一類先天免疫應答模型的穩定性分析

孫得寧,張存華

(蘭州交通大學 數理學院,甘肅 蘭州 730070)

0 引言

人體主要依靠兩大免疫系統滅活病原體,即先天免疫系統和適應性免疫系統.當病原體進入肺部后,首先先天免疫系統中的巨噬細胞對入侵的病原體立即作出反應,當巨噬細胞檢測到自己無法遏制的病原體時,它們會召集中性粒細胞(PMNs),它是人體內比巨噬細胞更具有殺傷力的免疫細胞[1].然而通過一系列的臨床研究發現,當中性粒細胞與淋巴細胞的比率(NLR)超過一定數值時,人體內會發生炎癥反應.文獻[2]中Wang D等發現,新冠患者在重癥期間中性粒細胞計數增加且淋巴細胞計數減少(即NLR增加),這一現象表明患者的病情可能處于危重癥狀態,所以對這一比率(NLR)的研究對于患者的早期治療具有十分重要的意義.基于以上醫學現象與理論,Pugliese等[3]提出了一個描述病原體與宿主免疫反應之間相互作用的系統,但比較有局限性;文獻[4]又對該系統進行了推廣.事實上,作為先天免疫系統中對病原體最具有殺傷力的免疫細胞,PMNs的數量在正常水平下較低,但它隨著病原體入侵肺部后迅速增加.因此,Young等[5]構建了如下系統:

(1)

α

(2)

α/β>δ/γ.

(3)

Young等[5]分析了在條件(3)下系統(1)的平衡點的數目與類型,并得到系統(1)的邊界平衡點是全局漸近穩定的.然而參數的實際值在不同病原體間會有所差異,所以較大病原體可能不會戰勝先天免疫系統,所以文獻[5]又考慮了相反的情況:

α/β<δ/γ.

(4)

Young等[5]研究了系統(1)在條件(4)下平衡點的類型,并發現在該條件下系統(1)存在更復雜的動力學現象,但沒有給出具體的理論分析.Shi等[6]進一步研究了在條件(4)下系統(1)的動力學行為,并得到隨著參數值的變化,系統(1)展現了復雜的動力學與分支現象:包括Hopf分支與余維二Bogdanov-Takens分支,最后給出了相應的相圖與分支圖,對所得到的結論進行了理論解釋.然而,對于某些免疫功能較弱的老人與小孩,PMNs的自然死亡率將會增加,因此在系統(1)的基礎上構建如下系統:

(5)

1 邊界平衡點的存在條件及其全局穩定性

本節中,考慮了系統(5)邊界平衡點的存在條件及其全局穩定性.首先做如下尺度變換,令

則系統(5)化為(仍用x,z,t表示x1,z1,t1)

(6)

其中:

p1=m/α,p2=(α2b)/(βδ),p3=(αγ)/(βδ),

p4=(βη)/(α2),p5=μ/β.

由(2)知p1>1,p2,p3,p4,p5均為正參數,又因為條件(4)等價于p3<1,所以在下列條件下研究系統(6),

01,p2,p4,p5>0,

(7)

且系統(6)的正不變區域為

Ω={(x,z)|x≥0,z≥0}.

證明為了討論系統(6)的邊界平衡點,設

則

令

f(x)=(p22-p22p3)x3+
(2p2-2p2p3+p1p2p3+
p22p4-p22p5)x2+
(1-p3+p1p3+2p2p4-2p2p5+
2p1p2p5)x+p4-p5+2p1p5-p12p5,

則

f′(x)=3x2(p22-p22p3)+
2x(2p2-2p2p3+p1p2p3+
p22p4-p22p5)+(1-p3+p1p3+
2p2p4-2p2p5+2p1p2p5),

Δ=b2-4ac,

(8)

作Poincare′變換,令x=1/ω,z=μ/ω,則系統(8)化為

(9)

(10)

當ω=0時,系統(10)有兩個臨界點A′(0,0),B′(p3/(1-p5),0).臨界點B′(p3/(1-p5),0),有兩個特征值λ1,2>0且為重根,得到B′是不穩定結點.對于臨界點A′(0,0),它的一個特征值為零,另一個特征值非零.接下來令μ=p2μ1-p2p3ω1,ω=p2p3μ1,dτ=-p2p3t,則系統(6)變為

(11)

根據文獻[7]中的中心流形理論,得到限制在中心流形上的方程為

(12)

由于p3<1,則[p2(p3-1)]/p3<0,根據文獻[8]中的定理7.1得到A′(0,0)是穩定的鞍結點,且通過做變換dτ=-p2p3t得到A′(0,0)是包含一個穩定拋物扇形的鞍結點,且ω<0的一部分是穩定的,而ω>0的一部分進入第一象限后分為兩部分雙曲扇形.

作Poincare′變換,令x=μ/ω,z=1/ω,則系統(8)化為

(13)

(14)

則得到系統(14)臨界點C′(0,0),其特征值均為零且關于臨界點C′(0,0)的雅可比矩陣為零矩陣.再做極坐標變換,令v=rcos(θ),ω=rsin(θ),則系統(14)化為

(15)

其中

R1(θ)=cos(θ)(p2cos2(θ)-sin(θ)cos(θ)+
sin2(θ)cos(θ)+p2p5sin2(θ)+p5sin3(θ)),
R2(θ)=-p1sin2(θ)cos2(θ)+(sin(θ)+
p2cos(θ))(p3cos(θ)+p5sin(θ)+sin(θ)),
U(θ)=cos(θ)sin(θ)(sin(θ)+p2cos(θ)).

令dτ=rdt,則系統(15)化為

(16)

(a)系統(6)在C′附近的相圖

2 數值模擬

圖2 系統(6)邊界平衡點的全局相圖

3 結語

本文主要研究了一類描述病原體與宿主免疫反應之間相互作用的先天免疫疫應答模型,討論了該模型平衡點的存在條件,并通過Poincare′變換與中心流形理論證明了該系統的邊界平衡點是全局漸近穩定的,最后利用MATLAB軟件包對得到的理論結果進行了適當的數值模擬.