直線與圓錐曲線題型及解法探究

王昌如

直線與圓錐曲線題型靈活多變，難度較大.為提高學生的解題能力，為其數學水平的提升奠定堅實的基礎，教學中應注重相關題型以及解法的匯總、講解，使學生遇到相關習題時，能夠迅速破題，增強解答直線與圓錐曲線問題的自信.

1 直線與圓錐曲線位置問題

判斷直線與圓錐曲線的位置關系，需要將直線和圓錐曲線方程聯立，轉化成一元二次方程，借助Δ進行判斷.同時，還應注重靈活運用向量知識判斷直線與直線的位置關系.另外，如題目中未提示直線斜率是否存在，解題時還應注重分類討論，不遺漏任何滿足題意的情境，保證考慮問題的全面性.

例1? 已知橢圓的標準方程：x22+y2=1，一斜率為k的直線l過點（0，2）且和橢圓交于不同的兩點P，Q，O為坐標原點.

（1）求k的取值范圍.

（2）若橢圓分別和x軸正半軸、y軸正半軸交于A，B兩點，則是否存在常數k，滿足OP+OQ和AB垂直？若存在，求出k值；若不存在，說明理由.

解析：（1）由已知條件可設直線l的方程為y=kx+2.

聯立x22+y2=1，y=kx+2，

整理得

（1+2k2）x2+42kx+2=0.

當直線l和橢圓方程存在兩個不同的交點P，Q時，則滿足Δ=（22k）2-412+k2＞0，即2k2-1＞0，求得k的取值范圍為-∞，-22∪22，+∞.

（2）由題意，不妨設P（x1，y1），Q（x2，y2），則

OP+OQ=（x1+x2，y1+y2）.

而A（2，0），B（0，1），則AB=（-2，1）.

由OP+OQ和AB垂直，可得

-2（x1+x2）+y1+y2=0.①

又由于x1+x2=-42k1+2k2，y1+y2=k（x1+x2）+22=221+2k2，將其代入到①中，整理得8k+221+2k2=0，解得k=-24.

該值不在（1）中k的范圍內，因此不存在這樣的k值，滿足OP+OQ和AB垂直.

2 直線與圓錐曲線弦長問題

求解圓錐曲線的弦長問題，需通過直線和圓錐曲線方程的聯立整理成一元二次方程，借助根與系數的關系表示出弦長，而后運用已知條件構建等式進行求解.另外，若能求出直線和圓錐曲線的交點坐標，則可直接運用公式求出兩點間的距離.

例2? 已知F為拋物線y2=2px（p＞0）的焦點.過點F且和x軸不垂直的直線l和拋物線交于點A（x1，y1），B（x2，y2），且y1y2=-4.

（1）求拋物線的方程.

（2）直線l和y軸交于點D，探究：AB和FD的長度是否相等？若相等，求出直線l的方程；若不等，說明理由.

解析：（1）由題意可知，直線l的方程為y=kx-p2.

聯立y2=2px，y=kx-p2，

整理得ky2-2py-kp2=0，

則y1y2=-p2=-4，解得p=2.

所以拋物線的方程為y2=4x.

（2）由（1）可得直線l的方程為y=k（x-1），將其

與拋物線方程y2=4x聯立，消去y并整理，得

k2x2-2（k2+2）x+k2=0.

而Δ=16（k2+1）＞0恒成立，則有

x1+x2=2+4k2，x1x2=1.

又直線l過點F，則|AB|=x1+x2+2=4+4k2.

由D（0，-k），F（1，0），得|DF|=1+k2.

由|AB|=|FD|，可得4+4k2=1+k2，整理得k4-16k2-16=0，解

得k2=8+45，則k=±22+5.

因此，當直線l的方程為y=±22+5（x-1）時，存在|AB|=|FD|.

3 直線與圓錐曲線定值問題

求解直線與圓錐曲線的定值問題，應結合已知條件，通過聯立直線與圓錐曲線方程，借助一元二次方程根與系數的關系，對要求解的定值表達式進行化簡.如表達式中帶有參數，為保證其為定值，應注意將帶參數的部分消除.

例3? 已知橢圓方程x25+y253=1，動直線過點C（-1，0）和橢圓交于A，B兩點，x軸上是否存在一點M，使得MA·MB為定值？如存在，求出該定值以及點M的坐標；若不存在，說明理由.

解析：假設在x軸上存在這樣的一點M（m，0）滿足題意，設A（x1，y1），B（x2，y2）.

當直線AB的斜率存在時，設對應的直線方程為y=k（x+1）.

聯立

x25+y253=1，y=k（x+1），

消去y，得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0，

則Δ=36k4-4（1+3k2）（3k2-5）＞0，解得k2＞-512.

于是

x1+x2=-6k21+3k2，①

x1·x2=3k2－51+3k2.②

所以MA·MB=（x1-m）（x2-m）+y1y2=（x1-m）（x2-m）+k2（1+x1）（1+x2）=（1+k2）＼5x1x2+（k2-m）（x1+x2）+k2+m2.

將①②代入上式，可得

MA·MB=m2+2m-13-6m+143（3k2+1）.

要想其值為定值，表明其和k的值無關，即6m+14=0，解得m=-73，此時MA·MB=49.

當直線AB的斜率不存在時，其和x軸垂直，容易求得A-1，233，B-1，-233.

當m=-73時，也滿足MA·MB=49.

綜上可知，在x軸上存在點M-73，0，使得MA·MB為定值49.

4 直線與圓錐曲線最值問題

解決直線與圓錐曲線的最值問題，通常通過聯立直線與圓錐曲線的方程，表示出要求解的最值，而后運用函數或均值不等式知識求解.需要注意的時，在設出參數后，應結合已知條件確定參數的取值范圍，保證取到最值時符合題設情境.

例4? 已知拋物線C：x2=2py（p＞0），焦點與準線的距離為2，直線l和拋物線交于A，B兩點，過點A，B分別作拋物線的切線l1，l2.l1和l2交于點M.

（1）拋物線的方程；

（2）若l1⊥l2，求△MAB面積的最小值.

解析：（1）由題意知，拋物線的焦點為0，p2，準線方程為y=-p2.

由p2+p2=2，得p=2，所以拋物線的方程為x2=4y.

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），拋物線方程為y=14x2，則y′=12x.

所以直線l1，l2的方程分別為y-x214=x12（x-x1），y-x224=x22（x-x2）.

由l1⊥l2，可得x12·x22=-1，即x1x2=-4.

根據題意，直線l一定存在斜率.設直線l的方程為y=kx+m.

與拋物線方程聯立，消去y并整理得x2-4kx-4m=0，當Δ=16k2+16m＞0時，x1+x2=4k，x1x2=-4m=-4.

所以m=1，則直線l的方程為y=kx+1.

聯立l1，l2的方程，可求得M（2k，-1）.

于是點M到直線l的距離d=2（1+k2）1+k2.

又|AB|=1+k2·（x1+x2）2－4x1x2=4（1+k2），所以

S△MAB=12·4（1+k2）·2（1+k2）1+k2=4（1+4k2）32≥4.

當k=0時，△MAB面積的最小值為4.

直線與圓錐曲線題型具有較好的區分度.教學中應結合具體例題，為學生剖析不同題型的解題方法.同時，組織學生開展針對性的訓練活動，鼓勵學生做好解題總結與反思，把握不同題型的解題規律以及破題技巧，使其真正攻克這一難點題型.