用Hirota雙線性方法構造的高維sine-Gordon方程的新型精確解*

黎倍禎,毛 輝

(南寧師范大學 數學與統計學院, 廣西 南寧 530100)

1971年Hirota提出一種用于求解各種非線性偏微分方程精確解的直接方法[1,2]:首先通過適當的函數變換將非線性偏微分方程化成由D算子來表示的雙線性形式的方程,然后將函數的擾動展開式代入,在一定條件下將展開式在有限項處截斷,由此得到具有指數形式的精確解.

非線性偏微分方程

uxx-utt=sinu

(1)

稱為sine-Gordon方程.該方程可用于描述一維原子鏈模型、超導約瑟夫遜結、晶格錯位的傳播等諸多物理問題．另一方面,該方程所具有的紐結型孤立子、呼吸子等豐富的精確解類型可用于解釋許多物理現象[3].因而sine-Gordon方程及其精確解受到了國內外學者的廣泛關注[4,5].隨著研究的深入,sine-Gordon方程的高維推廣也進入了人們的視野[6,7,8],如二維sine-Gordon方程

uxx+uyy-utt=sinu

(2)

和一般的n維sine-Gordon方程

ux1x1+ux2x2+ux3x3+…+uxnxn-utt=sinu.

(3)

由于一維方程只能描述一維空間中的問題和規律, 因此對高維偏微分方程的研究無論在理論上還是在應用上都有重要的意義.目前關于高維sine-Gordon方程的精確解的研究尚不多,且結果多集中在紐結解的情況[6].本文利用Hirota雙線性方法來構造二維sine-Gordon方程的新型精確解,然后將此類型的解推廣到一般的n維sine-Gordon方程中.

1 Hirota雙線性方法

設a(x,y,t)和b(x,y,t)是變量x,y和t的可微函數;Dx,Dy和Dt是微分算子;m,n和k為非負整數.雙線性算子定義為

該算子有如下一些性質[2]:

2 二維sine-Gordon方程的精確解

要用Hirota雙線性方法來求解方程(2),需要先將方程(2)化為雙線性形式.為此作函數變換

(4)

其中F和G為待定函數.對u求各階導數,有

FG(F2-G2).

運用雙線性算子可將上式整理為

于是可得到方程(2)的如下雙線性形式:

(5)

為了得到方程(2)的精確解,假設F(x,y,t),G(x,y,t)具有形式

F(x,y,t)=a1eξ1+a2eξ2+a3eξ1+ξ2,G(x,y,t)=b0+b1eξ1+b2eξ2+b3eξ1+ξ2,

其中ξi=αix+βiy+γit,i=1,2.直接計算可得

F·G=a1b0eξ1+a1b1e2ξ1+a1b2eξ1+ξ2+a1b3e2ξ1+ξ2+a2b0eξ2+a2b1eξ1+ξ2+a2b2e2ξ2+a2b3eξ1+2ξ2+

a3b0eξ1+ξ2+a3b1e2ξ1+ξ2+a3b2eξ1+2ξ2+a3b3e2ξ1+2ξ2,

將上述結果代入(5)的第一式,比較函數的系數,有

e2ξ1:a1b1=0, e2ξ2:a2b2=0, e2ξ1+2ξ2:a3b3=0,

a1b2+a2b1+a3b0,

a1b3+a3b1,

a2b3+a3b2.

類似地,由(5)的第二式可得

通過求解上述方程組我們得到如下兩種情況的解:

①a3≠0,b1≠0,b2≠0,a1=a2=b0=b3=0,且滿足限制條件

此時方程(2)的解形如

u=4arctan e-x-y-t.

(6)

圖1給出了該紐結解的三維圖像以及剖面圖.

圖1 方程(2)的紐結解(6)在t=0時刻的三維圖像以及剖面圖

②a1≠0,a2≠0,b0≠0,b3≠0,a3=b1=b2=0,且滿足限制條件

此時方程(2)的解為

(7)

注意到存在使表達式(7)中分式部分的分子為正而分母為零的點,因此根據反正切函數的性質可知該解會在使分母為零的點出現“跳躍”現象.圖2給出了該孤立子解的三維圖像以及剖面圖.

圖2 方程(2)的孤立子型精確解(7)在t=0時刻的三維圖像

3 n維sine-Gordon方程的孤立子型精確解

在上一節中我們利用Hirota雙線性方法,通過對待定函數做擬設求出了方程(2)的兩類精確解,其中孤立子類型的精確解與以往我們熟悉的有所不同.本節我們說明n維sine-Gordon方程(3)也有這兩種類型的精確解.

定理1方程(3)有以下兩類精確解:

此時參數需滿足限制條件

(ω11-ω21)2+(ω12-ω22)2+(ω13-ω23)2+…+(ω1n-ω2n)2-(υ1-υ2)2=0.

于是方程(3)化為

即

ux1x1+uyy-utt=sinu.

由上一節的結論可知方程(2)有如下解:

其中ξi=αix1+βiy+γit,i=1,2.此時參數需滿足限制條件