多尺度熵方法在機械故障診斷中的應用研究進展

鄭近德 ，姚殷柔 ，潘海洋 ，童靳于 ，劉慶運

(安徽工業大學 機械工程學院, 安徽 馬鞍山 243032)

裝備制造業是我國國民經濟發展的支柱，航空發動機、飛行器、大型風力機、高速列車、大型旋轉機械等在裝備制造業中扮演著舉足輕重的角色。一旦這些設備發生故障或失效，將會帶來嚴重的經濟損失甚至人員傷亡。因此，對裝備進行健康狀態監測與早期故障預警，可為裝備的安全可靠運行提供重要技術保障，具有重要的現實意義。

“十四五”時期，我國機械工業在面對諸多挑戰的同時需牢牢抓住發展機遇，立足裝備制造業本質，推進新型工業化。根據《“十四五”智能制造發展規劃》中智能制造技術攻關戰略，在進行機械裝備狀態檢測和智能故障診斷時，需重點關注故障特征的表征與提取這一關鍵技術的革新與突破，讓科技創新更好地助力智能制造水平提升。在實際機械系統中，故障振動信號中含大量噪聲干擾，其動力學規律一般具有很強的非線性，傳統的非線性系統分析指標如均值、方差、峭度、偏斜度、峰值、波形因子等難以有效提取故障特征信息，因此需采取新的指標對信號的系統性質或動力學規律進行分析。熵是熱力學的概念，最初用于刻畫系統所處狀態的無序性和混亂程度。后來，相關學者將熵的概念進行推廣和泛化，相繼發展了信息熵[1]、KS 熵[2]、近似熵[3]、樣本熵[4]、排列熵[5]、模糊熵[6]、散布熵[7]、符號熵[8]、動力學熵[9]等。

單一尺度的熵值無法準確表征時間序列的復雜性特征，甚至會得到似是而非的結論?；诖?，提出了多尺度熵的概念，并將單一尺度熵推廣到多尺度框架，提出用多尺度熵[10]、多尺度模糊熵[11]、多尺度排列熵[12]、多尺度散布熵[13]、復合多尺度熵[14]、廣義復合多尺度熵[15]、廣義復合多尺度模糊熵[16]、廣義復合多尺度排列熵[17]等來表征時間序列在不同尺度下的復雜性程度。為了利用多源多測點振動信號信息，通過多源信息融合技術實現故障復雜性特征的提取，進一步將多尺度熵擴展到多變量多尺度框架，相繼發展了多變量多尺度熵[18]、多變量多尺度模糊熵[19]、多變量多尺度散布熵[20]等多通道信號復雜性量度方法?；诙喑叨褥丶跋嚓P方法建立的非線性動力學指標能夠提取蘊藏在振動信號中的非線性故障特征信息，相關學者將其引入到機械狀態監測與故障診斷中，并針對滾動軸承、齒輪箱、液壓系統、轉子系統等，提出了一系列健康狀態監測與早期故障診斷方法。鑒于此，對單尺度熵、多尺度熵和多變量多尺度熵等相關方法在機械故障診斷中的應用進行綜述，分析多尺度熵相關理論在機械故障診斷中面臨的問題挑戰，并對其發展方向進行展望，以期對開發并實用化多尺度熵結合其他技術的故障診斷模型具有一定的指導意義。

1 基于熵的復雜性理論方法

受工況及工作環境影響，設備故障振動信號往往表現出非線性和非平穩特征。因此，如何從這類非線性振動數據中提取出能夠反映設備狀態的特征信息是設備運行狀態監測與評估的關鍵。熵作為一種時間序列復雜度的度量手段，常用于量化信號中信息的不確定性和混亂程度。為探討滾動軸承性能評估、壽命預測、齒輪可靠性設計和故障識別等問題，需建立敏感、穩定的狀態特征和性能評估指標。相關學者[11-13]將熵理論引入到設備故障診斷領域，定量表征時間序列統計意義下的復雜性程度(圖1)，并取得了良好的應用效果。

圖1 正常與損傷軸承振動信號的熵值變化對比Fig.1 Entropy change comparison of the normal and damage bearings

1.1 香農熵

香農熵(shannon entropy，ShanEn) 又稱信息熵，由信息論之父香農提出，用來測量隨機系統中的不確定性[1]。信號ShanEn 值的大小可用來判斷信號的有序性程度。一般地，信號的隨機性越小，Shan-En 越小，信號的時頻分布越集中；信號的隨機性越大，ShanEn 越大，信號的時頻分布越分散[21]。文獻[22]基于小波包分解與ShanEn，提取出能夠反映故障特征的頻帶能量，選擇ShanEn 值較小的子頻帶信號進行分析，成功診斷出發動機活塞銷的不同故障類型。方桂花等[23]基于變分模態分解與ShanEn，從分解的分量中提取出故障特征信息，成功識別出軸承故障位置。楊曉雨等[24]提出了基于集合經驗模態分解、ShanEn 和Choi–Williams 分布的齒輪箱故障診斷方法，根據ShanEn 篩選得到的固有模態分量能有效表征故障信息，采用Choi–Williams 分布放大故障特征，實現了齒輪箱局部故障的有效識別。受ShanEn的啟發，在此基礎上，先后提出了近似熵、樣本熵、模糊熵、排列熵等概念，用來衡量系統或時間序列的復雜性程度。

1.2 近似熵

近似熵(approximate entropy，ApEn) 是用來衡量系統復雜性的非線性動力學參數，ApEn 的計算可理解為求取一個時間序列在模式上的自相似程度。ApEn 采用1 個非負數來表示時間序列的復雜性，熵值越大，規律性越??；反之，熵值越小，時間序列越有序。對于隨機過程，系統的復雜性會隨控制參數的變化而變化。ApEn 的優勢在于能夠從少量數據中辨別不斷變化的復雜性[25]，且抗干擾力較強。Wang等[26]指出，ApEn 已被證明是機器系統健康狀態的有效度量；Yan 等[27]首次將ApEn 方法引入到機器健康檢測應用中，結果表明ApEn 能有效表征機器系統的退化程度；劉義亞等[28]將ApEn 與局部特征尺度分解結合，將分解得到的多個模態函數的ApEn 作為特征值，實現了對旋轉機械的故障診斷。

1.3 樣本熵

2000 年，針對ApEn 包含自匹配、受時間序列長度影響較大等不足，Richman 等[4]在近似熵的基礎上提出了一種新的時間序列復雜度度量方法——樣本熵(sample Entropy，SampEn)。從SampEn 的定義可看出，SampEn 的計算與嵌入維數m、相似容限r和數據長度N有關。如果信號中的噪聲幅值小于相似容限r，那么噪聲將被抑制。當原時間序列中存在較大的瞬態干擾時，干擾產生的數據(即所謂的“野點”)將在閾值檢波中被去除。因此，SampEn的計算具有較強的抗噪和抗干擾能力，同時計算不依賴于時間序列數據長度，對非線性非平穩信號的處理表現出相對一致的優勢[29]。張韋等[30]利用集合經驗模態分解和小波分析對滾動軸承的振動信號進行分解降噪，將篩選出的主要固有模態分量的SampEn 作為特征向量，輸入至SVM 模型進行識別，故障識別率達97.5%，實現了對風機軸承故障特征信息的提取。唐登平等[31]針對電磁式電流互感器故障診斷效率低、準確率不高的問題，將變分模態分解和SampEn 結合提出的特征指標可用于電磁式電流互感器故障診斷。

1.4 模糊熵

SampEn 和ApEn 因采用階躍函數定義時間序列模板的相似度，導致熵值缺乏連續性且易發生突變[11]，這是由于單位階躍函數具備二態分類器的性質所致?，F實世界中，各類之間的邊緣往往較模糊，很難確定輸入樣本是否完全屬于其中一類。對此，陳偉婷等[6]引用模糊函數定義相似度公式，將相似度模糊化處理，提出模糊熵(fuzzy entropy，FE)的概念，模糊函數的指數形式使得FE 表現為隨參數的變化而連續平滑變化。杜福嘉等[32]將FE作為特征提取指標，用來描述設備故障狀態信號的相似性，結果表明基于FE 的故障特征提取方法能夠準確和穩定地識別故障特征；肖永茂等[33]采用INV 數據采集系統采集三相異步電動機故障狀態振動信號，將FE 與支持向量機相結合用于進行故障診斷，能夠精確地識別異步電機的不同故障類型；張燕珂等[34]提出一種基于變分模態分解、FE和支持向量機的故障診斷方法，有效識別出高壓斷路器的故障狀態。

1.5 排列熵

排列熵(permutation entropy，PE)是一種用于描述一維非線性時間序列動態變化的熵算法，充分考慮了時間序列本身所具有的空間特性，對機械系統響應信號的微小變化具有較強的敏感性[5]。PE 計算過程考慮狀態向量中元素的排序模式，熵值反映時間序列的復雜性。因PE 兼具算法簡單、計算過程高效等優點，被廣泛用于設備動力學信號的復雜度分析中。鐘勇等[35]將PE 用于滾動軸承退化程度評估與識別，與SampEn 相比，PE 的魯棒性能更優；丁闖等[36]將PE 用于行星齒輪箱故障振動信號的特征提取，PE 對突變信號敏感，能識別行星齒輪箱不同故障類型信號特征；胡愛軍等[37]提出一種基于固有時間尺度分解和PE 的特征提取方法，并用于行星齒輪箱故障實驗數據分析，結果表明所提方法能有效診斷和識別齒輪箱不同故障狀態和程度。

1.6 條件熵

條件熵(conditional entropy，CE)是在給定一組觀測變量的條件下，量度另一組新的隨機變量的不確定性方法[38]。對于多元組系統，CE 考慮條件屬性和決策屬性之間的特征關系[39]。CE 包括一般信息熵特性，也反映事件發生之間的內在相關性?？紤]到現實中設備狀態之間也存在一定的相關性，相關學者將CE 引入異常檢測。皮安云等[40]在彈載數傳電臺設備故障診斷中引入CE，實現了不同故障模塊的有效識別；陳幼芬[41]將CE 用于航空無線電設備故障診斷中；張光軼等[42]以某型機載電臺設備為診斷對象，通過計算差別矩陣中除相對核以外元素與相對核中元素的CE 得出屬性重要度，求出相對約簡的過程；包紅燕等[43]提出了基于屏蔽經驗模式分解(masking empirical mode decomposition，MEMD)和CE 相空間重構的軸承故障診斷方法，CE 方法用于重構參數的求取時不但降低了計算量，且可準確得到最佳嵌入維數和延遲時間，能有效提升滾動軸承故障的識別效果。

1.7 散布熵

相比于排列熵，散布熵(dispersion entropy，DispEn)在計算過程中考慮 信號的幅值大小關系，同時兼具計算速度快、不易受突變信號影響的優點，是衡量時間序列不確定性和復雜度的一種新指標。Rostaghi 等[7]將DispEn 引入設備振動信號的檢測，分別用于檢測不同齒輪故障、滾動軸承故障診斷和軸承退化狀態特征的表征。鑒于DispEn 在旋轉機械特征提取及故障診斷應用中的良好效果，周怡娜等[44]將變分模態分解(variational modal decomposition，VMD) 與DispEn 相結合用于對管道聲波信號特征的提取，且驗證了DispEn 特征提取相較于其他方法的優越性；趙海峰等[45]將DispEn 作為一種非線性特征提取方法用于往復壓縮機故障診斷中，提取到正常、閥片斷裂與彈簧失效3 種不同狀態的實測振動信號，從魯棒性和穩定性方面驗證了散布熵在往復壓縮機氣閥故障特征提取的適用性；Chen 等[46]、李從志等[47]結合層次分析法和散布熵，提出了層次散布熵，并基于層次散布熵和最鄰近算法(K-nearest neighbor，KNN) 分類器進行滾動軸承故障診斷，實現了滾動軸承故障位置和程度的精確識別。

1.8 譜熵

譜熵(spectral entropy，SpectEn) 從結構復雜度分析出發，基于短時傅里葉變換對時間序列進行時頻轉換，從而轉換分析變換域內的能量特征[48]，相比行為復雜度分析更具有全局意義。SpectEn 計算速度快，常用于設備中突變信號的檢測[49]。SpectEn 越小，時間序列的頻譜結構越簡單，則信號的規律性越強，否則信號的隨機性越強。孫德建等[50]通過數學形態梯度運算，結合SpectEn 理論，提出一種基于數學形態梯度譜熵的結構復雜度分析方法，應用于滾動軸承早期故障診斷，可將原始信號不易被檢測的微弱信息進行放大，能有效表征滾動軸承性能退化趨勢的能力；崔科杰等[51]結合小波包分解技術和譜熵原理，計算出機電故障信號各頻帶的SE，并作為特征向量輸入支持向量機模型進行診斷識別，試驗結果表明，所提方法能準確識別機電設備不同故障類型；別鋒鋒等[52]結合Hilbert 包絡解調，譜熵原理和支持向量機，提取出曲軸軸系的故障能量分布特征，實現了曲軸故障模式的識別。

1.9 小波熵

小波熵(wavelet entropy，WE) 是基于小波分析理論[53]，根據信號時頻域包含的能量衡量信號的復雜性而定義時間序列復雜性特征的表征指標。劉倩等[54]研究表明，WE 可自適應地確定信號變換域上各尺度的閾值，能夠實現機械設備狀態信號的有效提??；歐陽乾等[55]采用WE 診斷出電機的故障類型；趙肇信等[56]提出一種基于WE 和支持向量機分類器的故障診斷方法；隋文濤等[57]通過將WE 引入到旋轉機械故障特征提取與故障診斷中，并采用自適應神經模糊推理系統進行分類診斷，得到了更加精確的診斷結果。

1.10 符號動態熵

符號動態熵(symbolic dynamic entropy，SDE)是由Li 等[58]提出的一種新的動力學特性評估方法，SDE 對時間序列進行符號動態濾波，能有效去除信號的不相關噪聲，具有良好的抗噪性。SDE 不但克服了SE 和PE 的缺點，且繼承了他們的優點，在分析具有幅度和頻率信息的振動信號具有更好的性能[59]。張華等[60]采用基于SDE 和支持向量機相結合的方法，精確提取出液壓泵不同振動信號的故障特征?，F有的SDE 方法僅考慮狀態模式向量對故障特性的影響，沒有考慮狀態模式向量之間的相關性。為此，Xue 等[61]結合安全模糊評價體系，改進SDE，即雙符號動態熵方法(double symbolic dynamic entropy，DSDE)，研究特定狀態模式向量前后雙符號變化對熵值的影響；Li 等[62]通過引入層次分析提出層次符號動態熵，將其用于提取高頻分量中的故障信息，并與多尺度樣本熵、層次樣本熵、多尺度排列熵、層次排列熵等方法進行對比，結果表明其對滾動軸承早期故障類型的識別效果最好。

在上述方法的基礎上，相關學者相繼提出其他熵參數，如時頻熵[63](time frequency entropy，TFE)，能量熵[64](energy entropy，EE)，交叉熵[65](cross entropy，CroEn)，分布熵[66](distribution entropy，DistEn），增量熵[67](increment entropy，IE)，斜率熵[68](slope entropy，SlopEn)，注意力熵[69](attention entropy，AttnEn）等，相關方法匯總如表1。

表1 熵方法研究論文及其相關特點Tab.1 Research papers and related features of entropy theories

2 多尺度熵在故障診斷中的應用

傳統的熵方法均可作為時間序列復雜度的度量手段，單一尺度熵方法在進行特征提取時只能分析單個時間尺度的信號，忽略時間序列其他時間尺度上的有用信息。為此，相關學者結合粗?；^程提出多尺度熵的概念，并在此基礎上提出一系列改進方法。相關方法已成功用于設備故障診斷，如滾動軸承振動信號分析、齒輪信號的特征提取、不同等級的滾子軸承故障識別、生成斷路器的聲紋特征、預測待測設備的剩余使用壽命、構建旋轉類機械設備預警模型等，這些結果有力支持了工程實際案例下的一般復雜性損失理論。對于軸承故障研究，目前常作為試驗使用的數據集有帕德博恩大學開放試驗軸承數據集、航空發動機雙旋翼試驗臺數據、凱斯西儲大學電機軸承故障數據等；對于齒輪箱故障研究，涉獵領域如采煤機搖臂齒輪箱、定軸傳動齒輪箱、多排行星齒輪箱體等。

2.1 多尺度熵

2002 年，Costa 等[10]提出了多尺度樣本熵(multiscale sample entropy，MSE)，MSE 通過粗?；^程(也稱移動平均濾波器)實現時間序列多尺度化；再分別計算每個尺度因子上的樣本熵值，從不同尺度全面量度時間序列的復雜度。尺度因子為1 時，多尺度熵方法即計算原始時間序列的熵值。在多尺度上，熵值計算將對原始時間序列(長度為N)進行分割處理。粗?；^程中用長度等于尺度因子τ 的非重疊小窗口劃分時間序列，對每個小窗口取均值，得到新的長度為N/τ 的時間序列。對于尺度因子τ(τ≥2)，重復操作上述粗?；^程τ 次，共得到τ 組新的時間序列，每組均包含原始時間序列的動態特征信息。給定長度為N的隨機信號 {Xi}={x1,x2,···,xN}，建立粗?；瘯r間序列yi。

τ=1 時，粗?；瘯r間序列即為原始時間序列。相比于單一尺度熵方法，多尺度熵分析量化熵與尺度因子之間的相互依存關系，評估系統的動態復雜性。靳震震等[70]將MSE 引入到列車軌道轉向架軸承的振動信號特征提取中，并與單一尺度的SE 方法進行對比，結果表明MSE 能有效提取滾動軸承故障特征，且優于SE 方法。但SE 存在突變問題，熵值缺乏連續性，這種問題在多尺度方面依然存在。因此相繼提出了多尺度散布熵[13](multiscale dispersion entropy，MDE)、多尺度模糊熵[11](multiscale fuzzy entropy，MFE)、多尺度排列熵[12](multiscale permutation entropy，MPE)、多尺度增量熵[71](multiscale increment entropy，MIE)等多尺度熵方法，并將他們引入到設備故障診斷，新提出的多尺度熵方法繼承了MSE 關于時間尺度的理論基礎，同時增加了其他傳統熵方法的優勢。武哲等[12]利用MPE 對不同狀態下的行星齒輪箱進行分析，試驗表明MPE 可有效診斷多排行星齒輪系統的故障類型；鄢小安等[72]在DispEn 的基礎上，結合層次分析法和多尺度理論提出層次多尺度散布熵，且在軸承故障模式與故障程度識別中進行驗證，結果表明識別精度得到了較大的提升；鄭近德等[11]將MFE 引入滾動軸承故障診斷，結合多故障支持向量機分類器，能有效識別滾動軸承的故障類型。

2.2 復合多尺度熵

在上述粗?；^程中，原始時間序列隨著粗?；叨纫蜃拥脑龃蠖鴾p小，時間序列的長度變化會引起熵值的突變情況，且會導致熵值計算出現較大偏差[73–74]。因此需改進MSE，特別是關于時間尺度的定義，這歸功于其理論基礎，如復合多尺度熵(composite multiscale sample entropy，CMSE) 即在MSE 的粗?；^程基礎上結合時移操作克服傳統MSE 中存在的短時間序列分析問題；精細復合多尺度熵(refined composite multiscale sample entropy，RCMCSE)與CMSE，MSE 的計算區別在于生成粗?；蛄泻?，先計算各尺度下的向量平均概率，再得出熵值，因此相比傳統的MSE 方法，其得到的概率值補充了特征信息，進一步減小了誤差、增加了熵值的可靠性。此外，與MSE 方法相比，CMSE 和RCMSE 方法在分析短時序列時表現均更優，但當時間序列較長時，RCMSE 計算成本將大幅增加。因此在進行仿真試驗或實際工程案例分析時應根據具體情況選擇合適的特征提取方法。

為反映振動信號在不同尺度下的復雜程度、克服傳統多尺度粗?；瘜е滦畔G失的缺陷，Wu等[14]提出了復合多尺度過程，將粗?；^程與時移過程結合，從而減小粗?；^程中估計熵值的方差。其中，時移過程就是給定時間間隔，在時間序列上進行時移，構建多個時移序列，在確保特征信息不丟失的條件下，克服多尺度過程中存在的短時間序列分析問題。鄭近德等[75-77]提出了復合多尺度模糊熵(composite multiscale fuzzy entropy，CMFE)、復合多尺度排列熵(composite multiscale permutation entropy，CMPE)、復合多尺度散布熵(composite multiscale dispersion entropy，CMDE)等方法，將他們用于滾動軸承振動信號的復雜性分析，不僅能解決單一尺度熵提取信號復雜性特征不完全的問題，且與傳統粗?；喑叨褥胤椒ㄏ啾?，其穩定性更好。鑒于Azami 等[78]提出的波動散布熵的優越性，Gan 等[79]提出了基于復合多尺度波動散布熵，最小冗余度最大相關性(minimum redundancy maximum relevancy，mRMR)方法和KNN 算法的滾動軸承故障診斷模型，對比其他多尺度熵方法，所提方法不僅可合成多個粗粒度序列的信息，還能降低熵估計的標準差，且具有最高的平均識別精度。

針對CMSE 和MSE 不能解決未定義的熵的問題，Wu 等[80]提出RCMSE 的概念，并采用仿真試驗驗證RCMSE 的優勢。此外，RCMSE 在熵估計精度、數據長度獨立性和計算效率方面也具有一定的優越性。王金東等[81]針對往復壓縮機故障信號呈非線性和非平穩等特點，提出基于精細復合多尺度模糊熵(refined composite multiscale fuzzy entropy，RCMCFE)的往復壓縮機軸承間隙故障特征提取方法，將提取的特征輸入支持向量機分類器進行訓練和預測，結果表明所提方法的故障識別準確率最高。鄭近德等[82]將RCMSE 方法用于滾動軸承故障特征的提取，采用遺傳優化算法–支持向量機分類器進行故障識別，所有測試樣本均得到正確分類，所提方法在故障特征提取方面具有明顯的優勢。陳佳豪等[83]將精細復合多尺度散布熵(refined composite multiscale dispersion entropy，RCMCDE)用于高壓斷路器機械振動信號的特征向量提取，并通過粒子群算法優化后的極限學習機實現故障智能診斷，試驗結果表明所提方法在抗數據丟失、抗噪聲干擾及故障識別精度方面均有較好的性能。

2.3 自適應多尺度熵方法

傳統信號的樣本熵、模糊熵和排列熵等熵特征都是在單一時間尺度上分析的，無法衡量時間序列復雜度與長距離時間相關性之間的關系?；诖至；^程構建的多尺度方法(MSE，MDE，MPE) 本質上是一個線下濾波器，尺度分析不具有自適應性。相比之下，自適應多尺度熵特征提取方法是一種基于自適應比例因子法和熵特征提取法的方法，可較好地確定信號的時間尺度信息。相關學者[84]通過結合信號濾波分解與多尺度熵提出自適應多尺度熵方法，且將其用于機械設備狀態的健康監測中，將原始信號分解為包含特征信息的信號分量，再引入熵方法提取振動信號的特征向量。已提出很多自適應信號分解方法，如經驗模態分解[85](empirical mode decomposition，EMD)、集成經驗模態分解(ensemble empirical mode decomposition，EEMD)[86]、變分模態分 解[87](variational empirical mode decomposition，VMD)、奇異值分解[88–89](singular value decomposition，SVD)等。Du 等[90]采用EMD 方法分析滾動軸承的振動信號，與離散小波分析等傳統信號處理相比，EMD 方法具有自適應、正交和完整的特性。鑒于以上優勢，李從志等[47]提出一種基于EMD 和DE的自適應多尺度散布熵(adaptive multiscale dispersion entropy，AMDE) 方法，利用EMD 將滾動軸承振動信號分解為多個不同尺度的固有模式函數(intrinsic mode function，IMF)分量，將每個IMF 分量的DE 作為特征向量，輸入支持向量機模型訓練后得到的軸承故障診斷率為100%。張文哲等[91]提出一種自適應多尺度樣本熵(adaptive multiscale sample entropy，AMSE)方法，采用EMD 對原始振動信號進行分解，將前5 個IMF 分量的MSE 作為特征向量輸入，訓練后的SVM 模型能準確診斷軸承的故障類型。劉新發[92]提出一種基于EEMD 的自適應多尺度模糊熵(adaptive multiscale fuzzy entropy，AMFE)方法，將其用于S700K 轉轍機的非線性動力學特征提取，并采用灰色關聯分析診斷器進行故障識別，診斷效果得到顯著提升。王澤等[93]提出一種基于EEMD，MPE 與鄰域粗糙集的故障診斷方法，將其用于軸承系統的故障特征提取，在保證故障診斷精確度的同時能夠減小計算量。鄭近德等[94]提出一種基于VMD的自適應復合多尺度模糊熵(adaptive composite multiscale fuzzy entropy，ACMFE)方法，并結合粒子群優化–支持向量機進行滾動軸承的故障診斷。茍先太等[95]針對高速列車橫向減振器故障識別問題，將VMD 和MSE 結合，用于西南交通大學車輛系統仿真模型，能有效診斷出不同工況下車輛減振器的故障狀態。

3 多元多尺度熵在故障診斷中的應用

旋轉機械通常結構復雜，發生故障時，振動信號的傳輸往往在多個方向。對于大型機械設備，故障部件產生的脈沖在長距離傳播后會不可避免地受到損害，導致故障信息的丟失[96]。隨著多傳感器技術的發展，多元數據可克服數據易丟失、識別度低、穩定性差等不足，故利用單個或多個傳感器收集多通道振動信號信息。傳統的熵和多尺度熵方法只考慮單通道數據，為衡量多元數據的復雜性，相關學者提出了多元多尺度熵方法。表2 為多尺度熵及其在多元框架下的擴展方法。這些方法被廣泛用于設備狀態監測領域，如滾動軸承、齒輪箱等是機械、土木和航空航天工程中的關鍵部件。滾動軸承、齒輪箱實際工況的檢測復雜而艱苦，一旦軸承或齒輪出現局部故障，振動信號的動態特性就會發生變化，且在運行過程中設備振動信號具有復雜的傳遞路徑，會造成信號數據的丟失。與單傳感器采集系統相比，多傳感器采集系統采集的信息更多，能全面描述機械動態系統。為捕獲大量動態特征信息，需采用多傳感器采集系統采集多變量信號。因此，多元多尺度熵方法被用于旋轉機械的健康退化監測，其在測量多變量信號的復雜性和規律性方面具有魯棒性，對旋轉機械的故障診斷非常有效。

表2 MSE 及其相關改進方法Tab.2 MSE and its related improved algorithms

3.1 多元熵

Ahmed 等[97]將單變量MSE 推廣到多元框架，提出多元樣本熵(multivariate sample entropy，MvSE)，并基于多元嵌入重構理論，提出多元多尺度熵(multivariate multiscale sample entropy，MMSE)。MMSE 能夠度量多變量數據的動態復雜性，也考慮各數據通道的相互關系。與單獨分析每個數據通道相比，多變量方法能夠針對合成隨機過程和真實世界的步態和信號數據進行全面分析，能從多個傳感器捕獲更多的識別信息，具有優異的計算效率，已被用于金融學和神經科學等領域。

根據Takens 嵌入定理[98]，構建含p個通道原始時間序列的多元嵌入向量Xm(i)，定義Xm(i) 中任意2 個向量間的切比雪夫距離，給定相似容限r，計算m嵌入維數下dij≤r,j≠i時 總的發生頻率 φm(r)。將p個通道的嵌入向量從m維擴展到m+1 維，在相空間中得到一個新的多元嵌入向量Xm+1(i)。重復上述操作，可得到嵌入維數為m+1 時的發生概率 φm+1(r)。則多元樣本熵表示為 MSEn(m,d,r,N)=lnφm(r)-lnφm+1(r)。多元模糊熵(multivariate fuzzy entropy，MvFE) 的計算過程與MvSE 類似。多元散布熵(multivariate dispersion entropy，MvDE)即利用正態分布函數和線性變換對多變量時間序列進行映射，結合多元嵌入理論對時間序列進行重構，計算p個通道中所有數據的散布模式出現的概率，結合香農熵即得到MvDE。由于PE 具有更快的計算速度和更準確的復雜性估計，將其引入多元排列熵(multivariate permutation entropy，MvPE) 算法。MvPE 具有更強的抗噪性，結果不受采樣間隔和歸一化方法的影響，能更好地衡量機械設備多變量系統的復雜度。在實際工程中，監測多個傳感器多個通道的機械設備振動信息時，因多元熵分析時間尺度具有單一性，常與其他多尺度熵方法結合作為信號特征提取的手段。

3.2 多元多尺度熵

Mosabber 等[97]將單變量多尺度熵算法推廣至多變量多尺度熵，提出多元多尺度熵。對p通道的時間序列 {xk,i}Ni=1,k=1,2,...,p，數據長度為N，通過粗?；幚?，尺度因子為τ 的多元粗?；臅r間序列定義如下：

最初的單變量MSE 算法考慮單個數據通道內的長期相關性，由于其單變量性質，不能對多變量記錄中存在的跨通道信息進行建模。多元多尺度熵是針對多元數據設計的，具有在多變量數據中模擬通道內和跨通道屬性的能力。多元多尺度熵從復雜性、互預測性和長時相關性角度評價多通道時間序列的動態相互關系。目前已發展出MMSE[99]、多元多尺度模糊熵[100]( multivariate multiscale fuzzy entropy，MMFE)、多元多尺度散布熵[101](multivariate multiscale dispersion entropy，MMDE)、多元多尺度排列熵[102](multivariate multiscale permutation entropy，MMPE)等方法，其中不少方法已被用于機械設備故障診斷領域。鄭近德等[19]將MMFE 引入行星齒輪箱故障診斷，利用多通道振動信號信息提高故障診斷的效率，相比單變量的MSE 和MMSE，其故障識率更高。韓美東等[102]利用自適應迭代濾波方法對軸承振動信號進行降噪預處理，并結合MMPE 構建滾動軸承的故障特征樣本集，對4 種工況進行分類識別，其分類精度和穩定性均較高。受MMSE 和多尺度模糊分布熵的啟發，Ma 等[103]提出一種新的多元多尺度模糊分布熵方法，可有效提取旋轉電機多元振動信號的故障特征。

此外，針對傳統多尺度粗?；绞酱嬖诘拿黠@缺陷，即隨著尺度因子增加，粗?；瘯r間序列逐漸變短，易產生熵值不穩定現象，提出基于滑動平均方法的改進多元多尺度散布熵[104](improved multivariate multiscale dispersion entropy，IMMDE)，基于精細化處理方式的精細復合多元多尺度模糊熵[15](refined composite multivariate multiscale fuzzy entropy，RCMMFE)、精細復合多元多尺度散布熵[20](refined composite multivariate multiscale dispersion entropy，RCMMDE)等，基于多變量信號處理的自適應多元多尺度散布熵[105](adaptive multivariate multiscale dispersion entropy，AMMDE)。周付明等[106]結合滑動平均粗?；^程和MvDE 提出改進的多元多尺度散布熵，并提出基于EEMD，IMMDE 與遺傳算法優化支持向量機相結合的故障診斷方法，所提方法在研究齒輪箱多通道信號分析與診斷方面具有重要價值。Yang 等[107]提出一種新的精細復合多元多尺度符號動態熵(refined composite multivariate multiscale symbolic dynamic entropy，RCMMSDE) 方法，分別用于不同速度條件下的設備數據集，均能有效提高設備多元信號的故障分類精度。Xi 等[108]提出一種基于精細復合多元多尺度波動散布熵(refined composite multivariate multiscale fluctuation dispersion entropy，RCMMFDE)的多變量非線性時間序列復雜度評估方法，聯合互信息最大化和支持向量機方法，可有效對齒輪和軸承進行故障診斷。

4 結論與展望

從基于熵的復雜性理論方法、性能特點對多尺度熵在機械設備故障診斷中的應用研究進行綜述，總結不同方法的優劣勢；針對單一尺度熵未考慮其他時間尺度信息、多尺度熵無法自適應確定比例因子、單變量熵無法處理多元時間序列等問題，歸納總結目前相關改進方法。近年，越來越多的基于多尺度熵的復雜性量度指標被相繼提出，并引入到機械設備健康監測與故障診斷中，基于多尺度熵方法的智能故障診斷技術是當下較為熱門且具有廣闊發展前景的研究方向。然而，隨著全面監測健康狀況技術要求和精度的提升，未來基于多尺度熵的故障診斷方法還需從以下方面進行深入研究。

1) 設備在運行過程中會產生大規模的機器數據集，隨著自動化技術、信息技術以及工業設備建設規模的提升與融合，如何精密、嚴格地分析工業大數據，逐漸成為企業生產制造過程待解決的重要問題。對于目前發展的面向工業大數據的智能故障診斷方法，研究主要集中在相關概念的挖掘、決策模型的搭建、主要特征的選擇等，其中工業大數據的高維度和大體量給數據分析造成較大困難。因此，可考慮利用多尺度熵相關算法提取重要特征和減少計算成本。

2) 目前的機械設備故障診斷領域研究多關注故障表面特征而忽視故障機理。故障機理研究可為設備狀態監測與評估提供基礎理論支撐，根據熵的物理意義，相關學者發展了很多基于熵的高效故障特征提取方法。為促進設備狀態監測技術的進一步發展，如何將故障機理研究與基于熵的特征提取方法相結合，在綜合熵的定義和故障特征信息的基礎上發展具有物理意義的特征指標，是未來有價值的探索方向之一。

3) 面向工業大數據的故障診斷，傳統的機器學習方法因數據擬合能力有限，處理大數據時將不再適用?；跀祿寗拥纳疃葘W習模型能自動提取并進一步學習大規模數據集中的有效特征，從而實現海量數據的自動挖掘與模式識別，該模型已廣泛用于設備狀態監測與故障診斷領域。但深度學習因其“黑箱”特性，導致可解釋性較差。多尺度熵具有明確物理意義，可考慮利用多尺度熵的特征提取優勢，構建可解釋的深度學習模型，為工業數據的智能診斷提供思路。