基于Arnold變換的抗截獲波形設計方法

陳 鳳,楊 陽,程建軍,朱立東,張 勇,4

(1.電子科技大學 通信抗干擾全國重點實驗室,四川 成都 611731;2.成都流體動力創新中心,四川 成都 610072;3.中國人民解放軍32040部隊,青海 海東 810889;4.成都信息工程大學 通信工程學院,四川 成都 610225)

0 引言

由于衛星通信信道的開放性,通信信號的安全難以保證,設計具有抗截獲性能的通信信號十分必要。在衛星通信中,最常見的抗截獲傳輸方法是擴頻通信[1-3]。擴頻信號通常把有用信息隱藏在背景噪聲中傳輸,加上傳輸過程中噪聲和干擾的作用,以及擴頻碼的隱蔽性,使得擴頻信號具有一定的安全通信能力。但由于擴頻信號的擴頻碼是偽隨機的,具有周期特性[4],目前已經有很多成熟的針對擴頻技術的檢測手段[5],例如：能量檢測法、高階累積量法、時延相關法、譜相關法等。因此傳統的擴頻傳輸技術很容易被非合作方檢測到。

針對傳統擴頻傳輸技術存在易被截獲等問題,本文在擴頻技術的基礎上,提出了一種基于Arnold變換的抗截獲波形設計方法。該方法從有用信號本身出發,對信號的頻域數據進行處理,即采用Arnold變換將有用信號在頻域進行置亂,破環有用信號的周期性,使得其在時域上更接近雜亂的噪聲信號。由于傳統的擴頻信號能很好地隱藏在噪聲中,置亂后的擴頻信號隱藏在噪聲中更不易被發現,從而保證了信號的抗截獲性能。

1 Arnold變換

擴頻信號的子帶置亂相當于將傳統擴頻信號進行加密的過程。在數字圖像處理領域有很多圖像的置亂算法,如Arnold變換[6-8]、幻方變換[9-10]、Baker變換[11]、Standard映射[12]等。其中Arnold變換是最經典的置亂方法,其方法簡單、易于理解和實現,已經在圖像領域得到了充分的應用。本文將Arnold變換與通信信號傳輸結合,以提高信號傳輸的安全性。

Arnold變換又稱為“貓臉變換”,利用Arnold變換可以對圖像進行置亂,使原本有意義的圖像變成一張無意義的圖像。實際上,Arnold變換是對矩陣進行變換,因此,該變換不僅可以用于圖像置亂,也可以用于其他矩陣類型的數據。

Arnold變換可以抽象為在平面單位正方形內繪制一個貓臉圖像,通過這一變換使得貓臉圖像由清晰變得模糊[6]。將圖像看作一個N×N的矩陣(本文主要討論圖像為正方形的情況),對矩陣中的每個坐標點(x,y)進行變換,具體變換方法如式(1)所示。

(1)

式中：mod為取模運算,N為正方形圖像的邊長,(x′,y′)為像素點(x,y)變換后的坐標。一個圖像矩陣,通常一次Arnold變換不能達到理想的置亂效果,需要對矩陣進行連續多次的變換,使圖像達到最“混亂”的程度。

Arnold變換存在逆變換[13-14],經過t次Arnold變換后的數據可以通過t次逆變換進行恢復,其逆變換過程如式(2)所示：

(2)

Arnold變換具有周期性[8,15],即對圖像連續進行Arnold變換,最終又能得到原圖像。變換周期和圖像的尺寸N有關,不同尺寸N對應的變換周期如表1所示。鑒于此,Arnold變換使得矩陣的“混亂”程度是一個先增大再降低的過程,因此要得到最“混亂”的圖像,需要找到使圖像矩陣的“混亂”程度最大的變換次數t。將以上原理應用于通信數據中,同樣需要找到最優的變換次數t,使得信號矩陣的混亂程度最大。

2 系統模型

為了提高擴頻信號的抗截獲性能,研究了對擴頻信號頻帶進行子帶置亂的方法。該方法借助Arnold變換的思想,將信號頻域數據視為一個待處理矩陣,對不同子帶的數據進行打亂,以達到子帶置亂的目的。

系統的大致流程為：在發送端,基于Arnold變換,對擴頻后的信號頻帶進行子帶劃分,并對各個子帶進行一定程度的置亂,然后再進行無線傳輸;在接收端,先對接收信號進行子帶亂序恢復,再進行整個擴頻信號的解調與解擴。

通信系統流程如圖1所示,其中圖1(a)表示簡要的通信過程,藍色部分表示本文中主要涉及的方法,圖1(b)表示子帶置亂與置亂恢復的流程。

(a) 信號發送及接收流程圖

(b) 子帶置亂與子帶恢復流程圖

圖1(b)中,在信號發送端直接采用對擴頻信號的快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)值進行置亂的方法,使用均勻劃分的方式對信號進行子帶劃分,將劃分后的信號頻段進行Arnold變換。

由于Arnold變換本質上是一種“位置置換”的變換,因此,對于擴頻信號的頻譜數據來說,Arnold變換是一種非線性變換。該方法以擴頻信號子帶亂序發送的方式打亂了原始擴頻信號的頻譜結構,因此,置亂后的信號經過快速傅立葉變換(Inverse Fast Fourier Transform,IFFT)后形成的時域信號結構也隨之改變,不具備擴頻碼的周期性,這與后續的仿真結果相吻合,所以該方法提高了信號傳輸的抗截獲性能。由于原始擴頻信號的結構被改變,非合作方很難根據盲檢測技術檢測到信號存在。即便非合作方截獲到信號的存在,但在不知道信號置亂規則的情況下,也無法正確解調出原始發送信號。

3 子帶置亂與最佳置亂度

3.1 子帶置亂

擴頻信號的子帶置亂過程模擬了圖像的Arnold置亂過程。將擴頻信號經過FFT后得到的頻域數據均勻地劃分為N×N個“小頻段”,即子帶;將這些已經完成分段的信號以子帶為單位依次排列成N×N維方陣的形式,并對其依次進行編號,用矩陣的形式表示出信號在置亂之前各個子帶的排列規律。 圖2表示頻帶劃分以及所有子帶排列成N×N維矩陣的示意圖。

圖2 子帶劃分示意圖Fig.2 Sub-band division diagram

圖2中的信號矩陣類似于圖像處理中的圖像矩陣,并且矩陣中元素的排列存在很強的規律性(原始擴頻信號子帶排列的規律性)?？梢钥闯?每個元素編號大小變化是有規律的,且相鄰元素的編號差值是固定的。即在一行中,左右相鄰元素代表原始擴頻信號中相鄰的頻段,編號相差1;在一列中,上下相鄰元素的編號之間差值為N,代表兩個子帶之間相隔N-1個子帶。因此,為了打破其規律性,需要對上述信號矩陣進行置亂。采用上節提到的Arnold變換方法,將圖2中的N×N維信號矩陣置亂,破壞信號矩陣各元素之間的規律性。即對信號分段FFT值進行置亂,以達到子帶置亂的目的。由于Arnold變換具有周期性,因此在一個變換周期內,根據置亂度大小判斷最佳置亂次數t,并得到最佳置亂度,然后對信號矩陣進行t次Arnold變換,得到具有最佳置亂度的信號矩陣。

3.2 置亂度

采用Arnold變換將信號矩陣置亂時,進行不同次數的置亂得到的信號矩陣混亂程度不同。根據上節可知,可將信號矩陣視為圖像矩陣,不同元素編號表示為不同的灰度級,則衡量信號矩陣的混亂程度,可以借助矩陣灰度來表示。采用以下兩種度量方式來描述信號矩陣的混亂程度。

① 衡量混亂程度可以用信號矩陣的方差表示。由于每次變換時信號矩陣不同區域的元素都在改變,因此矩陣元素的分散程度可以采用矩陣的分塊方差θ1(t)來衡量[8,16]。② 借助每個元素點與其4鄰域元素之間的差值θ2(t)進行衡量[8],即打破矩陣元素編號左右相差1、上下相差N的規律性。

3.2.1θ1(t)的計算

(3)

(4)

(5)

在一個Arnold變換周期內,對每次變換得到的信號矩陣的方差求平均值,并記為Iavg(β2),設 第t次置亂后信號矩陣的方差為It(β2),則t次變換后信號矩陣的分塊方差θ1(t)可以表示為：

(6)

這種方法認為信號矩陣各個分塊中的元素編號值與該分塊的均值差別越大,信號矩陣變化越劇烈,置亂效果越好。

3.2.2θ2(t)的計算

信號矩陣按照一定順序排列,矩陣中的元素編號為信號子帶的編號,相鄰元素(4鄰域元素)之間存在關聯性,即左右元素編號相差1,則為相鄰子帶;上下元素編號相差N,則為子帶之間的間隔沒有改變。為了減小矩陣相鄰元素之間的相關性,相鄰元素差值越大,矩陣的置亂效果越好,相關性越小說明矩陣的置亂程度越高,因此可以用4鄰域差值的方法來衡量矩陣的置亂度。

由于在初始信號矩陣中,上下元素差值固定為N,左右元素差值固定為1。因此,在計算元素的上下鄰域差值和左右鄰域差值時應分別去掉固定差值N和1的影響。在仿真中將元素編號轉換為灰度級,則固定差值可以分別定義為偏差量ε1和ε2。因此,矩陣第x行、第y列的元素值大小用f(x,y)表示,則該點與4鄰域元素值的差定義如下：

(7)

式中：ε1和ε2分別表示f(x,y)與上下兩個鄰域和左右兩個鄰域的偏差值。f(x,y)與其4鄰域元素差值的均值S(x,y)定義如下：

(8)

由式(8)可知,信號矩陣每個元素都對應一個S(x,y)值,因此信號矩陣I的4鄰域元素差值的均值可以定義為：

(9)

經過t次Arnold置亂得到的信號矩陣的4鄰域差值可以定義為：

(10)

式中：It(S)為第t次Arnold變換得到的信號矩陣I的4鄰域元素差值的均值,Iavg(S)為一個置亂周期內的信號矩陣4鄰域元素差值的均值。

3.2.3 最佳置亂度

結合上述兩種衡量指標θ1(t)、θ2(t),綜合度量信號矩陣的置亂度,信號矩陣第t次變換的置亂度可以表示為：

D(t)=λ×θ1(t)+(1-λ)×θ2(t),

(11)

式中：λ為兩個指標之間的加權系數,θ1(t)為信號矩陣分塊方差,θ2(t)為信號矩陣的4鄰域差值。由式(11)可知,置亂度D(t)越大,圖像的混亂程度越高。根據不同變換次數t計算出置亂度D(t),經過比較可以得到最佳置亂度,即D(t)的最大值。

4 仿真結果

在Matlab仿真平臺上進行了子帶置亂仿真,其相關參數設置如下：矩陣階數N為128,矩陣分塊數量L為256,分塊矩陣階數k為8,置亂周期為96次。

在仿真過程中,借用灰度圖像的表示方法,得到信號矩陣置亂前的圖像表示結果,如圖3所示。其中圖像的第一個像素點代表信號的第一個子帶,最后一個像素點代表信號的最后一個子帶,子帶的編號大小即圖中元素點的顏色深淺。

圖3 置亂前各個子帶的排列規律Fig.3 Arrangement of each sub-band before scrambling

根據仿真參數可知,圖中的子帶個數(灰度級)為16 384,其中顏色越深代表灰度值越小,即子帶編號越小;顏色越淺代表灰度值越大,即子帶編號越大。

根據式(11),將λ分別取1和0,測試θ1(t)和θ2(t)對置亂度D(t)的影響,如圖4所示。從圖中可知,置亂度與半個變換周期具有一定程度的對稱性,對比可知,在一個周期內θ1(t)對置亂度D(t)的影響更加平緩,而θ2(t)的影響曲線則凹凸不平。這是因為θ1(t)反映置亂后矩陣的局部波動特性,在 一個分塊矩陣中,每一次置亂的結果雖然不同,但不會引起值的劇烈變化(除兩端和中間)。θ2(t)反映置亂后矩陣的細節特征,每一次變化導致各個元素四周的元素值改變,會導致置亂度發生較為劇烈的變化。由對比可知,θ1(t)帶來的置亂程度相比于θ2(t)更大,因此在仿真中將權重λ設為大于0.5的數值較為合適(本文λ=0.8)。

(a) λ=1

(b) λ=0

根據子帶劃分的個數以及Arnold變換的階數可得變換周期為96次,為了得到一個周期內最佳的置亂次數,仿真得到了置亂次數t與置亂度D(t)的關系如圖5所示,可以看出,置亂周期兩端的置亂效果最差,置亂83次得到的置亂度是最高的,最佳置亂度D(t)為0.993 3。

圖5 置亂次數與置亂度的關系Fig.5 Relation between scrambling frequency and scrambling degree

圖6為信號矩陣經過83次Arnold變換后的置亂矩陣,即信號子帶亂序排列,可以看出,信號矩陣對應的圖像被置亂,即信號子帶被打亂分散,與原始擴頻信號的子帶排列產生了較大的區別,混亂程度高。

圖6 子帶置亂后的子帶排列(83次)Fig.6 Sub-band arrangement after sub-band scrambling (83 times)

為了比較子帶置亂過程對擴頻系統誤碼率的影響,在Matlab上進行了相關仿真,仿真條件如下：調制方式為BPSK調制,信號比特速率為1 024 bit/s,擴頻序列為8階m序列,擴頻碼周期為255,其中 8階m序列的本原多項式為f(x)=x8+x4+x3+x2+1。通過仿真得到了不同比特信噪比下,有子帶置亂過程和無子帶置亂過程的系統誤碼率對比情況如圖7所示,可以看出,子帶置亂過程幾乎不會對系統產生額外的誤碼影響,同樣保持了原始擴頻信號低誤碼率的性能。

圖7 誤碼性能對比Fig.7 BER performance comparison

通信系統采用子帶置亂的方法,以提高信號在傳輸過程中的抗截獲性能。為了驗證子帶置亂方法對信號抗截獲性能的影響,采用時延相關[17- 20]的方法判斷信號性能好壞。圖8仿真結果表明,子帶置亂能很好地破壞擴頻信號時域的周期特性,進行時延相關檢測時,不能得到比較明顯的相關峰。相比之下,沒有子帶置亂的信號有比較明顯的相關峰。對于非合作方來說,擴頻信號隱藏于噪聲之下,并且子帶置亂的擴頻信號不能依靠其相關峰進行檢測,因此很難檢測到信號的存在。另外,在知道擴頻信號存在子帶置亂的情況下,需要知道確切的置亂方法和置亂次數,才能準確恢復信號。

(a) 無置亂

(b) 有置亂

5 抗截獲性能分析

由前述仿真結果可知,通過時延相關檢測算法,傳統的直擴信號周期出現相關峰,而相同的信噪比條件下,置亂后的信號不能檢測出明顯的相關峰。信號進行時延相關檢測后的信號特征主要體現在相關峰值上,同一信號的相關峰一般比其他相關點處的幅值大很多。信噪比越大,相關峰幅值越大,而時延相關后的均值是相對比較小的。因此可以根據時延相關后的峰均比(Peak-to-Average Power Ratio,PAPR)來檢測信號。通過設置一定的PAPR門限,時延相關后的PAPR越大越容易被檢測到。在不同信噪比條件下仿真計算PAPR,并與不同的PAPR門限進行比較得到有置亂和無置亂兩種情況下的檢測概率。其中,分別仿真了信噪比為-20 dB和0 dB時,不同PAPR門限下有置亂和無置亂的信號檢測概率,如圖9所示。

(a) 信噪比為-20 dB

(b) 信噪比為0 dB

從圖9(a)中可知,在信噪比為-20 dB、PAPR設定為4～8 dB的情況下,有置亂的信號相比于無置亂的信號檢測概率更低;在圖9(b)中,有置亂的信號檢測概率同樣比無置亂的信號檢測概率更低。由圖9可得,信噪比增大,兩條曲線往右平移,即對應更高的PAPR門限。并且無置亂曲線平移量更大,有置亂的曲線平移量更小,說明有置亂的信號隨著信噪比的增加,被檢測到的概率增加更緩慢。因此,有置亂的信號具有更好的抗截獲性能。

從信噪比和PAPR門限兩個維度上整體分析兩種信號的檢測概率。仿真條件設置為：信噪比-40～10 dB,PAPR門限值3～18 dB,仿真結果如圖10所示,可以看出,在不同信噪比和PAPR條件下,信號在有置亂的情況下檢測概率低于無置亂的情況。說明該置亂方法提高了信號的抗檢測能力,這正是該方法相比于傳統擴頻信號的優勢,符合該方法的預期結果。在相同信噪比條件下,兩種仿真結果的檢測概率都是隨著PAPR門限值的增大而減小,因為門限值越低,仿真結果超過門限的可能性越大,反之可能性越小;在相同PAPR門限條件下,檢測概率隨著信噪比的增大而增大,因為信噪比越大,噪聲的幅值越小,信號的峰值越大,因此仿真的PAPR值會越大,更易超過PAPR門限值,檢測概率增大。綜上所述,該方法相比于傳統的擴頻信號抗截獲性能提升,有繼續研究的價值。

圖10 有置亂和無置亂情況下檢測概率Fig.10 Detection probability with and without scrambling

6 結束語

使用圖像加密處理方法中的Arnold變換,將發送端的擴頻信號在頻域上進行置亂,再經過IFFT轉為時域信號后進行發送傳輸。接收端對接收信號進行解置亂,再進行常規的解調和解擴,恢復出包含重要信息的有用信號。經過置亂的信號采用時延相關法檢驗其信號特征,與擴頻信號相比,置亂破環了傳統擴頻信號的周期性,有一定的抗截獲效果。采用基于PAPR的判決檢測方法,仿真了有、無置亂兩種情況下信號在不同PAPR門限、不同信噪比條件下的檢測概率。在相同條件下,置亂信號的檢測概率低于傳統擴頻信號,提高了信號的抗截獲性能。