談談帶電粒子在磁場中做圓周運動的幾種證明方法*

余 超

(廣西柳州高級中學 廣西 柳州 545001)

1 引言

在當前高中物理學習中,帶電粒子在橫向磁場中做勻速圓周運動是我們的基本認知.但是無論是從高中教材或是大學物理教材中都可發現,有關的論述都較為粗略,很多學生都知其然不知其所以然.基于此,筆者從深度學習的角度入手,從多角度分析出帶電粒子在電磁場中做的是勻速圓周運動并給出合理證明.

2 多角度證明

情境：如圖1所示,一質量為m,電荷量為+q的粒子以初速度v0射入與速度方向垂直的勻強磁場中,不計粒子重力,試證明粒子在磁場中做圓周運動.

圖1 粒子在磁場中受力圖

2.1 曲率半徑的角度

如圖2所示,粒子所受洛倫茲力與初速度不共線,故粒子在磁場中做一般的曲線運動

圖2 作曲線上A點處的曲率圓

qv0B=ma

設粒子經過某點時做曲線運動的曲率半徑為ρ

上式說明粒子做曲率半徑不變的曲線運動,即勻速圓周運動.

評析:該角度運用了處理一般曲線運動時的常見思路,即引入曲率半徑.盡管這條未知曲線各個位置的彎曲程度可能不同,但在研究時,我們將該曲線分割為許多小段,將A點的這小段看做曲率半徑為ρ的圓周運動的一部分,繼而證明軌跡為圓周.將研究問題的背景放在了學生已知的情景中,更為直觀,容易被學生接受,還加深了學生對曲線運動的認識.

2.2 動量定理的角度

如圖3所示建立平面直角坐標系,粒子從O點沿y軸正方向射入垂直紙面的勻強磁場,經一段時間運動到A(x,y)處,在這段運動過程中,對x方向列動量定理方程

圖3 直角坐標系中受力和速度分解圖

∑qBvyΔt=mvx-0

即

qBy=mvx

對y方向列動量定理方程

-∑qBvxΔt=mvy-mv0

即

-qBx=mvy-mv0

因f⊥v,力做功Wf=0,則

評析:對大小和方向均變化的洛倫茲力分方向使用動量定理,把整個研究過程分成許多微小的時間段,當段數足夠多時,在每一小段時間內,變力就可以近似看作恒力,通過求和得到整個過程中洛倫茲力的沖量,在避開了復雜的積分計算的情況下求得結論.近年高考中運用“微元求和”求解物理量的習題頻繁出現,該方法為訓練學生對類似問題的處理提供了一個案例,在實際教學中可以加深學生對“微元與求和”思想方法的體會和理解.

2.3 矢量分析的角度

由牛頓第二定律

普洛斯，這家世界物流地產巨頭被萬科收購，一時間令無數物流人感到意外。本次收購案中，萬科及若干其他財團成員為收購設立的聯接基金的總出資額約24.54億美元。普洛斯退市后，萬科成為普洛斯的單一最大持有人。

(1)

根據線速度和角速度的關系

v=ω×r

代入式(1)得

m[(α×r)+(ω×v)]

(2)

因粒子初速度與磁場方向垂直,故粒子所受洛倫茲力在垂直于磁場平面內,并與速度v垂直且共面(圖4),因此,粒子運動的角速度ω與線速度v垂直,角加速度α與由圓心指向粒子所在位置的矢量r垂直.再據角量與線量的關系v=ωr和aτ=αr,式(2)可寫為

(3)

圖4 各矢量方向圖

式(3)中en為指向圓心的法向單位矢量,eτ為沿切線方向單位矢量.

評析:該方法本質上是將粒子的加速度分解成切向和法向兩個分量,運用矢量運算的法則,計算得到加速度切向分量為零,從而推導得出粒子角速度恒定,即粒子做勻速圓周運動.為教師在高中物理教學中有效貫徹數理思想提供一種方法和視角.

2.4 極坐標下質點運動學的角度

如圖5所示建立極坐標系,則粒子運動的加速度表達式為

圖5 在極坐標系中描述速度

aθ=0

則

因f⊥v,故β必為零,則vr=0,a=ar,有

得

評析:運用極坐標系分析粒子的平面曲線運動是物理競賽中的常用方法,將粒子的加速度分解為橫向和徑向分量,體會在不同坐標系視角下對運動的描述.讓學生對運動的描述有了進一步的理解,同時,也給參加物理競賽的學生在解決競賽的相關問題時提供了思路.

2.5 微分方程的角度

如圖6建立直角坐標系,對x、y方向分別列動力學方程

(4)

圖6 帶電粒子受力和速度圖

(5)

聯立式(4)、(5)得

得

(6)

代入初始條件vy0=0,得φ1=0.

則

同理得

(7)

對式(6)、(7)兩邊積分,求軌跡方程

可得

(8)

(9)

消去t得

評析:本方法采用了大學物理和高等數學的知識進行證明,以一種典型的處理質點運動學的常用思路,即在可以作積分的條件下,給出加速度隨時間的變化規律和初速度,便可求速度隨時間的變化,進而求解質點運動的運動學方程和軌跡方程.對深入研究物理問題和開闊教師視野提供參考.

3 結束語

本文從深度學習的角度,引導學生對物理問題進行深入思考,5種證明方法由淺至深,從學生的角度看,適應了不同知識水平學生的學習需求,有利于學生拓寬視野、培養科學思維、提升探究能力,讓物理學科素養得以落實[1-2].從中學物理教師的角度看,高站位、高觀點的視角下看待中學物理問題,在備課和教學中適當運用大學物理的理論、思想、方法剖析中學物理的相關內容,有利于讓教師在把握中學物理學科本質和關鍵的同時提升自身的專業素養.