Rosenau-KdV-RLW 方程的高精度線性化差分格式

易莉佳，陳 舉，胡勁松

（西華大學理學院,四川 成都 610039）

1 預備知識

Rosenau-KdV-RLW 方程[1-3]

作為非線性淺水波的一個重要模型有著廣泛的應用，文獻[1-3]研究了它的孤波解和不變量，其數值方法研究也備受關注[4-14]。本文考慮如下一類Rosenau-KdV-RLW 方程初邊值問題：

文獻[4-5]對問題（2）—（4）分別提出了擬緊致線性格式和加權線性格式，文獻[7-8]在時間層進行線性化離散，分別建立了新的三層和兩層線性化差分格式，提高了數值求解的效率，但理論精度都只達到2 階。為了進一步提高數值方法的理論精度，本文在時間層對非線性項uux進行線性化外推離散，在空間層進行外推組合離散，從而對問題（2）—（4）構造了一個理論精度為O(τ2+h4)的三層線性化數值差分格式，利用離散泛函分析方法和數學歸納法不僅證明了其差分解的存在唯一性，還證明了該差分格式的收斂性和穩定性。最后數值實驗證明該差分方案是有效的。

2 差分格式及其可解性

在時間層和空間層分別進行外推數值離散，對問題（2）—（4）構造如下三層外推有限差分數值求解格式：

定理1當取時間步長 τ足夠小時，線性差分格式（5）—（8）的數值解是唯一存在的。

證明：由式（6）和式（7）知，顯然U0和U1是線性差分格式（5）—（8）的數值解?，F假設Un-1和Un（n≤N-1）是唯一存在的，則

考慮式（5）中的未知層Un+1對應的齊次線性方程組，有

以Un+1對式（10）取內積，由式（8）、式（9）和引理1，并利用分部求和公式[16]，并且注意到

取時間步長 τ足夠小，使得當 (1-Cτ)>0時，關于Un+1的齊次線性方程組（10）有且僅有唯一零解，于是關于Un+1的非齊次線性方程組（6）的解是唯一存在的。從而由歸納假設知，線性有限差分格式（5）—（8）的數值解是存在且唯一的。

3 差分格式的收斂性和穩定性

將外推線性化有限差分數值格式（5）—（8）的截斷誤差定義為：

且由Taylor 展開公式顯然有，當h,τ →0時

引理2[7]假設u0∈H2，初邊值問題（2）—（4）的連續解滿足如下估計式：

定理2假設u0∈H2，若空間步長h和時間步長τ足夠小，則外推線性化差分格式（5）—（8）的數值解Un以范數 ‖·‖∞收斂到初邊值問題（2）—（4）的連續解，此時收斂階為O(τ2+h4)。

證 明記，用（12）—（15）式減去（5）—（8）式，可得

根據截斷誤差式（16）和引理2 可知，存在與空間步長h和 時間步長 τ都無關的常數Cu和Cr,滿足

再根據式（19）以及初始條件（6）可得估計式：

將式（18）兩端與e1作內積，再由邊界條件（20），得

于是根據式（16）和Cauchy-Schwarz 不等式以及引理1 可以推出

其中C1是 與 τ 和h無關的常數。

假設

其中Cl(l=2,3,···,n)為與空間步長h和 時間步長 τ都無關的常數。利用Cauchy-Schwarz 不等式，再由離散Sobolev 嵌入不等式[16]有

并由離散分部求和公式[16]，整理得

根據微分中值定理，結合引理2 有

此時取 τ 和h充分小，使得

于是，由引理1、引理2 和式（25）、式（27）、式（28），利用Cauchy-Schwarz 不等式有

同理可得

將式（29）—式（31）代入式（26），整理得

將式（32）兩端同時乘以τ，從1到n遞推求和，再根據引理1 整理可得

又根據式（21）、式（23）有

最后再根據離散的Sobolev 不等式[16]，即得

定理3假設u0∈H2，如果空間步長h和 時間步長 τ充分小，那么外推線性化有限差分格式（5）—（8）的數值解滿足如下估計式：

證明由定理2 的結論，當時間步長 τ和空間步長h足夠小時，有

由定理3 可知，如果時間步長 τ和空間步長h足夠小，外推線性化有限差分格式（5）—（8）的數值解Un以范數 ‖·‖∞關于初始值絕對穩定。

4 數值實驗

Rosenau-KdV-RLW 方程（1）的孤立行波解[7]為

為了驗證本文外推線性化有限差分算法的可行性，取初值函數u0(x)=u(x,0)進行數值模擬求解，固定xL=-30，xR=120，T=40。為了驗證差分格式（5）—（8）對函數u(x,t)數值求解時在不同范數下的理論精度為O(τ2+h4)，分別定義

就 τ 和h的 不同取值，外推線性化有限差分格式（5）—（8）的數值解在不同時刻的誤差及其對理論精度的數值檢驗見表1—表2。

表1 不同時刻數值解的誤差Tab.1 Error of numerical solution at different time

表2 對格式的理論精度O (τ2+h4)的數值模擬Tab.2 Numerical example of the scheme on theoretical precision O(τ2+h4)

數值結果表明，本文對初邊值問題（2）—（4）所提出的外推線性化有限差分數值格式（5）—（8）是有效的。更為重要的是，該格式是線性的，計算時間比較節約。