基于不確定區域的水下純方位目標跟蹤方案

李海鵬 聶朝陽

(哈爾濱工程大學青島創新發展基地 青島 266000)

(青島哈爾濱工程大學創新發展中心 青島 266000)

1 引言

水下被動目標跟蹤技術一直以來是科研的熱門方向，廣泛應用于軍事領域。在水下復雜環境中量測數據是非常有限的，目標方位幾乎是唯一可靠的參數，融合目標方位信息對目標實施跟蹤估計的純方位目標運動分析技術(Bearing-Only Tracking Motion Analysis, BOTMA)成為水下被動目標跟蹤的重要分支[1-3]，目前該技術仍面臨眾多困難，一是水下環境復雜多變，目標在未知因素較多的海洋環境中難以建立目標模型；二是水下被動傳感器精度不高，導致量測精度及量測信息質量較差；三是水下采樣成本較高，難以連續獲取穩定采樣信息。由上述困難衍生出新問題，采用何種水下目標跟蹤結果是實用可靠的，如何解決點估計無法表達示向性誤差的問題是重點，研究一種實用、快速、評估完善的水下純方位目標跟蹤方案具有重要的工程實踐意義。

純方位目標最優點估計算法根據馬爾可夫性可分為定位跟蹤算法、濾波跟蹤算法等[4]。Do?an?ay[5]基于Stansfield估計器提出線性最小二乘法算法(Linear Least Square, LLS)，根據高斯-馬爾可夫(Gause-Markov)定理，在各平臺測量誤差為零均值，且方差互不相關時，實現基于方差最小準則下的最優估計，但該算法忽略了各平臺測量誤差的差異性。加權最小二乘算法(Weighted Least Square,WLS)對LLS進行改進，引入加權矩陣對修正平臺測量誤差不同的影響，但該算法為有偏性估計[6]?？傮w最小二乘算法(Total Least Square, TLS)使用校正系數矩陣和數據向量，但存在奇異值分解困難對定位造成消極影響[7,8]?；谧钚《朔ㄏ档亩ㄎ凰惴ň嬖诰仃囘\算，加大了計算時間復雜度對于實際戰場決策起到負面影響。三角解析定位通過平臺對目標的示向線交點信息進行直接求解，提高了定位計算速度，一般有重心法、內心法、斯坦納點法[9,10]，經統計分析內心法的定位精度最高，但定位效果仍遠低于LLS，設計一種改進的解析定位算法具有研究意義。

針對水下目標跟蹤所面臨的困難，以點跡組成的水下目標跟蹤軌跡存在兩個缺點，一是本身測向信號經處理后的量測方位信息經過融合處理對目標狀態估計，存在累計估計誤差且無法表示誤差大小，沒有建立直觀的容錯區域思想導致實用性差；二是針對最優點誤差評估指標，通常為方差及均值偏離程度，或通過利用不確定區域面積表征目標跟蹤精度，忽略了不確定區域自身在空間上的幾何特征優勢，若利用不確定區域作為目標跟蹤結果對其進行評估更符合水下環境的目標跟蹤。

以不確定區域的統計結果作為衡量純方位目標定位精度的指標大致分為以下幾類，圓概率誤差(Circular Error Probable, CEP)，用來表征目標位置的估計值偏離估計均值的不確定性程度[11]；定位模糊面積，受純方位量測信息的幾何特殊性，將目標位置近似為一多邊形并以其面積作為定位精度優劣的考量[12,13]；置信橢圓(Confidence Ellipse,CE)，即對于某個無偏量的估計精度的多維度量，該估計量以某一概率落入一橢圓區域體時該區域的面積[14,15]；特別地，CE由聯合概率密度構建，最符合實際工程上對目標估計位置的AOU表示。針對聯合概率分布近似已知的情況下，不難獲得目標存在于該區域的置信度，AOU本質為區間估計更適合作為水下目標估計結果，具有更好的實用性。

本文提出基于AOU的水下純方位目標跟蹤方法，有效解決水下復雜環境中純方位目標跟蹤結果缺少示向性位置誤差的問題，為保證完整性分別對基于濾波和定位點估計為先驗知識的不確定區域構造算法進行研究，并利用置信度及AOU精確度指標，實現了對水下目標跟蹤區域的精準有效評估，為實際戰場態勢估計提供更多信息保障，為后續決策提供重要支撐。

2 純方位定位模型

(1) 目標運動學模型。 本文以2維空間下對目標運動過程進行仿真建模，假設k時刻的目標狀態表示為X(k)=，xk和yk分別表示k時刻目標x和y軸方向上的位置信息，和分別表示k時刻目標x和y軸方向上的速度信息，針對水下目標運動特點，本文選擇勻速直線(Constant-Velocity, CV)模型對目標運動狀態進行建模。目標的離散時間狀態方程的一般式為

其中，F為狀態轉移矩陣，G為系統噪聲傳輸矩陣，w(k)為目標運動產生的加速度噪聲，符合2維零均值的高斯向量，即w(k)～N(0,σ2)，Gw(k)為過程噪聲，模擬被測目標運動時受水下復雜環境等不確定因素的影響。

(2) 平臺量測模型。 因海洋環境噪聲和小孔徑平臺測量能力不足帶來的影響，純方位定位模型中，平臺對目標的測向結果受平臺位置誤差擾動和測量誤差擾動，平臺對目標量測方程的離散表達式為

其中，由純方位定位性質決定，z(k)表示k時刻的方位觀測值，xt,yt分別代表目標的x和y軸方向上的位置信息，xp,yp分別代表觀測平臺的x和y軸方向上的位置信息，方位角θk定義為平臺量測示向線與y軸方向的夾角。測向誤差Δεi是服從零均值高斯分布的隨機變量，導致各平臺示向線無法匯聚于同一點，一般地，定位算法利用多組觀測信息對目標進行估計。

3 改進解析定位算法理論

對于水下純方位目標定位問題，目前比較流行的定位算法是利用最小二乘法對目標進行求解，然而該算法存在兩個不足：(1)未考慮各平臺自身測量誤差的差異性，對于每條示向線的權值分配平等，未考慮大誤差量測導致的異常示向信息可能對目標估計造成的負面影響；(2)公式中含大量矩陣和逆矩陣運算，并不適用于某些實時性要求較高的水下目標跟蹤場景。

針對上述算法的不足，本文提出一種基于變權解析定位算法，其優勢在于：(1)本算法本質屬于三角解析算法，故不涉及矩陣運算減小了目標定位的運算耗時；(2)通過設置對比閾值排除異常點，利用目標估計點與示向線交點距離信息對權值進行自適應配置。具體實現步驟如下：

(1) 獲取示向線交點坐標。假設多平臺數目為M，則各平臺對目標定示向線交點坐標(xij,yij)，所有交點集合表示為

(2) 設定篩選規則。通過內心法定位[10]求解獲得一次點估計解(xcp,ycp)，將一次估計點與各平臺示向線交點距離disij，而后根據設定閾值γ，用于篩舍異常點或干擾項得到一次篩選交點集合Snew

(3) 設定權值調整規則。本算法考慮聚類程度較高的交點對點估計的權重較大，故設定權值調整規則應考慮近大遠小的規則，將估計解與一次篩選交點集合的各距離倒數作為權值項Weightindex

(4) 整理表達形式為

本算法針對純方位定位出現的異常點問題，加入閾值篩選步驟，并通過對于各交點進行權值動態匹配，實現對目標快速精準的位置估計。

針對水下復雜環境下的純方位目標跟蹤技術，最優點估計缺乏示向性的位置誤差表示，對實際戰場決策必然帶來負面影響，下節將研究本文重點內容，即提出一種基于不確定區域的水下目標跟蹤方案。

4 不確定區域構建算法理論

本文提出基于不確定區域(AOU)的水下目標跟蹤估計方法替代最優點作為目標定位狀態，為保證完整性，本節主要研究內容：(1)以擴展卡爾曼濾波為代表的非線性濾波法下更新狀態協方差作為輸入的AOU構建方法；(2)以最優點估計為先驗知識的基于最大后驗概率的AOU構建方法，如圖1所示。

圖1 基于最大后驗概率的AOU構建流程圖

4.1 基于擴展卡爾曼濾波的不確定區域構建算法

(1) 基于擴展卡爾曼濾波算法下的水下目標跟蹤模型。 擴展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter,EKF)算法的基本思想是截取非線性函數的泰勒展開式的1階項，忽略其余高階項，將非線性函數近似線性化，采用卡爾曼濾波框架對目標狀態進行估計。針對水下純方位目標跟蹤，其量測信息與目標狀態信息具有非線性關系，對非線性函數f(·),h(·)分別對濾波值做1階泰勒級數展開，得到線性化的狀態與觀測更新方程

(2) 2維聯合高斯概率密度推導精確誤差橢圓表達式。 考慮平臺本身方位量測誤差符合高斯分布下，再根據乘性高斯分布仍符合高斯分布的特點，故對目標位置不確定區域估計應為橢圓區域，結合水下純方位目標跟蹤量測信息較少，故通過大量采樣信息經統計處理的不確定區域構建是不可行的，該節采用一種基于狀態協方差矩陣分解的置信橢圓構建方式。

(a) 建立橢圓方程。已知目標狀態的概率密度分布為高斯分布，則目標出現在該區域的概率應為

其中，p(k+1)代表被測目標在k+1時刻的真實位置，代表被測目標在k+1時刻的估計位置目標的位置協方差矩陣應表示為對式(10)求導可得置信橢圓表達式為

其中，c為置信系數，與置信橢圓的區域大小及置信度有關，具體對應關系見如式(12)的推導

則置信系數c與置信度Pe之間的關系為

(b) 置信橢圓長短軸。需對目標的位置協方差矩陣Pk+1|k進行特征值分解，這里求解過程不加贅述，求得長軸E與短軸F的表達式為

(c) 定義置信橢圓的橢圓旋轉角度β。置信橢圓長軸與坐標系水平坐標軸構成的傾角

首先，科學家自律與科技協會的自治相結合?？茖W家是一個相對自由的職業，其遵循特定的科學規律，因其專業性使得外界無法全面介入。因而要求科學家能夠自律，主動地遵守法律和倫理規范。同時，科技領域存在各種協會，這些協會的重要使命一方面是為科學家服務，另一方面也對科學家的活動進行規范和治理，當出現違法或者違背道德的會員科學家時，科技協會可以對其進行懲戒。因此，科學領域的自律，一方面是科學家要嚴于律己；另一方面科技協會要加強對科學家的規范和管理。

通過以上步驟可見，以目標在該時刻的狀態協方差作為輸入，通過特征值求解構建目標位置置信橢圓，對目標跟蹤評估指標延伸為不確定區域置信度與該區域面積所表征的跟蹤精度，實現跟蹤評估的多維考慮。

4.2 基于最大后驗概率的不確定區域構建算法

對于水下純方位目標跟蹤問題，一般基于非線性濾波算法擬合被測目標運動軌跡較為精準，但涉及觀測異?；驅嶋H運動目標出現強非線性軌跡的影響會導致目標跟蹤出現失效等問題，對于后續指控策略帶來嚴重影響。根據以上潛在問題，本節研究以直接最優估計點為先驗利用最大后驗概率(Maximum A Posteriori, MAP)算法對目標位置不確定區域的構建方法，該方法無需協方差矩陣分解步驟，有效提高目標位置區間估計速度，在濾波跟蹤不收斂情況下提供了準確的備用信息補充。具體實現流程如下。

(1) 基于MAP的定位修正算法。利用基于變權解析定位算法解，作為初始估計點Xcp(xcp,ycp)，通過基于貝葉斯后驗概率的定位法進行修正，在多平臺純方位目標跟蹤場景下，平臺方位量測的條件概率密度函數應為

其中，θ0i為平臺與目標的理想示向線，θi為估計角度，根據幾何關系(見式(3))可得

其中，m(θ)為邊緣概率密度與x無關，f(θ)為先驗信息的概率分布，但由于無先驗信息分布則設定f(θ)=1，這里再引入歸一化常數ω，則后驗概率應符合

若求使π(x,y|θ1,θ2,...,θn)達到最大值(x,y)，需要對該函數進行非線性優化，設優化函數為

為解決上述公式的非線性問題，可采納線性化方法見公式同樣的記指數項為Fi(x,y)

(2) 非線性化近似不確定區域模型。以平臺觀測噪聲方差及其位置信息為先驗知識下的AOU模型構造。由式(22)得后驗概率密度π(x,y|θ1,θ2,...,θn)近似為2元聯合正態分布密度函數π(x,y|θ1,θ2,θ3)≈N(x,y|θ1,θ2,θ3)， 即

對式(23)求導可得不確定區域估計為

同上節，置信系數k的取值與置信度有關，詳細推導見式(11)-式(13)，這里不再贅述。

(3) 置信橢圓長短軸與橢圓旋轉角設定。為方便后續理解，針對式(25)一般橢圓方程經旋轉變換在原始坐標系的表達形式應為

其中，β為橢圓長軸與橫坐標軸夾角， 即橢圓的旋轉角，其確定方式分為以下兩種情況討論：

當B=0，代入式(25)易得，不確定區域為無旋轉角的標準橢圓方程，故旋轉角一般取0, π/2；

若B ?=0，根據應用三角函數關系，可得tanβ=，故還需對于A和C還需要分3種情形討論，具體符號確定原則及橢圓旋轉角結論見表1。

表1 旋轉角 β的符號確定原則

5 目標不確定區域跟蹤仿真實驗

5.1 仿真態勢1

以2維平面上單目標運動的跟蹤為例進行仿真分析，分別在30 s, 60 s處進行變向CV運動，設定本態勢目的：(1)分析非線性濾波在跟蹤強非線性運動目標時，其跟蹤效果與定位跟蹤效果進行對比；(2)定位跟蹤在何種態勢下定位效果出現失準，并在此時與濾波跟蹤效果進行對比。具體仿真參數如表2所示。

表2 仿真參數

圖2(a)為仿真態勢1下的水下純方位目標跟蹤軌跡，其中，目標軌跡均為不確定區域構成，藍色AOU軌跡為目標在濾波跟蹤下基于EKF的AOU軌跡圖，紅色AOU軌跡為目標在定位跟蹤下基于MAP的AOU軌跡圖，黑色圓點表示目標在該時刻的真實位置，作為本文目標跟蹤方案有效性的衡量標準。在60 s目標出現強非線性變向運動，可見濾波跟蹤效果出現小幅偏差，并在68 s左右跟蹤復位，在此時間段內定位跟蹤效果較為穩定無過大偏差；在約70 s時平臺間與目標近似處于平行的態勢下，基于MAP的AOU在該方向上的位置誤差接近10 km，結果可見基于EKF的AOU在該態勢下跟蹤效果較為準確。

圖2 基于不確定區域的目標跟蹤軌跡及其面積

圖2(b)為2類跟蹤下不確定區域面積表征跟蹤估計的精確度，對應統計學均方根誤差(2次型)指標，可見在目標跟蹤初期基于EKF的AOU面積較大約達至30 km2，基于EKF的AOU面積較小，與初始協方差設定有關，在0～30 s目標跟蹤的AOU面積呈減小趨勢，符合平臺目標距離與量測誤差的關系，在60 s時濾基于EKF的AOU隨目標變向導致AOU面積小幅增加，在約70 s時基于MAP的AOU面積出現跳變，其面積約為5 km2，以上結果均符合圖2(a)的結論，證明該態勢下兩種跟蹤算法的估計精度均較為理想。

圖3(a)為單次仿真下2類跟蹤AOU置信度表征跟蹤估計的準確度，對應統計學均值偏差(1次型)指標，置信度迭代規則以AOU是否包含當前目標真實位置為準?？梢?種基于AOU的目標跟蹤軌跡的置信度均在95%左右，在70 s左右可見基于MAP的AOU因平臺與目標相對態勢變差導致置信度出現下降的情況。

圖3 仿真態勢1下的不確定區域置信度

圖3(b)為利用蒙特卡羅方法該態勢下的目標跟蹤AOU的統計置信度信息，可見基于MAP的AOU置信度綜合較高，且起伏在81%～97%，基于EKF的濾波跟蹤AOU置信度相對較低，且起伏在84%～94%。

綜合圖2、圖3通過對基于AOU的目標跟蹤軌跡分析可知，在平臺與目標接近平行的態勢下，基于MAP的AOU跟蹤效果差于基于EKF的AOU跟蹤效果，此結論與該態勢下純方位定位弱可觀測性有關；在被測目標出現強非線性運動時，基于EKF的AOU跟蹤效果較差，此結論與EKF本身線性化缺陷有關。通過以上結論說明基于AOU的水下純方位目標跟蹤方案所得結論與實際跟蹤理論一致，證明本跟蹤方案的有效性。

5.2 仿真態勢2

以2維平面上單目標運動的跟蹤為例進行仿真分析，分別在30 s, 60 s處進行變向CV運動，設定本態勢目的：(1)平臺目標間距離越大時對目標AOU的精確與置信指標產生何種影響；(2)對于初始狀態設置誤差較大時目標跟蹤效果；(3)通過改善目標平臺間的態勢，跟蹤效果如何改變。具體仿真參數如表3所示。

表3 仿真參數

圖4(a)為仿真態勢2下的水下純方位目標跟蹤軌跡。在0處設定初始目標狀態與目標真實狀態偏差較大且初始協方差設置極小，跟蹤結果表明，EKF跟蹤算法仍可進行收斂有效跟蹤，在目標位置距離平臺較遠且處于劣勢態勢下，基于MAP的AOU在該方向上的位置誤差為15～20 km。

圖4 基于不確定區域的目標跟蹤軌跡及其面積

圖4(b)為2類目標跟蹤下AOU面積表征跟蹤估計的精確度，可見在目標跟蹤之初基于MAP的AOU面積較大約達至25 km2，基于EKF的AOU面積達至60 km2，這與初始協方差設定有關，在0～30 s目標跟蹤的誤差區域面積呈減小趨勢，表明態勢轉優給目標跟蹤精度帶來的正面影響，在30～100 s時AOU面積增大，尤其60 s后基于EKF的AOU面積較小，表明濾波跟蹤在較遠距離時跟蹤效果較好。

圖5(a)可見2種基于AOU的目標跟蹤軌跡下的置信度分別為88%和91%，證明該區域內對目標位置估計的有效性。針對態勢2而言，基于MAP的AOU在跟蹤初期可信度較高，基于EKF的AOU在跟蹤后期可信度更高。圖5(b)為利用蒙特卡羅方法該態勢下的目標跟蹤AOU的統計置信度，可見基于MAP的AOU置信度綜合較高，起伏區間在81%～96%，基于EKF的AOU置信度相對較低，起伏區間在86%～93%，其中，出現少量置信跌底情況，考慮初始狀態設定不當，運動目標變向非線性程度較強導致濾波跟蹤不收斂的情況。

圖5 仿真態勢2下的不確定區域置信度

綜合圖4、圖5結果分析可得，若出現明顯態勢優化的情況，目標AOU跟蹤精度有所提升，若無明顯態勢改變情況下，平臺目標間距離越大對目標AOU面積增大即跟蹤精度下降，對于初始狀態設置誤差較大情況，基于EKF的AOU跟蹤仍可實現跟蹤收斂，但面臨較大誤差或強非線性運動目標跟蹤會出現跟蹤發散的情況。

6 結束語

針對水下目標點估計跟蹤存在無示向性位置誤差的問題，本文提出基于AOU的水下目標跟蹤方案，同時引入區間置信度的統計概念以及表征跟蹤結果精確度的AOU面積作為評估標準，為后續決策提供清晰的容錯與判斷區域，提高了跟蹤結果的實用性。針對LLS定位存在的不足，提出了基于變權解析定位算法，為構建基于MAP的AOU提供了先驗知識。仿真結果所示，針對目標平臺間距離分別為10 km內和20 km內的跟蹤場景：(1)對應AOU面積分別為10 km2以內和20 km2以內，表明了AOU構建的有效性及精確性；(2)對應AOU置信度水平為90%和87%左右，表明了目標AOU軌跡的可靠性及準確性。并針對不同仿真態勢，得出了基于MAP與基于EKF的AOU目標跟蹤方案的適用范圍，對于近距離強非線性運動目標進行跟蹤，基于MAP的AOU跟蹤效果較好，對于遠距離運動目標進行跟蹤，基于EKF的AOU跟蹤效果較好。綜上所述，基于不確定區域的水下目標跟蹤方案是有效可行的，且該跟蹤方案包含明確的估計區域及其區間置信度，為實際戰場態勢估計提供更多信息保障，為后續決策提供重要支撐。