基于板-梁理論的槽形截面薄壁桿件組合扭轉能量方程與有限元驗證

張文福,李沐陽,郭雪妞,邵琰皓,黃 斌,計 靜,劉迎春

(1. 蘇州科技大學土木工程學院, 江蘇 蘇州 215031;2. 安徽建筑大學土木工程學院, 安徽 合肥 230601;3. 南京工程學院建筑工程學院, 江蘇 南京 211167;4. 東北石油大學土木建筑工程學院, 黑龍江 大慶 163318)

薄壁桿件以其優秀的材料力學性能及經濟性能被廣泛運用于航天、航海、建筑等領域.組合扭轉問題是薄壁構件在工程中極為重要的理論問題.從力學本質上看,任何薄壁構件的扭轉都屬于組合扭轉問題,即約束扭轉和自由扭轉并存.文獻[1]研究了開口薄壁桿件約束扭轉的經典理論;文獻[2]借鑒傳統薄壁桿件理論推導出直接邊界元公式,并給出不同扭矩載荷和邊界條件下的數值結果;文獻[3]對冷彎薄壁開口截面鋼梁的純彎受力問題進行研究,在試驗中解釋了梁在受到純彎作用情況下會繞著剪切中心扭轉的現象,并給出了影響扭轉彎矩的因素;文獻[4]采用三種分析薄壁結構梁的有限元方程解釋了面外翹曲現象,通過模擬薄壁結構梁模型在純扭轉和彎扭耦合作用下的響應,驗證了提出的有限元表達式的準確性;文獻[5]基于Vlasov理論建立一階扭轉理論來研究薄壁開口梁的約束扭轉,并用半逆解法推導了圣維南自由扭轉的表達式;文獻[6]在傳統開口薄壁桿件中考慮了剪切變形的影響,驗證了修正剪切變形后數據的正確性;文獻[7]提出一種把薄壁桿件截面進行拆分計算的理論方法,簡化了截面畸變狀態下的薄壁桿件力學模型,與基于殼單元的ANSYS軟件模型分析結果吻合良好.

Vlasov薄壁構件理論是滿足工程需要的一種近似工程理論.由于Vlasov引入扇性坐標的概念,因而僅適合分析單一材料薄壁構件約束扭轉問題,并不適合彈塑性階段的單一材料的結構構件屈曲分析,用于彈性階段組合薄壁構件(如鋼-混凝土組合梁)的屈曲分析會造成較大誤差.

目前,在薄壁桿件理論研究領域,Euler梁理論和Kirchhoff板理論(簡稱板-梁理論)已取得眾多理論研究成果[8-13].本文采用板-梁理論研究單軸對稱槽形截面薄壁桿件組合扭轉問題,并通過有限元模擬驗證本文理論的正確性.

1 槽形截面梁的組合扭轉理論研究

1.1 板-梁理論簡介

板-梁理論的基本假設:

1) 平截面假設,即梁發生扭轉變形時截面形狀不變,據此可以確定板件形心的橫向位移;

2) 變形分解假設,即每塊板件的變形可以分解為平面內變形和平面外變形,對于開口構件,與此對應的縱向位移、應變能和初應力勢能可分別按Euler梁力學模型和Kirchhoff板力學模型確定.

板-梁理論采用兩套坐標系描述截面任意點的變形,這與Vlasov關于薄壁桿件問題的研究方法類似,整體坐標系與局部坐標系均符合右手法則,分別為oxyz軸、onsz軸.將整體坐標系的原點置于整體截面形心,局部坐標系的原點置于各板件的形心.槽鋼截面坐標系設置與截面變形如圖1所示.圖1中:bf為翼緣寬度;tf為翼緣厚度;hw為腹板高度;tw為腹板厚度;E、G、μ分別為腹板與翼緣的彈性模量、剪切模量、泊松比;C、S分別為截面的形心、剪心,S在整體坐標系中的坐標為(0,y0);ay為上翼緣與剪心的距離;ef為上翼緣形心與截面形心的距離;ew為左右腹板形心與截面形心的投影距離;θ為梁發生扭轉變形時截面產生的扭轉角.

(a) 坐標系及符號

1.2 截面的形心與剪心

1) 形心的求解,根據合力矩為0的條件,圖1中形心到上翼緣的距離為:

ef=Aw(hw+tf)/(Af+2Aw)

(1)

式(1)與材料力學的截面形心表達式一致.

2) 剪心的求解,上翼緣及左右腹板的形心不在一條線上,導致剪心位置存在偏移,當懸臂梁末端受到單位扭矩作用時,槽形截面的變形并非繞著自身形心扭轉,其扭轉中心距板件形心有一定偏移,傳統理論扭轉剛度推導中令剪心S(0,y0)與臨近板件中線距離為ay,由圖1可見,y0=-ef-ay,對截面剪心的求解即是對未知數ay的求解.

1.3 槽形截面的能量變分模型

1.3.1 板件截面任意點的位移

在求解變形應變能時可將三塊板單獨進行分析求解.以上翼緣為例,在整體坐標系下,其形心坐標為(0,-ef),上翼緣板件任意點坐標為(s,-ef-n),上翼緣變形產生的位移可表示為:

α=2π,x-x0=s,y-y0=ay-n

(2)

(3)

式中,rs、rn為板件剪心到s、n軸的距離;

(4)

式中,vs、vn為板件任意點沿s、n軸的距離.

上翼緣形心的橫向位移(沿上翼緣n、s軸)和縱向位移(沿梁縱向z軸)為:

(5)

根據變形分解原理,可將變形分解為面內變形與面外變形:

(6)

1.3.2 板件面內扭轉產生的應變能

(7)

上翼緣板沿局部坐標寬度方向s軸的位移為:

vf=-ayθ

(8)

縱向位移按整體坐標z軸考慮,需要根據Euler梁力學模型確定:

(9)

采用相同方法對槽形截面另外兩塊板件進行分析.Vlasov在傳統理論中求解主扇形極點和主扇形零點時采用N=Mx=My=0這一條件,即開口截面薄壁桿件僅受有扭轉作用荷載時滿足條件:在其任何橫截面上只產生扭矩,不產生軸向力,且對截面整體坐標系兩軸也不產生彎矩.其中軸向力和彎矩的表達式為:

(10)

在板-梁理論求解槽形截面的組合扭轉問題時,采用類似的方法,以軸向力的求解為例,三塊板的軸向力之和為:

(11)

由式(10)的方程組可求出三塊板件局部坐標n軸方向的側移未知數解.把所得結果代入式(7)中,可求出其應變表達及面內彎曲應變能.以上翼緣為例,其面內彎曲應變能表達式為:

(12)

1.3.3 剪心的求解

三塊板件的相交處在理論上是耦合的,以右上角為例,有:

(13)

式中,sf、sw分別為板件在局部坐標s軸方向的位置.

右上角的位移變形協調,即上翼緣的右端與右腹板的上端應變相等,由式(13)可推導出板-梁理論的槽形截面剪心表達式:

(14)

傳統理論推導出的槽形截面剪心表達式為:

(15)

表1 板-梁理論ay與傳統理論剪心計算結果

1.3.4 板件面外應變能的求解

依據變形分解原理,以上翼緣為例,對板件的變形位移進行分解.沿局部坐標厚度方向s軸的位移為:

uf(s,z)=-sθ

(16)

沿局部坐標寬度方向n軸的位移為:

vf(n,z)=nθ

(17)

縱向位移(沿z軸的位移)依據Kirchhoff薄板模型來確定,即:

(18)

由板-梁理論得到上翼緣面外應變能為:

(19)

運用類似方法,可求出左、右腹板應變能表達式.

1.3.5 總應變能

槽形截面梁的總應變能簡化為單變量的組合扭轉表達式為:

(20)

用傳統理論推導出的槽形截面自由扭轉慣性矩、約束扭轉慣性矩表達式為:

(21)

式中:h為截面的高;b為截面的寬;t為板件的厚度;d為當選擇剪心為扇形極點時,左、右腹板在傳統理論扇性坐標中位移為0處的點到上翼緣中面的距離.

表2為板-梁理論與傳統理論截面常數計算結果.由表2可見,4組截面參數兩種理論計算得出:自由扭轉慣性矩相等;約束扭轉慣性矩的對比誤差較小,且當截面尺寸越接近薄壁桿件時,其誤差越接近于0.

表2 板-梁理論與傳統理論截面常數計算結果

1.3.6 總勢能方程

在z=L處作用一集中扭矩,則鋼梁的總勢能為:

Π=U+V=U=

(22)

平衡微分方程為:

EIwθ(4)-GJkθ″=0

(23)

對于懸臂梁的邊界條件,方程解為:

(24)

令z=L可得出端部轉角的表達式為:

(25)

2 槽形截面梁的組合扭轉有限元驗證

2.1 槽形鋼懸臂梁組合扭轉的有限元驗證

為確保有限元模擬的正確性,以文獻[7]中的案例建立有限元模型.圖2所示為兩端固定的槽鋼,彈性模量為210 kN/mm2,泊松比為0.25,集中荷載1 kN作用于跨中形心正上方,在有限元軟件ANSYS中運用SHELL181進行模擬,剪心處扭轉角最終計算結果為3.667×10-4rad.

圖2 兩端固定槽鋼的受力情況(mm)

運用本文建立的ANSYS模型,施加文獻[7]中的邊界條件及荷載,由圖3可見,剪心處扭轉角的最終計算結果為3.66×10-4rad,和文獻[7]結果一致,驗證了本文建立有限元模型的正確性.

圖3 ANSYS模型施加文獻[7]邊界條件及荷載的計算結果

在此基礎上,選取多組槽形截面梁尺寸進行有限元建模,材料為鋼材,彈性模量為2.06×1011N/m2,泊松比為0.3.在有限元建模時,為模擬出懸臂梁邊界條件,約束懸臂梁的固定端6個自由度,自由端施加1 kN的單位扭矩,同時在施加端部扭矩的截面設置接觸單元CONTA175和TARGE170以保證模型受力變化的均勻,采取CERIG命令模擬剛周邊的假定,在同一截面中選取一點作為主節點以保證截面的整體扭轉,端部約束及荷載施加如圖4所示、截面剛性區域定義如圖5所示;整體變形和L/2處截面變形模擬結果如圖6、圖7所示.

圖4 端部約束及荷載施加

圖5 截面剛性區域定義

圖6 整體變形圖

圖7 L/2處截面變形圖

2.2 槽形鋼懸臂梁組合扭轉有限元模型收斂性分析

通過網格劃分精細化檢查有限元模型的收斂性,結果如表3所示.由表3可見,隨著網格劃分的密度增加,轉角θ′逐漸收斂,證明了該模型的模擬結果具有參考價值.

表3 有限元網格細化對結果的影響

2.3 理論計算與有限元模擬結果對比

采用不同的算例進行理論計算和有限元模擬,結果如表4所示.由表4可見,對于等厚度的槽形截面梁,當高跨比為6時,理論計算θ與有限模擬θ′結果誤差為-4.85%,當槽形梁的高跨比變大時,θ與θ′誤差減小;對于翼緣與腹板非等厚的槽形截面梁,當高跨比為6時,θ與θ′誤差為-4.41%,與等厚截面梁類似,其θ與θ′誤差隨高跨比增大而逐漸減小.

表4 槽型截面懸臂梁扭理論計算θ和有限元模擬θ′結果

本文選取兩組不常見的截面,通過理論計算與有限模擬對比,發現其誤差保持在較小的合理范圍內.通過多組數據的對比,驗證了本文方法在進行槽型截面相關問題研究時具有較廣泛的適用范圍,結果具有一定的正確性.

3 結論

1) 本文基于板-梁理論推導得出槽形截面薄壁桿件懸臂鋼梁的組合扭轉總勢能表達式及槽形截面的約束扭轉剛度、自由扭轉剛度表達式,基于能量變分模型以及微分方程模型得出槽形懸臂鋼梁的扭轉角表達式;

2) 利用ANSYS有限元分析軟件的SHELL181單元建立有限元模型,在保證模型正確性的前提下,經過對比可知,該單元適用于薄壁構件的相關理論模擬分析,與理論計算對比可知,在懸臂梁的自由端施加接觸單元可以有效提高有限元的模擬計算精度,且其后處理結果不會發生畸變變形.

3) 推導出槽形截面的形心表達式、剪心表達式,其中形心表達式采用合力矩為0的條件求解,剪心表達式根據三塊板件的軸力以及彎矩為0的條件求解,通過多組截面尺寸的對比得出,形心的理論計算與有限元的截面特性完全相同,而剪心表達式與傳統理論得出的表達式形式上一致,剪心的誤差最大絕對值為2.81%,證明了本文采用的形心、剪心求解方法的正確性,在求解類似的截面形心、剪心時,具有理論參考價值.