轉臺運動誤差分離與角度優化技術研究

邵 萌,邵憲磊,安 冬,吳 昊,陳 喆

1.沈陽建筑大學機械工程學院;2.中國重汽集團汽車研究總院

0 引言

精密轉臺作為半導體設備、超精密加工和工業CT等行業的關鍵空間定位設備,具有極高的定位精度和旋轉穩定性[1]。轉臺的運動誤差受零部件加工、裝配精度、機械磨損等因素的直接影響,導致相關精密設備的工作精度下降?？焖倬_地測量轉臺的運動誤差是對轉臺運動誤差進行補償,提高旋轉精度的重要一步[2]。

使用誤差分離技術(EST)可以有效分離出被測工件的形狀誤差,獲得高精度轉臺運動誤差,而不受被測工件質量的限制[3]。常用的誤差分離方法有反向法[4]、多步法[5]和多點法[6-7],其中,反向法和多步法操作簡單但不適用于在線檢測,多點法因測量精度高,適用于在線檢測等優點而被廣泛使用。F.Liu等[8]提出了四點法測量和分離高速高精度旋轉軸的旋轉誤差和圓度誤差;I.Hwang等[9]提出了一種精確測量旋轉圓盤表面輪廓的方法,補償了包含在測量表面輪廓信號中的三自由度誤差運動;S.Baek等[10]提出了一種基于傅里葉變換的多探頭誤差分離方法來測量精密主軸的徑向、軸向和傾斜誤差。

傳感器在周向的安裝角度對多點誤差分離方法的精度有較大影響,不合理的角度分布會導致某些包含真實形狀誤差的諧波分量被抑制,進而影響運動誤差的分離精度[11]。文學等[12]建立了以誤差傳遞系數為基礎的測點位置優化函數,利用粒子群與遺傳算法獲取了三傳感器的最優角度值。劉思遙等[13]利用多變量目標函數尋優法優化了傳感器安裝角度和采樣數。楊赫然等[14]使用改進遺傳算法對傳感器安裝角度和輸出權值系數進行優化。雖然對于傳統多點法分離技術,傳感器安裝角度的研究已經很深入,但是對于多點法安裝角度有特殊要求的情況下,有必要對多點法的角度再進行深入研究。

本文提出了一種端面四點誤差分離方法與三點法結合,將測量盤的圓度誤差和平面度誤差進行分離,精確測量出轉臺的五自由度運動誤差;建立了端面四點誤差分離方法的優化目標函數,采用SSA(麻雀算法)對不同諧波階次下的傳感器安裝角度進行優化;然后利用仿真和實驗的方式對所提出的方法進行了驗證。

1 轉臺運動誤差分離原理

1.1 轉臺運動誤差測量系統

本文設計的轉臺運動誤差測量系統如圖1所示。該系統由精密轉臺、測量盤、參考平臺、傳感器夾具和7個電容式位移傳感器等組成,圖1中1～7是7個電容式位移傳感器的編號。

圖1 測量系統

如圖1所示,該測量系統采用了雙層結構的傳感器布置方式。傳感器5～7在檢測參考平臺上沿轉臺轉軸的徑向方向布置構成采集系統的第1層,采集的混合誤差數據包含轉臺x、y方向的徑向運動誤差以及測量盤的圓度誤差。傳感器1～4在檢測參考平臺上沿轉臺轉軸的軸向布置,構成采集系統的第2層,采集的混合誤差數據包含了轉臺繞x、y軸旋轉的傾斜運動、軸向運動誤差以及測量盤下表面的平面度誤差。上述7個傳感器所采集的跳動數據均為多種誤差的耦合,需要準確分離出測量盤的形狀誤差并將相互耦合的運動誤差進行解耦,才能精確獲得轉臺的運動誤差。

本文提出的轉臺運動誤差分離方法,在徑向上應用三點誤差分離法,分離出測量盤的圓度誤差以及安裝偏心誤差,獲得轉臺的徑向回轉誤差;然后,提出了一種端面四點誤差分離方法,將其應用于軸向,該方法能夠分離出測量盤下表面的平面度誤差,對轉臺的傾斜誤差和軸向跳動誤差進行解耦。在文獻[15]中,已經對三點法進行了詳細的介紹,下面主要解釋本文提出的端面四點誤差分離方法的原理。

1.2 端面四點誤差分離方法

端面四點誤差分離方法是以徑向四點法理論為基礎提出的一種新的誤差分離方法,通過對4個傳感器采集的誤差數據進行分析,建立軸向混合誤差的數學模型,在基于傅里葉變換理論分離出平面度誤差后,解耦并提取出轉臺的傾斜和軸向運動誤差。

如圖2所示,該端面四點誤差分離方法由4個傳感器S1、S2、S3、S4組成,傳感器S1和S3布置在X軸上,S2和S4與S1呈一定角度布置。4個傳感器所采集的信號是測量盤平面度h(θ)、傾斜運動誤差γ(θ)、軸向運動誤差δz(θ)的耦合。

圖2 端面四點誤差分離方法檢測原理

在動態測量中,各傳感器的輸出Si(θ)可以表示為

Si(θ)=h(θ+φi)+r·γX(θ)sinφi+r·γY(θ)cosφi+δZ(θ)

(1)

式中:φi(i=1～4,φ1=0,φ3=π)為傳感器與X軸之間的角度夾角;γX(θ)、γY(θ)為轉臺在θ處的傾斜運動誤差在X、Y軸上的分量;r為4個傳感器的測量位置所處的測量盤半徑;h(θ)為測量盤的平面度誤差;δZ(θ)為轉臺的軸向運動誤差。

對式(1)中各傳感器的輸出信號分別乘權重系數1、a、b、c,按照此權重系數構造的線性方程為

V(θ)=S1(θ)+aS2(θ)+bS3(θ)+cS4(θ)

(2)

展開式(2)同類項可得:

V(θ)=h(θ)+ah(θ+φ2)+bh(θ+φ3)+ch(θ+φ4)+

r·γY(cosφ1+acosφ2+bcosφ3+ccosφ4)+

r·γX(sinφ1+asinφ2+bsinφ3+csinφ4)+

(1+a+b+c)δZ

(3)

若要分離出平面度誤差,則使傾斜誤差在X、Y軸上的分量γX(θ)、γY(θ)和軸向誤差δZ(θ)為0,由此,可以得出權重系數。

(4)

消除傾斜誤差與軸向誤差后的信號加權和為

V(θ)=h(θ)+ah(θ+φ2)+bh(θ+φ3)+ch(θ+φ4)

(5)

對式(5)進行傅里葉變換,并應用傅里葉變換的時延相移性質可得:

V(n)=DFT(V(θ))=H(n)G(n)

(6)

式中:n為諧波階次,n=0,1,…,N-1;N為每圈的采樣點數;H(n)為平面度數據序列的傅里葉級數;G(n)為權函數的傅里葉級數。

G(n)=1+aWp1n+bWp2n+cWp3n

(7)

式中:p1=φ2N/(2π);p2=φ3N/(2π);p3=φ4N/(2π);p1、p2、p3均為傳感器與X正半軸間隔的采樣點數;W=ej2π/N。

對式(6)進行離散傅里葉逆變換,可以求得測量盤下表面的平面度誤差為

(8)

由于傳感器1、3的布置角度分別為0和π,所以傳感器S1和S3的輸出信號可以表示為

(9)

再通過式(8)求得平面度誤差后,代入式(9)并聯立兩方程可以求得軸向誤差δZ為

(10)

將δZ(θ)、h(θ)代入傳感器1、2的信號表達式中即可使用式(1)求得傾斜誤差γX(θ)、γY(θ):

(11)

本文提出的端面四點誤差分離方法,成功分離出了被測測量盤的平面度誤差并解耦了軸向誤差與傾斜誤差分量。

2 端面四點誤差分離方法布置角度優化

使用多點誤差分離方法時,傳感器之間的角度分布不同,得到的測量結果也有較大差異,所以,傳感器之間的角度間隔是影響分離精度的關鍵因素。傳感器的角度優化是要保證各諧波階次抑制總和達到最小化,避免諧波抑制的影響,以提高分離精度。與徑向四點法不同,本文提出的端面四點誤差分離方法將1、3傳感器進行固定,所以僅需針對傳感器2、4進行優化,在優化過程中,由3個變量變成了2個變量,提高了優化速度。

2.1 建立優化目標函數

將被測平面輪廓曲線使用傅里葉級數形式表示:

(12)

式中:k為諧波階次;Ak、Bk為各次諧波的余弦、正弦值。

將式(12)代入式(1)中,可以將各傳感器的輸出和用式(13)表示:

S0(θ)=(1+a+b+c)A0+λ1γy(θ)+μ1γx(θ)+

Akμk)sinkθ]+(1+a+b+c)δZ(θ)

(13)

令:

(14)

式中:a、b、c的約束條件由式(4)確定;φ1=0;φ3=π。

將S0(θ)進行傅里葉級數展開可得:

(15)

式中:s0為S0(θ)的傅里葉級數的0階項;Fk、Gk為各階諧波的傅里葉系數。

由式(13)和式(15)得:

(16)

設端面4個傳感器的方差均由σ2獲得,通過誤差分析,得出測量誤差的均方根為

(17)

(18)

式中kmax為最大諧波次數。

2.2 基于SSA的傳感器角度優化

根據2.1節推導的目標函數可以看出參數a、b、c與λk、μk都是關于角度φi(i=1,2,3,4)的函數,所以端面四點誤差分離方法的傳感器位置優化是典型的關于角度φ1和φ3的多目標優化問題。本文將采用麻雀算法(SSA)對給定諧波階次下的傳感器布置角度進行優化。

使用SSA優化傳感器布置角度的流程如圖3所示,具體步驟如下:

圖3 SSA優化角度流程圖

1)初始化麻雀搜索相關參數。麻雀種群規模pop=200,最大迭代次數m=200,發現者的規模為整個種群的20%。

2)確定變量與搜索范圍。端面四點誤差分離方法將傳感器1、3的角度固定,即φ1=0、φ3=π,在優化計算中,僅對傳感器2、4與傳感器1之間的角度值進行優化,φ2與φ4的取值范圍分別是[0,π]、[π,2π]。

3)更新發現者位置。計算每只麻雀的適應度值,確定發現者最優位置和全局最差位置。

4)更新加入者的位置。加入者始終關注著發現者,當發現者搜尋到適應度更高的位置時,加入者迅速前往較優的位置。

5)更新偵察者的位置。位于邊緣位置的麻雀,比較容易被其他捕食者攻擊,它們必須不停地向位于安全位置的麻雀靠近,避免被捕食。

6)計算種群個體新位置的適應度值,將更新后的適應度值與原來的最優值進行比較,更新發現者最佳位置和全局最差位置。

7)判斷迭代次數,如不滿足最大迭代次數,重復進行步驟3)～步驟6)。

本文利用SSA算法對不同諧波階次下的傳感器安裝角度的優化結果如表1所示。通過表1可以看出,目標函數值隨著諧波階次的增加呈現逐步增大的趨勢,說明隨著諧波階次的增加,對應的最優角度下所產生的諧波抑制誤差也會變大。

表1 不同諧波階次下的優化結果

優化結果顯示,傳感器2、4的最優安裝角度在不同諧波階次下變化較為平穩,均在一定范圍內波動,φ2的最優布置角度在2.280 5～2.869 0 rad之間,而φ4則在3.398 4～4.014 4 rad之間。通過以上分析可以得出,在實際測量過程中的固定諧波階次下,將傳感器分別固定在對應的最優角度處,即可在最大程度上避免諧波抑制,減小測量誤差。

取120階諧波階次下優化前后的角度布置所引起的誤差進行分析,繪制的誤差傳遞函數曲線如圖4 所示?？梢悦黠@看出,優化后的角度(0°、156.91°、180°、200.51°)整體誤差傳遞函數值相較于優化前的角度(0°、39.37°、180°、326.25°)較小,達到了優化目的。

圖4 優化前后的誤差傳遞函數值

3 仿真與實驗研究

3.1 仿真測試分析

為了驗證本文所提出的端面四點誤差分離方法的可靠性,首先進行了該方法的仿真測試。使用傅里葉級數的形式設定了轉臺的運動誤差和測量盤的形狀誤差,如表2所示。表中,φ為各次諧波對應的相位,在[0,2π]內呈等概率分布,最大諧波階次kmax=420。

表2 仿真信號

仿真計算時對參數進行如下設置,被測測量盤直徑D為90 mm,端面4個傳感器的測量位置所處的圓盤半徑r為40 mm,轉臺1個回轉周期的采集點數N=256。仿真的誤差信號組合模擬生成各個傳感器的采集信號,如圖5所示。

圖5 傳感器采集信號曲線

使用本文提出的端面四點誤差分離方法,對模擬生成的信號進行處理,將測量盤的平面度誤差進行分離,并解耦傾斜誤差與軸向誤差。傳感器的布置角度采用最大諧波階次為420的最優角度,則4個傳感器布置角度為0、2.281 6、π、4.014 4 rad。傾斜誤差與軸向誤差的分離結果如圖6、圖7所示。

圖6 分離的軸向誤差與設定的軸向誤差對比圖

圖7 分離的傾斜誤差與設定的軸向誤差對比圖

圖6和圖7為仿真信號通過端面四點誤差分離方法得到的軸向和傾斜誤差。其中,傾斜誤差運動是將偏轉角折合到測量盤Φ80 mm圓周下端面沿軸向的線運動誤差。由圖6、圖7可知,經過誤差分離后獲得的運動誤差與仿真設定的誤差信號吻合度很高,說明了端面四點誤差分離方法能夠完整地將測量盤平面度誤差去除,更加精確地得到轉臺的運動誤差。表3是運動誤差的分離結果,其中,分離精度由式(19)計算得出。軸向誤差和傾斜誤差的分離精度(相對誤差)分別為1.934%和9.177%,證明了該方法對形狀誤差分離的有效性,為轉臺運動誤差測試提供了理論依據。

表3 運動誤差分離結果

(19)

3.2 轉臺運動誤差測量實驗

為了測試本文提出的端面四點誤差分離方法與三點法結合對精密轉臺運動誤差的測量精確性以及工程實用性,對測量系統進行搭建,并進行測量。本實驗系統主要包括ERSP50型微型精密電控轉臺(跳動量為10 μm),NS-CDCS14型納米電容傳感器(測量范圍200 μm,分辨率達2 nm),電容傳感器控制器,測量盤等。根據優化結果,選擇最大諧波階次kmax=420時的最優布置角度,對參考平臺上的傳感器安裝位置進行設計,搭建的實驗裝置如圖8所示。為了避免振動影響,將測量系統放置在氣浮隔振平臺上。

圖8 實驗裝置

設置轉臺的轉速為1 r/min,每圈采集128個數據點,軸向布置的4個傳感器和徑向布置的3個傳感器分別采集10圈混合誤差數據。由于環境因素的影響,首先對采集的誤差數據使用FIR低通濾波進行去噪處理,然后使用誤差分離算法將標準測量盤的形狀誤差去除,得到的10圈徑向回轉誤差、傾斜誤差、軸向誤差以及各項誤差的均值如圖9～圖11所示。

圖9 誤差分離后的回轉誤差

圖10 誤差分離后的傾斜誤差

圖11 誤差分離后的軸向誤差

通過圖9～圖11可知,采集的多圈數據在經過誤差分離去除測量盤形狀誤差后,得到的運動誤差輪廓基本重合,說明本文提出的誤差分離方法可以有效分離出測量盤的形狀誤差。經誤差分離算法獲得的平均軸向誤差為8.241 2 μm,與該轉臺參數中的最大跳動量在10 μm以內相符合,驗證了該誤差分離算法可以精確測量出轉臺的運動誤差。

4 結束語

本文提出的一種基于多點法的轉臺運動誤差測量方法,解決了目前測量方法對被測工件精度要求較高,形狀誤差分離不徹底的問題。提出了一種端面四點誤差分離方法,在分離出測量盤形狀誤差的同時完成了傾斜誤差和軸向誤差的解耦,并且利用SSA獲得了該方法在不同諧波階次下的最優傳感器布置角。并通過仿真和實驗的方式驗證了該方法的精確性。

1)仿真測試表明:端面四點誤差分離方法在分離出被測工件的形狀誤差后,分離的軸向和傾斜運動誤差精度值分別為1.934%、9.177%,誤差分離效果較好。

2)實驗結果表明:使用本文所提出的誤差分離算法對采集的多圈數據進行分析,得到的運動誤差重復性較高,運動誤差與轉臺標定誤差相符合。