9)和(10),(8)可以簡化為

F(φ,β,t,η,λ)=0.

通過一系列計算,可得

F(φ*,1,t*,0,λ1)=0.

接下來,將M:X1C×R3YC×R定義為M=Dφ,β,t,ηM(φ*,1,t*,0,λ1).那么,

因此,M是一個從X1C×R3到YC×R的雙射.根據隱函數定理,存在唯一一個從(λ*,λ1)到XC×R3的連續可微映射λ(φλ,βλ,tλ,ηλ),滿足F(φλ,βλ,tλ,ηλ,λ)=0.

定理3

(i)若(ε+λ1-α)(f11(0,0)+2f12(0,0)+f22(0,0))≠0,則對于λ∈(λ*,λ1),有S(λ)≠0,其中

(ii)對于每一對(λ,n)∈(λ*,λ1)×N,則iωλ∈σ(Aτn,λ,λ)是簡單的.

設k→∞,將上式兩邊同乘ωλk,得

由此,推出矛盾,故假設不成立,所以S(λ)≠0.

接下來,證明Aτn,λ,λ的純虛數特征值iωλ是簡單的.如果iωλ不是簡單的,則可以選擇u∈C1([-τn,λ,0],XC{0})和一個常數k∈R,使得(Aτn,λ-iωλId)u=kψλeiωλ(·),即

(11)

從式(11)的第一個方程計算得出u(θ)=(kθψλ+z)eiωλθ.將其帶入(11)的第二個方程,得

eγx(iωλz+kψλ)=
(eγxzx)x-εeγxz+f′1(eγxuλ,eγxuλ)zeγx+
f′2(eγxuλ,eγxuλ)eγxe-iθλ(-kτn,λψλ+z).

計算上述方程與ψλ的內積,得

k〈ψλeγx,ψλ〉=〈ψλ,(eγxzx)x-
εeγxz+f′1(eγxuλ,eγxuλ)zeγx+
f′2(eγxuλ,eγxuλ)zeγxe-iθλ-iωλeγxz〉-
k〈ψλ,τn,λf′2(eγxuλ,eγxuλ)eγxe-iθλψλ〉=
〈m(λ,iωλ,τn,λ)ψλ,z〉-
k〈ψλ,τn,λf′2(eγxuλ,eγxuλ)eγxe-iθλψλ〉=
-k〈ψλ,τn,λf′2(eγxuλ,eγxuλ)eγxe-iθλψλ〉.

結合定理3(i),意味著k=0.由此得出,(Aτn,λ-iωλId)u=0.通過歸納,可以得到

Ker[(Aτn,λ-iωλId)j]=
Ker(Aτn,λ-iωλId)(j≥1).

故純虛數特征值iωλ∈Aτ,λ是簡單的.證畢.

2 Hopf分支的存在性

接下來給出橫截條件.

定理4假設條件(H)成立,存在λ∈(λ*,λ1),對每一個n∈N,存在一個(τn,λ,iωλ,ψλ)的鄰域On×Dn×Hn∈R×C×XC,一個滿足μ(τn,λ)=iωλ和ψ(τn,λ)=ψλ的連續可微映射(μ,ψ):On→Dn×Hn,且(λ,n)∈(λ*,λ)×N.因此,Aτ,λ在Dn中的唯一特征值是μ(τn,λ),且,

證明由于在Dn中,Aτ,λ的唯一特征值是μ(τn,λ),所以滿足

m(λ,μ(τn,λ),τn,λ)ψ(τn,λ)≡0,τ∈On.

在τ=τn,λ處對上式方程關于τ求微分,可得

在(0,L)上,計算上述方程與ψλ的內積,得

根據ψλ和τn,λ的表達式推斷出,當λ→λ1時,

θλ→0,ψλ→φ1,ωλτn,λ→2nπ.

基于勒貝格控制收斂定理得

證畢.

綜合上述的定理,可得如下結論.

定理5如果條件(H)成立,可得如下結論:

(1)當λ∈(λ*,λ1)時,Aτ,λ至少有一個具有正實部的特征值,即模型(2)的空間非齊次穩態解uλ是局部不穩定的.而且,在τ=τn,λ(n∈N)時,會發生Hopf分支,模型(2)的空間非齊次周期軌道的一個分支會在(τn,λ,uλ)出現.

(2)當τ≥0時,且λ∈(λ1,λ*),Aτ,λ的所有特征值只有負實部,模型(2)的空間非齊次穩態解uλ是局部漸近穩定的.

3 結語

本文討論了具有對流項的單種群時滯反應擴散模型的動力學行為.該模型在空間非齊次穩態解處線性化模型的解所誘導的半群有一個無窮小生成元Aτ,λ,通過分析Aτ,λ的零特征值和純虛數特征值,并結合橫截條件,得到了模型空間非齊次穩態解的穩定性以及Hopf分支的存在性.