基于量子Bernoulli噪聲的一維時空非齊次開放量子游蕩

于媛媛, 王才士, 范 楠

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

作為經典隨機游蕩的量子類似物, 量子游蕩自提出以來即受到廣泛關注, 并在量子信息和量子計算等領域應用廣泛[1-2]. 量子游蕩主要分為離散時間量子游蕩和連續時間量子游蕩, 針對環境的不同又分為酉游蕩和開放游蕩. 本文主要研究開放環境中的離散時間量子游蕩. 開放量子游蕩[3]是經典Markov鏈的精確量子類似物, 用于制定耗散量子計算算法和耗散量子態制備[4]. 在開放量子游蕩中, 節點之間的轉移純粹是由與環境耗散性相互作用驅動的. 酉量子游蕩和開放量子游蕩的關鍵區別是開放量子游蕩不依賴于節點之間的量子干涉, 并且它存在中心極限定理[5]. 不同于酉量子游蕩, 由于局部環境的影響, 開放量子游蕩的動力學是非酉的. 事實上, 開放量子游蕩一步步地描述了典型的量子行為, 但它似乎顯示了一個相當經典的漸近行為[6-7]. 由于經典Markov鏈的方法在開放量子游蕩上的應用和推廣, 使得其在該領域取得了許多研究成果.

QBNs(quantum Bernoulli noises)是作用于Bernoulli泛函上的湮滅和增生算子族, 滿足等時典則反交換關系, 可在描述環境對開放量子系統的影響方面發揮作用[8-9]. 文獻[10]將QBNs應用于開放量子游蕩的研究中, 利用QBNs構造了一維整數格上具有無窮多內部自由度的離散時間開放量子游蕩, 又稱為一維QBNs開放游蕩, 并且從概率分布的角度出發, 研究了開放量子游蕩的相關性質. 文獻[10]研究表明, QBNs開放游蕩的演化方程受QBNs影響, 其演化方程依賴于時間的變化, 并且QBNs開放游蕩具有與經典隨機游蕩相同的極限概率分布. 文獻[11]將一維QBNs開放游蕩擴展到高維的情形中, 引入了d維QBNs開放游蕩(d≥2).文獻[11]研究表明, 在一些初始態下, 當且僅當d維QBNs游蕩有極限概率分布時,d維QBNs開放游蕩具有極限概率分布, 且與d維QBNs游蕩的極限概率分布一致.

文獻[10]中QBNs游蕩是時間非齊次的開放量子游蕩, 其演化方程依賴于時間的變化. 對于空間非齊次開放量子游蕩的研究目前較少. 本文旨在引入一對具有時空非齊次性的coin算子對, 進而得到一個在一維整數格上的基于QBNs的時空非齊次(即時間、 空間均非齊次)的開放量子游蕩, 其演化方程不僅與時間的變化有關, 同時還與游蕩者所處的空間位置有關. 并進一步研究該游蕩的相關性質以及極限概率分布.

1 預備知識

1.1 量子Bernoulli噪聲

Γ={σ|σ?且#σ<∞},

其中#σ表示集合σ的基數.設Ω={-1,1}表示所有映射ω:{-1,1}構成的集合, (ζn)n≥0表示定義在Ω上的典則投影序列, 對每個n≥0, 有

ζn(ω)=ω(n),ω∈Ω.

定義F=σ(ζn;n≥0)是Ω上由序列(ζn)n≥0生成的σ-域.設(pn)n≥0是給定的正數序列, 其中0

其中k≥1,j∈{-1,1},nj∈(1≤j≤k)滿足: 當i≠j時,ni≠nj.因此得到一個概率測度空間(Ω,F,P), 稱為Bernoulli空間, 該空間上的復值隨機變量稱為Bernoulli泛函. 設Z=(Zn)n≥0是隨機變量序列(ζn)n≥0生成的Bernoulli泛函, 即

其中qn=1-pn.顯然,Z=(Zn)n≥0是概率測度空間(Ω,F,P)上的一列獨立隨機變量.

設L2(Ω,F,P)是復值平方可積Bernoulli泛函空間, 用H表示, 即

H=L2(Ω,F,P).

用〈·,·〉和‖·‖分別表示H中的內積和范數, 并約定〈·,·〉關于第一個變量共軛線性, 關于第二個變量線性.由文獻[8]可知,Z具有混沌表示性質.則Z={Zτ|τ∈Γ}是H的標準正交基(ONB), 其中Z?=1, 且

顯然H是一個無窮維的復可分Hilbert空間.易知, 對于每個n≥0,Zn=Z{n}為H的典則ONB的一個基向量.

引理1[9]對任意的k≥0, 在H上存在一個有界算子?k:H→H, 滿足‖?k‖=1, 且

引理2[9]設k,l∈, 則下列等式成立:

且

其中I是空間H上的單位算子.

引理2表明, 量子Bernoulli噪聲滿足等時典則反交換關系(CAR).

1.2 時間非齊次開放量子游蕩

參 考 文 獻[10], 由于H是復值平方可積Bernoulli泛函空間, 因此對H上的算子A以及所有的ξ∈H, 如果〈ξ,Aξ〉≥0, 則稱A是正的, 記作A≥0.設B(H)是空間H上的全體跡類算子構成的Banach空間,B+(H)是B(H)中正元素構成的錐, 且B+(H)中的元素稱為H上的正跡類算子.若T∈B+(H)且trT=1, 則稱其為H上的密度算子.

考慮張量積空間l2()?H, 這里l2()是上平方可和復值函數空間.由于l2()?H?l2(,H), 這里l2(,H)是定義在上并取值于H的平方可和函數空間, 即

l2(,

則l2(,H)形成一個復的Hilbert空間, 定義其范數‖·‖l2(,H)由H的內積〈·,·〉l2(,H)自然誘導.

定義2[10]若映射ρ:→B+(H)滿足則稱其為空間H上的一個紐核(nucleus).空間H上全體紐核構成的集合記作G(H).

對于映射Φ:→H, 且以下列自然的方式定義G(H)中的一個紐核ρ:

ρ(x)=|Φ(x)〉〈Φ(x)|,x∈,

(1)

這里|Φ(x)〉〈Φ(x)|表示向量Φ(x)∈H在H上定義的Dirac算子.設θ∈[0,1],ρ1和ρ2為H上的兩個紐核, 則θρ1+(1-θ)ρ2也是H上的紐核.

定義l2()上的典則標準正交基為{φx|x∈}, 其中

(2)

引理3[10]設ρ∈G(H), 則對于x∈, |φx〉〈φx|?ρ(x)為l2()?H上的正跡類算子, 且算子級數在跡算子范數意義下收斂, 其和是l2()?H上的密度算子.

引理4[10]一維QBNs開放游蕩是定義在整數格上的離散時間量子游蕩, 其滿足下列條件:

1) 該游蕩模型的態空間為l2()?H, 其態是l2()?H上的密度算子;

2) 該游蕩模型的coin算子表示為

其中I是空間H上的單位算子,Ln和Rn是自伴算子;

3) 該量子游蕩的時間演化方程為

ρ(n+1)(x)=Rnρ(n)(x-1)Rn+Lnρ(n)(x+1)Ln,x∈,n≥0,

因為該開放量子游蕩的演化方程依賴于時間的變化, 故該游蕩為時間非齊次開放量子游蕩.這里整數格上的函數x→tr[ρ(n)(x)]確定一維QBNs開放游蕩的概率分布, tr[ρ(n)(x)]表示n≥0時刻在位置x∈上發現游蕩者的概率.

注1由于l2()?H是一維QBNs開放游蕩的態空間,l2()?H?l2(,H), 所以l2()描述該游蕩的位置,H描述游蕩的內部自由度.又由于H是無窮維的, 所以一維QBNs開放游蕩具有無窮多個內部自由度.

由于H具有標準正交基{Zτ|τ∈Γ}, 故對每個n≥0, 可引入H的一列線性子空間:

Hn=span{Zτ|maxτ≤n,τ∈Γ},

記H-1=span{Z?}.

引理5[10]設(ρ(n))n≥0是一維QBNs開放游蕩的態的紐核序列.假設ρ(0)(x)=|Φ0(x)〉〈Φ0(x)|,x∈, 這里Φ0∈l2(,H), 且‖Φ0=1, {Φ0(x)|x∈}?H-1.則對所有n≥1, 有

引理6[10]設(ρ(n))n≥0是一維QBNs開放游蕩的態的紐核序列.假設

2 主要結果

2.1 一維時空非齊次開放量子游蕩

定義3對于非負整數n≥0和任意的x∈, 可通過如下方式在空間H上定義兩個算子Rn(x)和Ln(x):

(3)

其中I是空間H上的單位算子, i是虛數單位,ξ(x)是定義在上的一個實值函數.

注2Rn(x)和Ln(x)是H上的非自伴算子, 對?k,l≥0有如下性質:

(4)

算子Ln(x)和Rn(x)分別表示粒子向左和向右移動, 故Ln(x)和Rn(x)分別稱為在n≥0時刻向左移和向右移算子.

定義4令L?(x)=R?(x)=I,I是H上的單位算子, 對x∈, 有

(5)

定理1設ξ(x)是一個定義在上的實值函數, 則對任意的n≥0,Rn(x)+Ln(x)是空間H上的酉算子, 且滿足如下關系:

(6)

其次, 對任意的n≥0, 有

證畢.

命題1對x∈, 設σ,τ∈Γ, 則當σ∩τ≠?時, 有Lσ(x)Rτ(x)=0.

證明: 假設σ∩τ≠?, 則對x∈, 令m∈σ∩τ, 有

Lσ(x)Rτ(x)=Lσm(x)Rτm(x)Lm(x)Rm(x).

由式(4)有Lσ(x)Rτ(x)=0.證畢.

命題2對x∈, 設η∈B+(H), 則對所有的n≥0, 有

并且對任意的n≥0, 有

(7)

故

證畢.

設G(H)是所有映射ρ:→B+(H)的集合, 即

(8)

對于映射Φ:→H, 且中的元素ρ按式(1)定義.

命題3對任意的n≥0, 存在映射Jn:G(H)→G(H), 使得

(9)

證明: 設n≥0, 對每個ρ∈G(H), 由G(H)的定義和命題2知, 對任意的x∈, 有

由于

基于QBNs的一維時空非齊次開放量子游蕩的態空間是l2()?H, 它的態是l2()?H上的密度算子.設在n≥0時刻游蕩的態是由定義2、 式(2)和引理3知,有如下表示:

(10)

下面描述基于QBNs的一維時空非齊次開放量子游蕩的演化方程.

定義5基于QBNs的一維時空非齊次開放量子游蕩模型是整數格上的離散時間開放量子游蕩, 其態空間為l2()?H, 演化方程為

ρ(n+1)=Jnρ(n),n≥0,

(11)

由于l2()?H是游蕩模型的態空間, 易知基于QBNs的一維時空非齊次開放量子游蕩具有無窮多個內部自由度.

結合命題3和定義5可知, coin算子對{Ln,Rn}(n≥0), 驅動的基于QBNs的時空非齊次開放量子游蕩的演化方程等價于如下差分方程:

定理2基于QBNs的一維時空非齊次開放量子游蕩具有如下紐核序列表示:

(13)

證明: 由式(9)可知

再結合式(12)可得

證畢.

2.2 極限概率分布

下面討論基于QBNs的一維時空非齊次開放量子游蕩在n≥0時刻的極限概率分布.首先固定一些符號, 以方便討論.對所有的n≥0, 定義n-1={0,1,2,…,n-1}, 即對所有的n≥0, 都有n-1∈Γ.若n≥0,τ∈Γ, 用τ∪k簡要表示τ∪{k}.對任意的n≥0, 函數x→tr[ρ(n)(x)]確定QBNs開放游蕩的概率分布.定義tr[ρ(n)(x)]表示在時刻n≥0位置x∈上發現游蕩者的概率.

定理3設(ρ(n))n≥0是基于QBNs的一維時空非齊次開放游蕩的態的紐核序列.假設

ρ(0)(x)=|Φ0(x)〉〈Φ0(x)|,x∈,

(14)

這里Φ0∈l2(,H), 且‖Φ0=1.則對所有的n≥1, 有

(15)

其中x∈.

證明: 定義Rn(x)=eiξ(x)Rn,Ln(x)=e-iξ(x)Ln.特別地, 有R?(x)=eiξ(x)R?=I,L?(x)=e-iξ(x)L?=I.用數學歸納法, 由式(12)和式(14)知: 當n=1時, 有

即當n=1時, 式(15)成立.

假設當n=k≥1時, 式(15)仍然成立, 則當n=k+1時, 有

其中

同理, 有

因此,

即當n=k+1時, 式(15)仍然成立.證畢.

引理7[10]設n≥0, 當σ?n-1時, 對所有的ξ∈Hn-1, 有

(16)

定理4設(ρ(n))n≥0是基于QBNs的一維時空非齊次開放游蕩的態的紐核序列.假設式(14)成立, 這里Φ0∈l2(,H), 且‖Φ0=1, {Φ0(x)|x∈}?H-1.則對所有的n≥1, 有

(17)

證明: 由式(15), 有

由式(16)有

證畢.

定理5設(ρ(n))n≥0是基于QBNs的一維時空非齊次開放游蕩的態的紐核序列.假設

(18)

對n≥1, 設Xn是x∈的隨機變量, 其概率分布為

P{Xn=x}=tr[ρ(n)(x)],

(19)

(20)

證明: 定義映射Φ0:→H為

顯然Φ0∈l2(,H), ‖Φ0=1.由式(14), 初始態(也稱為l2()?H上的局部基態)為

定理5表明, 局部基態作為初始態時, 基于QBNs的一維時空非齊次開放量子游蕩與經典隨機游蕩有相同的極限概率分布.