限制回旋加速器中粒子最大能量的幾個因素

李志強 龔 暉

(華中師范大學第一附屬中學 湖北 武漢 430223)

1 回旋加速器最大能量的限制因素

回旋加速器的出現是加速器發展史上的重要里程碑,它使得人類不僅創造了當時人工加速帶電粒子的能量記錄,更重要的是它所展示的回旋共振加速方式奠定了人們研發各種高能粒子加速器的基礎.

最早的回旋加速器雖然已經突破了當時加速帶電粒子的能量記錄,但其最大能量依然受到幾方面因素的限制,后來人們為了突破這些限制而在其基礎上做出了許多改進.下面分別列舉和分析這幾方面的限制.

1.1 限制因素1:D形盒半徑和磁感應強度大小

圖1 回旋加速器示意圖

圖2 回旋加速器極板電壓變化圖

此時有

粒子動能

解得粒子最大動能

可見,對于特定的粒子,D形盒半徑越大,磁感應強度大小B越大,粒子達到的最大動能越大.

1.2 限制因素2:粒子經過極板間隙的時間

其他條件與第一種情形相同,但粒子經過加速極板的間隙的時間不能忽略.不妨假設間隙距離為d.

設粒子在t=0時刻,從A點飄入加速極板之間(初速度不計),則粒子每加速一次,在磁場中運動半個圓周,由于要考慮通過間隙所花時間,粒子的運動便逐漸滯后于電場的方向變化,當積累到一定程度時,電場方向與粒子運動方向不再匹配,就不再能加速,此時便達到最大速度.下面做一些簡單計算.

粒子第n次經過極板間隙所花時間

n次加速導致粒子總滯后的時間

Δt=Δt1+Δt2+Δt3+…+Δtn

可知

其中

聯立上面式子計算可得

因此,最大動能

可見,由于粒子經過極板間隙時間的影響,極板間隙越大,所能獲得的最大動能越小,但加速電壓越大,所獲得的最大動能越大.

1.3 限制因素3:相對論效應

為了使分析過程更簡潔,在這一部分,我們不考慮前文所述的兩種限制.其余條件都不變,但此處要考慮粒子速度增大后,質量也相應變大,從而導致粒子在磁場中運動周期變大,因此每在磁場中旋轉半周,粒子的運動滯后電場的變化,這稱為“相位滑動”[1]80,當滯后的總時間達到某個值時,粒子速度方向與電場方向不再匹配,不再能被加速,此時就達到了最大速度.下面做一些具體計算.

記粒子的靜質量為m0,電場變化周期

假設粒子在t=0時刻初速度從A點進入加速極板之間.根據狹義相對論,動能為Ek時,粒子質量滿足

mc2=m0c2+Ek

設粒子經過n次加速后質量為mn,在磁場中旋轉周期為Tn,則

mnc2=m0c2+nU0q

由于

可得

代入計算得

前n次滯后的總時間

解得

E′m=NU0q

可見,增大加速電壓U0有利于增大粒子的最大動能.

順便一提,第三種限制的習題還很少見,上述分析過程即可命制成適合高中生的習題,定會讓解題者對于此種相對論效應帶來的限制理解更加深入.

2 對3種限制因素的比較

經過分析上述3種限制因素,讀者可能會問,當3種因素同時考慮時,粒子的最大能量到底能達到多大.接下來我們借助實際的回旋加速器參數,分別計算上述3種因素單獨作用的情況下粒子的最大動能,以期對3種因素的主次關系有更明晰的了解.

以質子為例:

質子質量m= 1.67×10-27kg,帶電荷量e=1.6×10-19C,設磁感應強度B=1 T,加速電壓U0=100 kV,這基本符合回旋加速器的實際參數[1]83.

對于限制因素1,設D型盒半徑R=1 m,可以計算得質子被加速的最大動能約為48 MeV.

對于限制因素2,設加速電極之間的間隙d=1 cm,允許的質子最大動能約為1015MeV.

對于限制因素3,允許的質子最大動能約為14 MeV.

因此,從上述數據的比較可以看出,限制因素3對最大動能的限制起主要作用.而且,為了使粒子在徑向(垂直于磁場,垂直于粒子速度方向)和軸向(垂直于D形盒中面)的運動能夠穩定,必須保證從D形盒中央往邊緣磁感應強度逐漸減小[1]77-79.所以實際的回旋加速器中,粒子運動半徑越大,磁感應強度越小,粒子運動的周期越大,這相當于加劇了粒子的“相位滑動”,使得限制因素3所允許的粒子最大動能更小一些.

為了克服限制因素3,獲得更大的粒子能量,物理學家進一步發明了等時性回旋加速器,即通過設計產生磁場的極板的形狀,使得粒子運動軌道上的平均磁感應強度隨半徑增大而增大,這會使粒子回旋周期減小,如果正好與因速度增大、質量增大而使周期變大的數值互相抵消,從而補償限制因素3中所提到的“相位滑動”,使粒子的旋轉周期在加速過程中始終保持恒定,這樣的等時性回旋加速器能夠消除相對論效應的影響,從而提高粒子的最大能量,等時性回旋加速器的最大粒子能量可以達到幾百MeV.而另一種方案是穩相加速器,即隨著粒子繞行半徑增大,逐漸減小加速電場的頻率,以達到相位穩定,穩相加速器能達到的最大粒子能量約為1 GeV,再往后,由于經濟和技術的限制,占據主流的是弱聚焦同步穩相加速器.