一個關于矩陣秩的恒等式及其應用

楊 森,趙 丹

(鞍山師范學院 數學學院,遼寧 鞍山 114007)

本文用r(A)表示矩陣A的秩.文獻[1]證明了對于任意的m×s矩陣A及s×n矩陣B,都有r(AB)≤r(B).因此,r(B)-r(AB)是一個非負整數.這個結論并沒有指出如何準確估計r(B)-r(AB)的值,本文將深入探討這個問題.

首先,引入線性映射的概念及其基本定理.

(i)對任意的α,β∈V,都有

(ii)對任意的α∈V和k∈P,都有

線性空間V上的線性變換是從V到V的線性映射,因此線性映射是比線性變換更廣義的概念.

事實上,這個基本的數量關系對于線性映射仍然成立,文獻[2-3]中有關于這個基本數量關系的論述.為了論述的完整性,本文給出它的證明.

k1β1+…+kmβm=s1α1+…+snαn

由向量組α1,…,αn,β1,…,βm的無關性,可得

k1β1+…+kmβm-s1α1-…-snαn=0

所以

證畢.

線性映射的典型例子是由矩陣給出的.設A是數域P上的一個m×n矩陣,不難驗證從Pn到Pm的映射xAx是個線性映射.我們仍用A表示這個線性映射.齊次線性方程組Ax=0的解空間是Pn的子空間,它就是線性映射A的核;矩陣A的列向量都是m維向量,A的所有列張成的子空間是線性映射A的像.定理1說明這兩個子空間維數之和等于n,這正是齊次線性方程組的基本數量關系.

應用線性映射基本定理(定理1),可推出本文的有關矩陣秩r(B)-r(AB)的主要定理:

菊花當然不能說話，所以這個主人公和菊花的對話實際上是主人公自己和自己的對話。自己才是菊花本身，即使在監牢里，不能吸收養分，花朵變得越來越小，也有要開出有著象牙般光澤的花朵的心。最后，“我把這件事，寫在了給我那身體很小的母親的信中?！敝髡f：“你們禱告的時候，不可像那假冒為善的人，愛站在會堂里，和十字路口上禱告，故意叫人看見?！敝挥幸磺兄皇窃谧约旱男睦锇l生的變化才是自己的真實。主人公在監獄中，通過在心中和自己的對話，堅信自己所做的事是正確的，然后把這決心傳達給了自己的母親。

定理2給定數域P上m×s矩陣A及s×n矩陣B,則

r(B)-r(AB)=dim (V1∩V2)

其中:V1為齊次線性方程組Ax=0的解空間,V2為矩陣B的列向量生成的子空間.

定義

dimV2=dim (V1∩V2)+dimV3

其中V3是矩陣AB的所有列向量生成的Pm的子空間.而

dimV2=r(B),dimV3=r(AB)

所以

r(B)=dim (V1∩V2)+r(AB)

由此得到定理2的結論.證畢.

定理2回答了本文最開始要解決的重要問題,即給出了r(B)-r(AB)的準確估計.利用這個估計,關于矩陣秩的Sylvester不等式[4]和Frobenius不等式[5]都可以獲得更簡潔的證明,這樣,很多有關矩陣秩的不等式問題迎刃而解.下面,利用定理2給出這兩個重要不等式的新的證明過程.

定理3(Sylvester不等式)設A為m×n矩陣,B是n×k矩陣,則

r(AB)≥r(A)+r(B)-n

證明由定理2,有

r(B)-r(AB)=dim (V1∩V2)

(1)

其中:V1是齊次線性方程組Ax=0的解空間,V2是矩陣B的列向量生成的線性空間.

由定理1,有

n-r(A)=dimV1

(2)

而

dim (V1∩V2)≤dimV1

綜合式(1)與式(2)即得所要證明的不等式成立.證畢.

由此證明還可以給出Sylvester不等式中等號成立的條件,即

dim (V1∩V2)=dimV1

這等價于V1為V2的子空間,這就證明了下面的推論:

推論1設A為m×n矩陣,B是n×k矩陣,則

r(AB)=r(A)+r(B)-n

的充要條件是齊次線性方程組Ax=0的解均為B的列向量組的線性組合.

定理4(Frobenius不等式)設A,B,C分別為m×n,n×s,s×k階矩陣.則

r(B)+r(ABC)≥r(AB)+r(BC)

證明由定理2,有

r(B)-r(AB)=dim (V1∩V2)

(3)

其中:V1是齊次線性方程組Ax=0的解子空間,V2是矩陣B的列向量生成的線性空間.

再由定理2,有

r(BC)-r(ABC)=dim (V1∩V3)

(4)

其中:V1是齊次線性方程組Ax=0的解空間,V3是矩陣BC的列向量生成的線性空間.而BC的列都是B的列的線性組合,所以V3是V2的子空間,由此可知

dim (V1∩V3)≤dim (V1∩V2)

(5)

綜合式 (3)、(4)、(5)即得所要證明的不等式成立.證畢.

相比傳統的利用矩陣分塊法給出的證明,本文給出的證明含義更加清楚.根據定理2給出的關于r(B)-r(AB)的準確估計,可以簡潔有效地導出更多關于矩陣秩的不等式.