指定任務空間的并聯機構尺度參數多目標優化方法

石燦玉,邵 華,張 華

(1.武漢科技大學冶金裝備及其控制教育部重點實驗室,湖北 武漢,430081;2.武漢科技大學機械傳動與制造工程湖北省重點實驗室,湖北 武漢,430081;3.武漢科技大學精密制造研究院,湖北 武漢,430081)

并聯機構具有高剛度、高精度和高速度的優點,廣泛應用于電子、食品、醫藥等工業生產領域[1-3]。不同類型的并聯機構差異很大,并聯機構的設計可分為類型綜合[4]和尺度參數設計[5]。其中,尺度參數設計是并聯機構研究領域的熱點問題之一。

在對并聯機構進行尺度參數設計時,首先要評估并聯機構在工作空間內的性能[6]。Salisbury等[7]定義了雅可比矩陣的條件數用于評估并聯機構的靈巧性[8]。Gosselin等[9]提出了整個工作空間內的雅可比條件數指標GCI,但存在機構轉動和平動時雅可比矩陣量綱不統一的問題[10]。Tsai等[11]定義了機構的傳遞特性和可操作性。Liu等[12]定義了描述機構位形的局部傳遞指標LTI以及工作空間內整體的運動/力傳遞性能的全局傳遞指標GTI,二者均獨立于參考坐標系[13]。不過,以上研究大多基于并聯機構在全局可達工作空間的性能分布,并不能準確描述指定任務空間的性能分布。此外,因機構的全局可達工作空間通常比工程應用場合的指定任務空間大得多,故而易導致計算過程中的計算量和計算時間增加。在正確評估工作空間內并聯機構性能分布的基礎上,可采用優化設計方法獲得最優的尺度參數。一類方法是通過構造參數設計空間,利用搜索法找到機構性能評價最佳的尺度參數。如Bi等[14]提出了一種無量綱模型的性能圖譜方法,基于運算搜索方法獲得性能最優的尺度參數。Xie等[15]應用性能圖譜方法優化了并聯機構尺度參數并實現了大轉角輸出。另一類方法是通過智能算法來優化尺度參數。如Wu等[16]利用遺傳算法對biglide和Ragnar并聯機構的剛度性能、運動學性能、工作空間和動力學性能進行了優化。Che等[17]采用進化算法來優化 4-RUPaR并聯機構尺度參數,達到最大化工作空間的目的。文世坤[18]使用人工蜂群算法優化4-PRPaU并聯機構的尺度參數。但是,在工程應用過程中,將并聯機構的尺度參數無量綱化后,很難考慮尺度參數如基座、移動平臺或鏈接的最大/最小尺度等的約束。有鑒于此,本文提出一種新的基于指定任務空間的尺度參數多目標優化方法,即考慮并聯機構的指定工作空間和實際幾何約束,采用一種新指標來評估并聯機構在指定任務空間上的性能分布并構建新的參數設計空間,從而獲得機構尺度參數的最優解。通過對Delta并聯機構實施基于指定任務空間的尺度參數優化,將本文所提方法與傳統的全局可達空間尺度參數優化方法進行比較,以期為并聯機構尺度參數設計的研究提供參考。

1 指定任務空間的尺度參數多目標優化方法

使用歸一化方法[19]來獲得有限的設計空間時,尺度參數會因無量綱化而導致物理意義丟失,同時也難以保持尺度參數與指定工作空間的聯系。要解決這些問題,需要建立一種新的方法,既能將并聯機構的尺度參數縮小到有限的范圍,又能保持尺度參數與指定任務空間的聯系。因為指定任務空間的并聯機構旋轉自由度即弧度本身就是一種無量綱參數,所以主要針對并聯機構在指定任務空間的平移度長度單位即標準尺度長度來保持聯系。使用歸一化方法將標準尺度長度與尺度參數無量綱化,可獲得基于指定任務空間有限范圍的參數設計空間,而并聯機構的尺度參數與指定任務空間也保持著一定的比例關系。將指定任務空間轉變為同比例縮放的尺度參數,就能保持尺度參數與指定任務空間的聯系。

在本研究中,首先基于并聯機構尺度參數和指定任務空間構建新的參數設計空間;然后檢驗其中的尺度參數是否滿足約束與逆運動學方程,剔除超出約束和逆運動學方程無實數解的參數;最后基于本文提出的指定任務空間的性能指標來評估并聯機構的性能,采用搜索法得到并聯機構的最優尺度參數,并驗證機構的運動/力傳遞性能。該方法的技術路線如圖1所示,詳細過程如下:

圖1 任務空間尺度參數多目標優化方法流程圖

步驟1)建立尺度參數的設計空間。理論上尺度參數可以從0到∞,但這樣不利于尋求尺度參數最優值。因此,為了同時描述指定任務空間w,將采用歸一化方法在指定任務空間和尺度參數上建立新的參數設計空間;

步驟2)通過考慮尺度參數的約束,驗證尺度參數是否滿足約束;

步驟3)計算機構的逆運動學方程,刪除逆運動學方程沒有實數解的參數,主要是因為該參數無法到達指定任務空間w;

步驟4)采用本文提出的一個指定任務空間的性能指標來評估并聯機構的性能分布,然后找出性能指標最優的尺度參數;

步驟5)計算最優尺度參數在指定任務空間上的性能分布,驗證優化效果。

1.1 尺度參數的設計空間

使用歸一化方法建立并聯機構的有限參數設計空間。假設要優化的并聯機構有m個尺度參數,可以用線性化形式表示,有

L=[L1L2…Lm]L∈m

(1)

式中,Li是并聯機構的第i個設計參數,例如移動平臺的半徑、連桿長度等,數字m是指待優化的尺度參數總數。

提出一個包含指定任務空間和尺度參數L的新設計空間來解決歸一化后尺度參數與指定任務空間聯系丟失的問題。例如,可以引入額外的標準尺度長度Lm+1=1 m,并且可以基于標準尺度長度Lm+1來表示指定任務空間w。對于任一P∈w,它由移動平臺的平移向量p和旋轉向量v組成,即

P=[pv],P∈w

(2)

位姿點P可以表示為

(3)

D=(L1+L2+…+m+Lm+1)/(m+1)

(4)

di=Li/D(i=1,2,…,m+1)

(5)

(6)

(7)

由式(5)和式(6)可以得出

d1+d2+…+dm+dm+1=m+1

(8)

Li=diLm+1/dm+1(i=1,2,…,m)

(9)

1.2 參數約束判斷

并聯機構的尺度參數有許多約束,如幾何約束、奇異性約束等,這些約束可以用相關參數的幾何方程和長度限制不等式來描述,表示為參數L的約束函數,即

g(L)=0

(10)

(11)

1.3 判斷任務點到達的參數空間

f(L,P)=q

(12)

該式也可以轉化為歸一化形式

(13)

1.4 任務空間中的性能評估

在評估并聯機構的指定任務空間性能之前,必須計算指定任務空間的性能指標。局部傳遞指標(LTI)和全局傳遞指標(GTI)主要針對全局可達空間的并聯機構,并不適合指定的任務空間,故而采用指定任務空間傳遞指標(TWTI),有

(14)

式中,Ψ是具有參數L的并聯機構任務工作空間中每個位姿點P的LTI指數。Γ表示LTI在指定任務空間中的平均分布,較大的Γ表示該并聯機構在指定任務空間上具有更好的運動/力傳遞能力。任務空間傳遞指標TWTI也可以標準化形式使用,即

(15)

2 案例-Delta并聯機構的優化

Delta是一個應用非常廣泛的三平移并聯機構,許多研究者基于全局可達空間對其進行了尺度參數優化[20]。本研究基于指定任務空間上的Delta并聯機構,實現機構性能與尺度參數約束的綜合多目標尺度參數優化,并與傳統全局可達空間優化方法進行比較。

2.1 尺度參數的設計空間

圖2所示為Delta并聯機構。該并聯機構采用對稱原理設計,由靜平臺A1A2A3、動平臺C1C2C3和三個支鏈AiBiCi(i=1,2,3)組成,γ1、α1分別為正、負傳動角。連桿A1B1、A2B2與A3B3長度相等,連桿BiCi(i=1,2,3)的長度也相等,動平臺C1C2C3的半徑通常固定以便于在移動平臺上安裝操作器,為方便研究,本文將其設定為200 mm。設定靜平臺A1A2A3的半徑L1,支鏈A1B1和B1C1的長度分別為L2和L3。則需優化的參數可以表示為

圖2 Delta并聯機構示意圖

L=[L1L2L3]

(16)

Delta并聯機構具有3個平移度,工作空間為三維立方體。指定任務空間w尺度為400 mm×400 mm×800 mm,附加參數L4為200 mm,則w可以表示為2L4×2L4×4L4。對于任何點P∈w,有

P=[pv]

(17)

D=(L1+L2+L3+L4)/4

(18)

di=Li/D(i=1,2,3,4)

(19)

(20)

(21)

(22)

2.2 參數約束判斷

(23)

(24)

2.3 逆解

2.4 性能指標

λi=|sinγi|

(25)

ηi=|sinαi|

(26)

Ψ=min{λiηi},(i=1,2,3)

(27)

任務空間性能指標TWTI可以描述為

(28)

2.5 參數優化結果

2.5.1 參數優化結果分析

機構不同約束條件下的不同優化結果如下:

圖3 任務工作空間傳輸指數隨約束的分布

圖4 具有參數限制的TWTIΓ的分布

2.5.2 優化結果比較

為了確定本文所提優化方法在并聯機構的指定任務空間上能否獲得更好的效果,在此對其及傳統方法所得最優尺度參數結果的LTI分布進行比較。選取傳統的全局可達空間優化方法的尺度參數為:L1=200 mm,L2=600 mm、L3=800 mm。圖5所示為不同方法和約束條件下的最優參數LTI分布。其中圖5(a)給出了傳統全局可達空間方法下的最優參數的LTI分布,最大LTI為0.8503,LTI平均值為0.672;圖5(b)給出了第一個約束條件下的最優參數的LTI分布,最大LTI為0.9288,LTI平均值為0.9083;圖5(c)給出了第二個約束條件的最優參數LTI分布情況,最大LTI為0.9826,LTI均值為0.7971。所有的最優尺度參數和相應的LTI結果見表1。由表1可見,無論是指定任務空間上的最大LTI還是平均LTI,都明顯優于傳統的全局可達空間方法,這證明了指定任務空間的尺度參數優化方法的有效性。在不受機構長度限制的情況下,指定任務空間上的平均LTI可以達到0.9083,但靜平臺和支鏈A1B1的尺度過大,當指定任務空間w僅為400 mm×400 mm×800 mm時,它們分別超過4500 mm和7200 mm,這對于工程應用是不實際的。在第二種約束情況下,對靜平臺的半徑和支鏈A1B1和B1C1的長度,給出了最大尺度約束800 mm,并且最優參數L1,L2和L3都滿足約束,同時特定任務空間上的平均LTI為0.7971,表明該機構的良好性能。

表1 不同方法和約束條件下的優化結果

(a)傳統全局可達空間方法的LTI分布

圖6～圖8所示為不同優化方法下y-z、x-z和x-y三個截面上任務空間中心的LTI分布。以圖8為例,圖8(a)為傳統全局可達空間方法的最優尺度參數LTI分布圖的x-y截面,參數最大值為0.84,最小值為0.72。圖8(b)為第一種約束條件下最優尺度參數LTI分布圖的x-y截面,參數最大值為0.925,最小值為0.905。圖8(c)為第二種約束條件下最優尺度參數LTI分布圖的x-y截面,參數最大值為0.97,最小值為0.92。相比之下,第二種約束情況在并聯機構運動/力傳遞性能方面明顯優于傳統全局可達空間優化方法和第一種約束情況。通過上述三種方法的比較,表明本文所提出的方法在不同約束的指定任務空間中明顯比傳統全局可達優化方法更有效。證明了指定任務空間優化方法可以有效地求解具有尺度參數約束的并聯機構的最優尺度參數。

(a)傳統的全局可達空間方法 (b) 第一約束條件 (c) 第二約束條件

(a)傳統的全局可達空間方法 (b) 第一約束條件 (c) 第二約束條件

(a)傳統全局可達空間方法 (b) 第一約束條件 (c) 第二約束條件

3 結語

本文提出了一種基于指定任務空間的并聯機構尺度參數多目標優化方法,并借助機構的幾何約束和性能評估獲得了最優參數。針對某些工程應用中傳統的并聯機構全局可達空間尺度參數優化設計方法不適用于指定任務空間的問題,通過改進尺度參數設計空間方法,引入TWTI性能指標來評估指定任務空間下的性能,使得指定任務空間下的并聯機構具有更好的性能。該方法可以針對個性化的工程應用需求引入不同的尺度參數約束要求,實現機構性能與尺度參數約束的綜合多目標尺度參數優化,滿足差異化需求,達到并聯機構的最佳性能。以Delta并聯機構為例,與傳統的全局可達空間優化方法相比,利用本文新方法時,指定空間的LTImax從0.850 3提高到0.982 6,LTIave從0.672提高到0.7971,新優化方法的有效性得到充分證明。該方法適用于并聯機構指定任務空間下的尺度參數優化。下一步將考慮利用智能算法提高計算效率,使其更適用于并聯機構的尺度參數優化問題。