基于動態投資的魯棒契約設計與應用研究

甘 柳,夏 鑫

(1.閩江學院 新華都商學院,福州 350108;2.中南財經政法大學 金融學院,武漢 430073)

在公司金融中,企業投資效率是學術界和實務界共同關注的核心問題之一。經典理論分析表明,在完美資本市場假設下,企業僅對凈現值為正的項目進行資本投資。然而,現實中外部金融市場摩擦會扭曲企業投資決策,其中委托代理問題就是市場摩擦的一個重要來源。由于所有權和經營權分離,外部投資者往往會懷疑高管的謀私(或努力不足)動機,導致企業不能像預期那樣以足夠低的成本獲得資本,從而導致非效率投資。而委托人通過薪酬契約使代理成本最小化,這為研究代理問題對企業投資效率的影響機制提供了渠道。對此,國內外學者從最優薪酬契約的角度進行了大量研究。

近年來,隨著契約理論的發展,學者們基于連續時間金融模型探討了不同市場摩擦因素下的動態代理問題。這些理論將外部融資成本視為內生因素,構建了動態薪酬契約影響企業非效率動態投資決策的理論分析框架,其中代表性成果主要有De Marzo等[1]和Ai等[2]。前者結合新古典投資q理論構建了內生投資的動態契約模型;后者引入管理者與股東雙方的有限承諾,構建了小企業與大企業差異化投資策略的動態契約模型。已有文獻主要從3個方面對文獻[1-2]的研究進行了推廣:①通過引入不同的市場摩擦因素構建動態契約模型。Chi等[3]引入資本存量的隨機沖擊,構建動態代理模型并研究不同規模企業的投資行為;Li等[4-5]通過引入指數型生產函數,構建了基于投資的動態契約模型;Bolton等[6]研究了動態契約模型與動態投資q理論模型的對偶問題1)實際上,企業動態投資q 理論模型研究始于Jorgenson[7],隨后的拓展研究包括文獻[8-11]等系列研究,國內的研究主要有劉琦等[13]以及甘柳等[14]。②同時考慮高管努力和冒險的雙重控制權構建動態契約模型。甘柳等[14]研究了動態契約下長期動態投資的跳風險問題。③通過融入高管短期和長期努力行為構建多重任務下的動態契約模型。這一方面以Gryglewicz等[15]的研究為代表。

上述動態代理契約研究都遵循傳統理性預期假定2)國內學者[16-18]從靜態投資的角度考慮動態契約,即認為委托人和代理人對企業收益流的不確定性擁有共同信念。然而,Ellsberg[19]悖論以及Gilboa等[20]的研究都指出決策是否有效取決于兩個方面:參數估計誤差導致決策模型的參數不確定性問題和資產價值分布函數設定誤差導致決策模型的不確定性或誤設問題。Hansen等[23]也指出,決策者對市場的模糊性是模型不確定性產生的根源,而模糊性的出現是由于決策者對信息掌握不足。在現實中,決策者往往是模糊厭惡的[24],模糊信念的存在限制了委托人對信息處理的時效性,同時對信息獲得的容量也產生了約束。

鑒于此,近年來,結合魯棒最優化[21]和隨機動態規劃[22]等方法的魯棒決策模型及其在企業經營決策中的應用發展較迅速。代表性的有文獻[25-27],通過引入委托人對企業單位產出平均增長率的模型不確定性,分別從不同視角構建了魯棒契約模型,并分析了相應的企業經營決策問題。隨后,Zhao[28]在Gryglewic等[15]的基礎上研究了兩個布朗運動下的魯棒契約設計問題。與這些文獻相區別,本文基于De Marzo等[1]的理論分析框架,考慮委托人對企業資產波動率的模糊厭惡,對魯棒契約設計及企業動態投資決策問題進行研究。具體地,從委托人不相信代理人報告的收益流的概率測度出發,將委托人波動率模糊厭惡視為內生因素。同時,引入代理人的努力成本,進而通過代理成本最小化來設計魯棒契約。傳導機制表明,委托人會通過薪酬契約設計將模型不確定性轉移給代理人,從而對企業最優動態投資決策產生影響。在此基礎上,進一步分析委托人波動率模糊對企業證券定價、托賓q、股權溢價以及信用價差的影響。

本文數值分析結果表明,波動率模糊下的魯棒契約在委托人和代理人之間產生異質信念,使得委托人認為企業現金流的波動率高于真實波動率。特別地,當企業處于財務困境時(現金流接近清算邊界),模糊厭惡的委托人認為波動率相對更高,并由此形成更嚴重的投資不足。同時,當企業面臨較高的不確定性時,處于財務困境的企業進行投資產生的邊際價值較小,這與Eisdorfer[29]的實證結論相符。此外,波動率模糊的存在會降低股東價值、契約規定的投資率以及企業平均q。最后,通過融入波動率模糊性厭惡,本文發現股權溢價和信用價差正相關,且兩者都與企業的投資率呈負相關,這與Hou等[30]和Chordia等[31]的實證研究結論一致。

本文可能的貢獻主要體現在3個方面:

(1) 首次從動態投資視角分析了波動率模糊的魯棒契約問題。作為公司金融領域的重要問題之一,動態契約研究已經產生了豐富的研究成果,但已有研究主要基于理性預期這一前提假設。本文考慮委托人波動率模糊厭惡3)由于我國上市公司普遍存在“一股獨大”、股權分割等現象,故考慮股東(委托人)的異質信念假設更合理,利用連續時間金融模型對企業動態投資決策、證券估值等進行分析。同時,給出了異質信念下波動率的時變效應,為后續相關研究提供了理論借鑒。

(2) 為理解企業非效率投資(特別是投資不足)問題提供新的可能性分析機制。已有研究從不同角度分析企業的非效率投資決策問題,包括委托代理理論、信息不對稱理論、資本結構理論以及公司治理等[32]。但是,鮮有文獻在委托代理理論框架中,從決策者的模糊信念角度進行分析。如前文所述,委托人的異質信念會扭曲企業資產的波動率,從而導致其投資扭曲,這為理解企業非效率投資問題提供了新的思路。

(3) 本文分析了波動率模糊厭惡對股權溢價和信用價差的影響,并進一步分析了他們與企業投資率的相關性。這拓展了相關理論研究,也能對相關實證分析提供更豐富的理論基礎[33-34]。

1 基本假設與魯棒契約

1.1 企業生產與波動率模糊

本文基于新古典投資q理論框架構建基本模型[1-2]。假定企業采用實體資本進行生產,其中,記{K t}t≥0為在任意時刻t企業的資本存量水平,{A t}t≥0表示企業單位資本存量的累積產出。由于所有權和經營權的分離,委托人(股東)授權管理者(代理人)行使企業的經營決策權。因此,為刻畫代理沖突對企業產出的影響,記a={a t}t≥0為管理者的努力水平,其中,a t∈{0,1}。令Pa表示由a引致的概率測度[14],在Pa下,假設單位時間內企業單位資本存量的產出水平{dA t}t≥0,其服從如下擴散過程:

進一步,假設企業資本積累過程滿足如下動態方程[1]:

式中:常數δ(≥0)為資本折舊率;隨機過程{I t}t≥0為在任意時刻t企業的投資水平,所產生的資本調整成本為G(I,K)4)該成本包括買入/賣出資本的基礎價格成本和投資摩擦成本。參照文獻[1],假設G(I,K)是投資水平I與資本存量K的一階齊次函數,即G(I,K)=g(i)K,其中,i=I/K為投資資本比,g(i)為單調遞增的凸函數。在本文模型中,設g(i)=i+θi2/2,其中,θ刻畫了資本調整成本的摩擦強度[1]。假設企業在任意單位時間內的運營收入與資本存量成比例,其單位時間內的運營凈收入{dY t}t≥0可表示為

假設委托人不相信代理人匯報的收益流概率分布Pa,因此,委托人會扭曲Pa然后進行最優契約設計。參考Maccheroni等[35]的研究,本文給出基于生產模型的波動率模糊魯棒契約問題。定義可測過程v={v t}t≥0,將式(1)改寫為

決策者通過選擇v來最小化自身效用,但同時付出成本Ψ(v,K),其中Ψ(·,K)是一個非負凸函數。由此,委托人將概率測度Pa扭曲為概率測度Pv,在概率測度Pv下是一個布朗運動。結合文獻[23,35]中關于相對熵罰函數的討論,考慮如下相對熵罰函數:

式中:log(·)為自然對數;Ψ(v,K)的形式類似于文獻[23]中的穩健控制偏好;參數π控制決策者的模糊厭惡程度。

1.2 波動率模糊下的魯棒契約

假設委托人是風險中性的,其無風險貼現利率為r。委托人基于概率測度Pv進行決策,通過設計合理的投資水平I、薪酬支付水平C以及企業清算時機T,使得代理人在追求自身利益最大化的同時,還能符合委托人的利益,進而確保代理成本的最小化。另外,在引入模糊信念后,委托人尋找最優的測度Pv,使得因概率扭曲引起的懲罰費用最小的同時,還要在最壞概率測度Pv下重新計算企業收益流。外部最優化問題表明,在給定模糊厭惡Ψ(v,K)的程度下,當最壞情形概率Pv發生時,在初始時刻委托人擬定契約Γ=,使得自身值函數最大。

問題1魯棒契約問題表述為:

式中,代理人的目標函數包括薪酬的現值及其付出的努力成本兩個部分。參考相關文獻[27],本文將代理人的努力成本設置為關于的一次函數,并與資本存量K成比例,即根據這一設置,參數λ(＞0)可直觀地理解為代理人努力成本的大小[27]。如果是問題1的解,則魯棒契約Γ=為激勵相容。

2 魯棒契約模型的求解

2.1 魯棒契約的解

對于任意契約Γ=,定義代理人預期貼現效用的價值過程滿足如下形式:

不難得到V t(Γ,X t)是一個鞅,從而由鞅表示定理可得存在一個可測過程{βt}t≥0,使得對于任意t＞0,有

此時,代理人在單位時間內的增量薪酬等于現金支付dC t和未來支付價值的增量dW t之和?？紤]到代理人付出的努力成本,同時為補償其時間偏好,這個增量補償必須平均等于(γW t+λμK t)dt。βt越大,表明薪酬支付水平越高,因而委托人會給出最低的薪酬支付水平來形成激勵相容契約,此時有βt=λ5)此處隱含假設當代理人努力而付出的成本和得到的收益相等時,代理人會選擇努力成立。

接下來給出委托人值函數以及最優契約的結果。將契約問題1 中委托人的連續價值函數記為F(K t,W t),該值函數與狀態變量K和W有關。參考Miao等[36]的方法,可以導出F(K t,W t)滿足如下漢密爾頓-雅克比-貝爾曼 (HJB)方程:

式中,F函數的下標分別表示關于對應變量K或W的一階或二階偏導數。借鑒文獻[1]中的研究,根據委托人值函數F(K t,W t)的齊次特性,有F(K t,W t)=K tf(w t)成立,其中,w t=W t/K t。通過求導計算可得:

進一步,假定dC t/K t=c tdt,同時注意到βt=λ。將上述結果代入式(10),并去掉時間下標后可得f(w)滿足如下常微分方程:

定理1在代理人最大的努力水平下,委托人的值函數在區間上滿足F(K,W)=Kf(w),其中,f(w)滿足如下常微分方程:

另外,最壞情形密度算子為

契約規定的最優投資率為

證明參見Miao等[36]的研究。證畢

2.2 最優情形與參數選擇

本節先給出沒有代理沖突(最優情形)時模型的解(下文記為FB),然后給出本文數值分析時模型參數的取值。在沒有代理沖突時,委托人也需要付出努力成本λμK。根據Hayashi[9]的研究,可得最優情形下的投資-資本比iFB=I/K滿足

與De Marzo等[1]的最優投資情形相比,式(17)中多了努力成本參數λ。為保證投資率是大于0的實數,參數要求保證μ(1-λ)＜g(r+δ)。另外,由齊次特性,單位資本下的企業價值為pFB(w)=qFB-w,其中,qFB=1+θiFB表示最優情形下的托賓q。

參考De Marzo等[1]的研究,本文模型參數的取值如下:無風險利率r=4.6%,代理人的貼現利率γ=5%,波動率σ=0.26,單位資本清算回收率l=0.97,資本調整參數θ=2,資本存量的折舊率δ=12.5%,努力成本參數λ=0.2,單位產出的最大平均增長率μ=0.25。上述參數均為年化后的取值。將模糊厭惡參數取為π={0.1,1,∞},分別表示波動率模糊厭惡程度較高、較低和沒有3種情形。

2.3 魯棒契約的性質

圖1 展示了定理1 的結果。圖1(a)表明,委托人的價值函數f(w)是關于w的上凸函數,這一結論對存在與不存在波動率模糊都是成立的。而隨著參數π的增加,f(w)的值是增加的,即波動率模糊程度的增加會降低委托人的價值函數,因為此時財富轉移效應更加明顯。此外,隨著參數π的增加,契約規定的薪酬支付上邊界遞減,這意味著波動率模糊厭惡程度上升會導致薪酬支付時機的延遲。當f(w)的值較低時,薪酬支付上邊界較高,此時推遲補償時間是最優的,可以減少契約的終止概率。

圖1 最優魯棒契約與投資率Fig.1 Optimal robust contract and investment rate

圖1(b)表明,ν*(w)2＞1(π→∞時對應ν*(w)2=1),因此,在委托人模糊厭惡下認為的波動率總會大于真實波動率σ。另外,模糊厭惡產生的波動率是時變的,當企業接近清算邊界時,委托人模糊波動率相對較高,這一扭曲同樣會影響委托人的價值函數,使得接近清算邊界時委托人的價值降低幅度較大,而遠離清算邊界時委托人的價值降低幅度較小。圖1(c)表明,契約規定的最優投資水平i*(w)低于沒有代理沖突下的最優投資水平,表現為投資不足。而隨著參數π的減少,i*(w)會進一步降低,即委托人的波動率模糊會降低企業投資水平。另外,隨著波動率模糊的增強,投資率對薪酬w的敏感度i*'(w)也是降低的(見圖1(d))。

在波動率模糊厭惡的情況下,最優合約會在委托人和代理人之間產生異質信念。代理人完全相信基準概率模型,而委托人則認為波動率是隨時間變化的,并且嚴格高于基準情形下的波動率。當接近清算邊界時,委托人的模糊波動率相對更高,企業經營狀況變得對基本業績的沖擊更加敏感,同時導致其價值和投資率降幅最大。從委托人角度來看,當企業面臨更高不確定性時,其在困境情形下進行投資產生的價值較小,這與Eisdorfer[29]的實證分析一致。另外,本文的波動率模糊模型可以得到如下兩個一般性的推論。

推論1定理1給出的值函數f(w)關于π是嚴格遞增的。

證明應用Dynkin公式將價值函數寫成一個積分微分算子,然后在積分符號下進行微分,并應用包絡定理得到

最后利用F(K,W)=f(w)K即可得推論。證畢

推論2薪酬支付上邊界關于π是嚴格遞減的。

證明給定任意投資水平i下有

3 魯棒契約的應用與數值分析

3.1 比較靜態分析

圖2(a)和2(b)給出了在π=0.1情形下代理人的努力成本λ對契約規定的最優投資率i*(w)以及最壞情形密度算子ν*(w)2的影響。首先,努力成本增加會降低魯棒契約的最優投資率,同時使得薪酬支付邊界降低(支付時機提前)。其次,努力成本對最壞情形密度算子ν*(w)2的影響是不同的。當企業接近清算邊界時,較低的努力成本對應較高的密度算子ν*(w)2,意味著委托人模糊波動率相對較高;反之,當企業遠離清算邊界時,較低的努力成本對應較低的密度算子ν*(w)2,意味著委托人模糊波動率相對較低。因此,當代理人的努力成本較低而使得企業陷入經營困境時,委托人對代理人的懷疑程度會更高,形成更大的模糊波動率。另外,在代理人努力成本較高的情形下,隨著企業遠離清算邊界,最壞情形密度算子ν*(w)2的下降相對緩和。

圖2 努力成本和投資成本的影響Fig.2 Effects of effort and investment costs

圖2(c)～2(d)給出了投資成本θ對契約規定的最優投資率i*(w)以及最壞情形密度算子ν*(w)2的影響。當遠離清算邊界時,投資成本增加會降低魯棒契約的最優投資率;當接近清算邊界時,較高的投資成本使得企業出售資產的速率減緩。此外,投資成本增加也會降低最壞情形密度算子ν*(w)2。

3.2 企業證券定價與托賓q

在魯棒決策模型中,委托人所獲取的信息量及精確程度往往會影響其預先確定的不確定集。而信息約束一方面會影響企業投融資等經營決策,另一方面也會直接影響企業證券的價值評估。在動態模型中,由于模糊信念變化導致信息的不斷修正,故其如何影響委托人或代理人主觀的企業證券價值評估? 為此,記B t、S t和M t分別為企業債務、股權和現金儲備的市場價值。采用m t=M t/K t表示在區間內每單位資本的現金儲備,其中,表示內生的支付邊界。根據De Marzo等[1]的研究,在內部區域的演化方程為

記{U t}t≥0為股東得到的分紅過程,注意到在內部區域股東分紅為0。由于波動率模糊厭惡性的投資者能較好地分散風險,故企業的股權價值滿足以下表達式:

對于企業債務,單位時間的債息支付為

同時,當企業清算時,債權人得到企業剩余價值l K T。于是,債務價值可以表示為

利用伊藤引理,不難得到b t=B t/K t在區間[0,]滿足如下常微分方程:

根據經典的投資q理論文獻,托賓平均q定義為企業市場價值與賬面價值之比[1],即q t=V t/K t,其中,V t為企業總價值。因此,不難得到q t=s(m t)+b(m t)-m t,其中,s(m t)和b(m t)分別由常微分方程式(20)和(22)給出。雖然托賓邊際q更準確地反映了企業未來的投資機會,但由于邊際q一般是不可觀測的,因而實證檢驗中大多采用平均q作為其代理變量。Bolton等[11]認為,在企業面臨融資約束時,平均q測度投資機會具有較強的穩健性。

圖3給出了不同情形下的托賓q(平均q)與現金儲備m之間的關系。圖中水平直線表示最優情形下的平均q,其值大小均與m無關。在代理人存在道德風險的情形下,平均q隨著m的增加而增加,表現為正相關關系。根據代理人薪酬價值的演化方程式(9)和每單位資本現金儲備的演化方程式(18),可以發現,企業現金儲備隨著過去利潤的增加而增加,同時動態契約下的平均q隨m的增大而增加[27]。最后,在本文的魯棒契約模型中,隨著委托人的波動率模糊變得更加嚴重,導致企業價值降低,從而使得平均q下降。

圖3 魯棒契約下的平均qFig.3 Average q under robust contract

3.3 股權溢價與信用價差

本節給出委托人波動率模糊厭惡下的股權溢價和信用價差分析。借鑒Miao等[36]的研究,條件預期股權溢價被定義為

式中,s(m)由微分方程式(20)及其邊界條件給出。注意到當不存在波動率模糊時(即ν*(w)2=1的特殊情形),股權溢價為0;但本文模型中由于委托人的模糊厭惡產生了內生的模型不確定性(即ν*(w)2＞1),由此導致了正的股權溢價。

另一方面,使用債券的信用價差CS來衡量違約風險。根據Miao 等[36]的研究,CS滿足如下等式:

記D t為在違約時合同持有人得到1美元的市場價值,定義為

利用式(24)和(25)可得信用價差與債務價值的關系為

圖4給出了最優魯棒契約下模糊厭惡參數選取為π={0.1,1}時的股權溢價和信用價差分析。從圖中可以看出,股權溢價和信用價差隨著代理人模糊厭惡程度的增加而增加,并隨現金儲備m t的增加而減少。直觀地,委托人的模糊厭惡使得內生信念Pv下的股權價值低于信念Pa下的股權價值。因此,委托人需要股權的預期收益溢價進行補償,從而使得本文模型與Miao等[36]的研究不同,股權溢價和信用風險都與投資決策及平均q有關。

圖4 最優魯棒契約下的股權溢價和信用價差Fig.4 Equity premium and credit spread under optimal robust contract

此外,本文模型預測的股權溢價和信用價差都與企業的經營狀況有關。當企業接近違約邊界時,股權溢價和信用價差都更高,這與標準的資產定價文獻是一致的[37-38],即他們發現公司的股權溢價和信用價差正相關。從經典理論模型角度,通常需要用一個高的風險厭惡系數來解釋現實中較高的股權溢價。但是較高的股權溢價可能是由于模糊厭惡而不是高風險厭惡系數導致的[39]。在本文模型中,委托人是風險中性的,但是模糊厭惡激發了其與代理人模型不確定性的動機,故與風險厭惡引起的風險分擔不同,模糊厭惡分擔是由委托人和代理人之間的內生信念異質性引起的[40]。

本文的魯棒契約模型預測投資較多的公司往往有較低的股權溢價、較低的信用價差和較高的現金儲備。這些結果基本與文獻[30-31]中的實證研究一致。本文還發現股權溢價和信用價差都與企業的投資率呈負相關關系,該結論與文獻[33-34]中的實證結果一致。

4 結論

本文基于連續時間金融模型框架,構建了包含動態投資決策的魯棒契約模型,并描述了波動率模糊下的魯棒契約特征。魯棒契約在委托人和代理人之間產生信念異質性,即委托人內生地認為企業現金流的波動率高于真實波動率,由此導致更嚴重的投資不足問題。同時,基于企業債務、股權和現金進行了模型的應用及數值模擬分析,通過參數校準,模型產生了非零的股權溢價和信用價差。研究發現:

(1) 委托人的波動率模糊厭惡降低了企業的托賓q、平均投資率和股權價值。

(2) 由于委托人波動率模糊厭惡,股權溢價和信用價差正相關,且兩者都與企業的投資率呈負相關關系。

未來進一步研究可以從以下幾方面進行拓展:本文僅考慮了委托人的模糊厭惡,實際上還可以進一步考慮代理人的模糊厭惡。另外,由于企業存在三級代理現象,即委托人雇傭高管,而高管雇傭工人,因而可以考慮三級代理問題中的模糊厭惡問題。