煤礦傾斜地層瞬變電磁加權橫向約束反演

高小偉 蘇超 龐少東

摘要：傳統的單點一維反演是煤礦瞬變電磁數據處理與解釋應用最廣泛的技術方法，然而，實際地層往往存在一定傾角，當地層傾角較大時，基于單點水平層狀模型的一維反演方法將不再適用，無法準確還原傾斜地層的電性分布特征。為此，針對煤礦瞬變電磁探測點距小、沉積地層地下電性結構相對連續的特點，本文采用加權橫向約束反演（weighted laterally-constrained inversion， WLCI）方法，將相鄰測點地電參數的差異作為約束項加入目標函數，對層界面的深度進行約束，同時引入加權因子控制約束強度，反演過程盡可能使相鄰測點反演剖面具有橫向的連續性以及縱向的光滑性。首先，闡述了瞬變電磁一維正、反演原理，并對WLCI計算過程進行了詳細介紹。然后，建立了2組不同傾斜角度的H型與K型模型進行測試，分析加權因子對反演結果的影響。與傳統的一維反演結果相比，WLCI通過建立層參數和深度加權約束方程并合成總的反演方程，是一種擬二維的反演方法，反演的電阻率剖面橫向及縱向連續性好，與實際模型的吻合度較高，驗證了反演方法的有效性。最后，實測數據的反演結果顯示，WLCI可以準確還原傾斜地層的電性分布，反演結果與實際地質資料吻合。

關鍵詞：傾斜地層；瞬變電磁；一維反演；加權橫向約束反演；擬二維反演

doi：10.13278/j.cnki.jjuese.20230025

中圖分類號：P631

文獻標志碼：A

收稿日期：2023-02-15

作者簡介：高小偉（1977-），男，高級工程師，碩士，主要從事煤田電磁勘探研究工作，E-mail：gaoxiaowei@cctegxian.com

通信作者：蘇超（1991-），男，博士研究生，主要從事電磁法正反演理論研究，E-mail：suchao21@jlu.edu.cn

基金項目：陜西省自然科學基礎研究計劃重點項目（2022JZ-16）

Supported by Shaanxi Provincial Natural Science Basic Research Program （2022JZ-16）

Transient Electromagnetic Weighted Laterally-Constrained

Inversion of Inclined Strata in Coal MineGao Xiaowei¹， Su Chao²， Pang Shaodong¹

1. Xian Research Institute Co.， Ltd.， China Coal Technology and Engineering Group Corp.， Xian 710077， China

2. College of GeoExploration Science and Technology， Jilin University， Changchun 130026， China

Abstract： The traditional single-set one-dimensional（1D） inversion is the most widely used technique for the processing and interpretation of transient electromagnetic data in coal mines. However， this approach becomes inadequate when the stratum exhibits a significant dip， as the single-set horizontal layered model fails to accurately represent the electrical distribution characteristics. To address this limitation， we employ the weighted laterally-constrained inversion method to constrain the layer interface depth and incorporate the difference in geoelectric parameters between adjacent measurement points into the objective function as a constraint term. We describe the transient electromagnetic 1D forward and inversion theory， and detail the inversion method with weighted lateral constraints. The influence of the weighting factor on inversion results is analyzed using the H-type and K-type models with varying inclinations. Compared with? the traditional 1D inversion， the weighted laterally-constrained inversion is a pseudo-2D inversion method by establishing?? layer parameters and? depth-weighted constraint equations? and synthesizing total inversion equations. The obtained resistivity profiles exhibit strong agreement with actual models and demonstrate good longitudinal and transverse continuity. The employed method effectively restores the electrical distribution of inclined strata， and the inversion results match the actual geological data.

Key words： inclined strata；transient electromagnetic；one-dimensional inversion；weighted laterally-constrained inversion；pseudo-2D inversion

0 引言

瞬變電磁法是一種基于電磁感應原理的地球物理勘探方法^[1]，通過在地面布設不接地的發射回線，供以階躍電磁脈沖信號，形成一次場，激勵地下介質及異常體產生隨時間變化的感應電磁場（二次場），通過對二次場信號進行處理與解譯，探測地下良導礦體或解決地質問題^[2]。該方法工作裝置靈活且施工效率高，同時對低阻體的分辨能力強，已廣泛應用于金屬礦探查^[3]、煤礦隱蔽水害地質體探測^[4]、水文地質調查^[5]以及工程勘察^[6-8]等領域。

早期的瞬變電磁數據解譯方法是一種基于“煙圈”理論^[9]的近似方法，通過定義視電阻率并計算“煙圈”的擴散深度（視深度），獲得相對近似的視電阻率擬斷面圖。這種方法反演結果精度低，僅適合初步解釋工作，視電阻率定義方法的不同會導致結果存在較大差異，給解釋工作帶來困難。為獲取更加準確的地電模型，目前，最常用且最有效的處理方法仍是基于水平層狀模型的一維反演方法，以引入模型約束的正則化阻尼最小二乘^[10]和Occam^[11]反演方法為主，通過在目標函數中添加懲罰函數項，利用不同的算子最小化觀測數據和模型響應之間的差異，獲得穩定且唯一的解；正則化思想增加了反演參數模型的約束信息^[12]或者先驗信息^[13]，降低了反演的多解性，同時增強了反演的穩定性。傳統的一維反演方法均是基于水平層狀模型，而實際地層往往存在一定傾角。當地層傾角較小時，一維反演仍具有一定的適應性^[14];當地層傾角較大時，水平層狀模型將無法模擬實際二、三維的地質體分布，需采用更高維的反演方法，但由于巨大的靈敏度矩陣運算，實際的應用效果并不理想。

為準確、快速地獲得地下電阻率分布，Auken等^[15]于2000年提出橫向約束反演（lateral constrained inversion， LCI）方法，主要思想是利用橫向約束稀疏矩陣將單點反演轉變為多測點的集合反演，保證反演剖面的橫向連續性，是一種擬二維的反演方法；2004年，Auken等^[16]利用Broyden方法對雅克比矩陣進行更新計算，優化了二維LCI反演；同年，Santos^[17]利用LCI方法獲得了高質量的EM34反演剖面；2008年，Auken等^[18]在古河道勘查中利用LCI方法對瞬變電磁數據進行處理，取得了較好的應用效果；2009年，Siemon等^[19]利用LCI方法處理直升機吊艙數據，有效提高了剖面的橫向連續性；2014年，蔡晶等^[20]提出了加權橫向約束反演（weighted laterally-constrained inversion， WLCI）方法，并用于反演計算頻率域航空電磁數據，根據先驗信息實現了剖面不同程度的橫向連續性；2016年，殷長春等^[21]將WLCI的思想應用于時間域航空瞬變電磁反演，得到了優于單點反演的反演結果；2022年，張繼峰等^[22]采用橫向約束的思想，有效減少了廣域電磁法反演剖面的橫向不連續性；2022年，陸俊濤等^[23]基于鏈式法則求取雅可比矩陣的解析公式，提高了反演計算速度，并利用WLCI方法反演了4個航空瞬變電磁響應中的激電參數。

本文針對煤礦瞬變電磁工程勘探點距小、數據采樣相對密集，沉積地層相鄰測點地下電性結構相對連續的特點，基于橫向約束的思想，采用電阻率和層厚度橫向約束以及深度約束，提高反演斷面的橫向及縱向連續性，實現煤礦傾斜地層瞬變電磁數據的WLCI；與傳統反演方法進行對比，證明方法的有效性；通過理論模型測試，確定加權因子的選取原則；隨后對黑龍江某礦區的實測數據進行反演，驗證方法的應用效果。

1 回線源瞬變電磁一維正反演理論

1.1 一維正演

為獲得回線源激發條件下的瞬變電磁時間域響應，需要先求解其頻率域響應，再通過傅里葉變換計算得到時間域響應。假設水平層狀共有N層，各層的電導率和厚度為σ_i和h_i（i=1，2，…，N），h_N→∞。求解置于地表（h=0）的回線源任意位置的瞬變電磁響應時，首先將回線源剖分成若干個電偶極子，計算各電偶極子產生的頻率域響應。然后通過矢量疊加以及求和，即可獲得回線源在地表產生的頻率域響應。在準靜態的柱坐標系中，位于地表任意位置的電磁場B_z分量在頻率域中的解析表達式如下：

其中：

式中：C為電偶極子數目；P_Ej為第j個電偶極子的磁矩；μ₀為真空磁導率；φ_j為第j個電偶極子與測點間的夾角；J₁（λr_j）為一階第一類貝塞爾函數；r_j為測點與第j個電偶極子的距離；λ為積分變量；ω為角頻率。最后，將式（1）進行余弦變換^[24]即可獲得回線源激發條件下的瞬變電磁時間域響應。

1.2 一維反演

在進行瞬變電磁一維反演計算時，確保觀測數據與模型數據之間的擬合差達到極小的同時，需滿足反演模型的粗糙度達到極小。根據最小二乘的思想，反演的目標函數可表示為

其中，

R=‖P·m‖²。??? （4）

式中：R為反演模型的粗糙度；μ為阻尼因子；W=diag1/ε₁，1/ε₂，…，1/ε_M，為數據的協方差矩陣，ε_k（k=1，2，…，M）為第k個數據的標準差；d_obs為瞬變電磁框內任意測點的實測數據；F為瞬變電磁一維正演算子；m為反演模型參數向量；X²_∞為反演所要求達到的擬合差；P為單位矩陣，其形式為

為計算U_m極小值對應的模型參數修正量Δm，對式（3）中的m求偏導數，并取sU_m=0，即可獲得

（WJ）^TWJ+μP^TPΔm=（WJ）^TWΔd。??? （6）

式中：Δd為模型響應與實測數據的殘差；J為雅可比矩陣，其元素為J_ij=?F_i[m]/?m_j（F_i、m_j分別為F、m中的元素）。

2 WLCI理論

2.1 電阻率和層厚度橫向約束

根據1.2節所述，傳統的單點一維反演基于水平層狀模型，相鄰測點容易出現橫向不連續的問題，難以適用于傾斜地層的計算，為此引入Auken等^[15]提出的LCI擬二維橫向約束反演的思想，將相鄰測點地電參數的差異作為約束項加入目標函數。假設

R_pm-e_rp=0。??? （7）

式中：e_rp為相鄰測點間模型參數的差異；R_p為橫向約束的稀疏矩陣，可表示為

其中：

S=（M-1）（2N-1）；T=M（2N-1）。 ???（9）

式中，M為測點數目。將式（7）兩邊減去R_pm₀可得

R_pΔm=Δr_p+e_rp。??? （10）

其中：

Δr_p=-R_pm₀；Δm=m-m₀。??? （11）

式中，m₀為參考模型參數向量。在實際反演中，通過引入加權因子ξ實現WLCI，從而調整各層的橫向光滑程度。因此式（10）可改寫為

R^′_pΔm=Δr^′_p+e^′_rp。??? （12）

其中：

R^′_p=W_pR_p；Δr^′_p=-R^′_pm₀；e^′_rp=W_pe_rp。 ???（13）

式中，W_p為橫向約束加權矩陣，等價于加權因子乘以矩陣（8）相應的行。加權因子的大小決定了反演的光滑程度，需參考參數的光滑度及實際所需而定。

2.2 深度約束

為保證多層模型層界面間的光滑程度及連續性，需對各層界面的深度進行約束。同樣，根據Auken等^[15]的理論，可得

R_tm-e_rt=0。 ???（14）

式中：e_rt為相鄰測點層界面的深度差異；R_t為深度約束矩陣，表示為

R_t=0M_t0_S×T。??? （15）

其中：

式中，h_k，i、t_k，i為分別第k個測點位置第i層的厚度和下界面深度。

同樣，引入加權因子ξ來調整各層界面間的連續性，因此式（14）改寫為

R^′_tΔm=Δr^′_t+e^′_rt。??? （17）

相應地，

R^′_t=W_tR_t，Δr^′_t=-R^′_tm₀，e^′_rt=W_te_rt。 ???（18）

式中，W_t為縱向約束加權矩陣。

2.3 反演方程及最小二乘解

綜上，WLCI的總體反演方程為

對式（19）進行簡化，可得

W^′Δm=Δd+e。??? （20）

式中：W^′為系數矩陣；e為簡化后相鄰測點及層界面之間的差異。結合前述一維反演方法，得到如下反演方程：

（W^′TW^′+μP）Δm=W^′TΔd。 （21）

采用奇異值分解（singular value decomposition， SVD）法對W^′進行分解：

W^′=DΛV^T。??? （22）

式中：D和V分別為數據和參數矩陣；Λ為奇異值矩陣。將式（22）代入式（21）可得其解為

Δm=V（Λ²+μP）^-1ΛD^TΔd。 ???（23）

針對最優的阻尼因子的選取，我們采用蔡晶等^[20]所提到的方法。在實際反演計算時，首先給定初始模型，然后利用式（23）進行迭代計算，直到目標函數U_m滿足要求。具體反演流程見圖1。在反演計算的過程中，采用相同的加權因子控制電阻率和層厚度的橫向約束以及深度約束強度。

3 反演算例

3.1 理論數據反演

為驗證WLCI方法的有效性，我們首先建立理論模型對反演方法進行測試，并與傳統一維反演（最小二乘與Occam）結果進行對比。構建的理論模型如圖2所示。針對傾斜層狀地層，設計了2組不同傾角的典型H型與K型模型，地層傾角縱橫分別為1∶6與1∶3。背景電阻率均為100 Ω·m，H型傾斜地層模型中的低阻層電阻率為10 Ω·m，K型傾斜地層模型中的高阻層電阻率為1 000 Ω·m。發射采用600 m ×600 m的矩形回線，點距20 m，發射電流均為1 A，最大采樣時間為10 ms。采用1.1節所闡述的正演方法計算各測點的瞬變電磁時間域響應以及對應的均勻半空間響應。

圖3顯示了不同測點位置及均勻半空間的單點電壓衰減曲線。在x=40 m處，模型中的高、低阻層埋深淺；在x=560 m處，模型中的高、低阻層埋深大（圖2）。對比圖3a、b可以看出：相對于均勻半空間，H型傾斜地層模型衰減曲線的中期及晚期幅值較大，顯示出明顯的低阻特征；隨著低阻層埋深的增大，早期幅值與均勻半空間趨于一致，低阻響應明顯推后。對比圖3c、d可以看出：相對于均勻半空間，K型傾斜地層模型中的高阻層埋深較淺時，單點衰減曲線早期衰減快，反映出高阻的電性特征，晚期幅值與均勻半空間趨于一致，顯示出背景地層的電性特征；隨著高阻層的埋深增大，單點衰減曲線幅值較小的特征出現在中期，晚期幅值與均勻半空間基本一致，趨于背景地層的響應。

圖4為最小二乘、Occam及不同加權因子WLCI的單點反演結果以及擬合差曲線。反演初始模型均為均勻半空間，電阻率為100 Ω·m。Occam反演時，本文采用黃金分割法^[25]選取阻尼因子。對于H型傾斜地層模型：當地層傾角較小時，最小二乘、Occam以及WLCI均能較好地反映出地層的電阻率（圖4a）；但當地層傾角較大時，傳統一維反演曲線淺部與真實模型電阻率存在明顯差異，而WLCI曲線首端和尾端趨近于第一層和最后一層的真實電阻率，與低阻層吻合度較高（圖4c）。對于K型傾斜地層模型，傳統一維反演效果均較差，反演的高阻層埋深與給定模型偏差較大，淺部與模型電阻率不吻合，而WLCI反演效果較好（圖4e、g）。K型傾斜地層模型單點衰減曲線高阻層的幅值特征不明顯，且傳統一維反演未考慮數據的橫向連續性，是造成上述現象的主要原因。而WLCI作為一種擬二維反演，考慮了數據的橫、縱向連續性，可以較好地還原傾斜地層的電阻率分布特征（圖4a、c、e、g）。最小二乘、Occam及不同加權因子WLCI的單點反演反演擬合差曲線（圖4b、d、f、h）表示反演計算過程收斂，可以很好地擬合觀測數據，且反演收斂速度快。

對比不同橫縱比傾斜地層模型的電阻率反演結果（圖5—圖8）可以看出：1）傳統一維反演以及WLCI均能反映出地下三層電性結構。2）當地層傾角較小時（縱橫比1∶6）：傳統一維反演對于H型傾斜地層模型中的低阻層反映較好，但層界面粗糙，橫向連續性差，Occam反演的電阻率連續性與最小二乘法相比差異不大（圖5a、b）；對于K型傾斜地層模型，傳統一維反演無法獲得連續的高阻層，埋深較大處反演的高阻層變薄，且電阻率減?。▓D6a、b）。3）當地層傾角較大時（縱橫比1∶3），傳統一維反演結果與實際模型偏離較大：對于H型傾斜地層模型，淺部出現虛假異常，低阻層埋深較大處，反演的電阻率增大且層變厚（圖7a、b）；對于K型傾斜地層模型，高阻層特征不明顯，反演結果已不能代表實際地層的電性特征（圖8a、b）。4）采用WLCI方法所獲得的電阻率橫向分布均勻，層界面明顯且連續，均能較好地反映出傾斜地層的電性分布特征，但反演的高阻層比實際模型略厚（圖5c、d，圖6c、d，圖7c、d，圖8c、d）。對于傾角較小的地層，加權因子的大小對于反演結果影響不大，當增大加權因子，地層橫向更為連續（圖5c、d，圖6c、d）；對于傾角較大的地層，增大加權因子時，雖然反演的電阻橫向更加連續、光滑，但反演的目標層深部與實際模型存在一定偏差（圖7c、d，圖8c、d）。5）WLCI結果受到加權因子的影響，加權因子過大，反演的電阻率橫向平均嚴重，可能消除真實異常；加權因子太小，對反演的約束作用較小。在實際反演時，可根據實際的地質條件來選取加權因子，對于成層性較好的沉積地層：當地層傾角較小時，加權因子可適當增大；當地層傾角較大時，加權因子應適當減小。根據理論模型的反演計算的經驗，加權因子不宜過大，合適的選取范圍為0～1。

3.2 實測數據反演

為了進一步驗證橫向約束反演的有效性，我們選擇黑龍江地區某煤礦采集的實測數據進行反演。選取26測線0—1200段1—61測點數據進行反演計算，測點距20 m。本區內W2鉆孔三側向電阻率測井曲線如圖9所示，其中煤層（4煤、5煤）均反映為高阻的特征。圖10為實測數據一維反演以及WLCI結果。初始模型為電阻率為100 Ω·m的21層模型，WLCI加權因子選擇為0.5。

從圖10可以看出：1）單點最小二乘反演、Occam一維反演以及WLCI均反映出地下4層的電阻率結構，成層性較好，反映出煤系沉積地層的特點。淺部為第四系，平均厚度約45 m，巖性以電阻率較低的砂、礫黏土為主。第四系下部為下白堊統穆棱組，巖性以深灰色粉砂巖、淺灰色細砂巖以及中粒砂巖為主，夾薄層泥巖及凝灰巖，底部發育一層厚度不等的中—粗粒砂巖，電阻率較高，厚度隨地層傾角變化，在煤層埋深較大處變厚。向下進入城子河組，由灰—灰白色的砂巖與深灰色或黑色的粉砂巖、薄層泥巖以及凝灰巖等組成。城子河組上部為灰黑色砂質頁巖及薄層灰白色細砂巖，電阻率較低；城子河組下部為本區的主要含煤地層，巖性以煤層及凝灰巖為主，電阻率較高。因此，測區內地層由淺至深表現為“低-高-低-高”共4層的電性變化規律，與24號測點附近的W2鉆孔三側向電阻率測井結果一致。2）圖10a與圖10b的反演結果基本一致，其中Occam一維反演電阻率分布更為連續，但反演結果仍近似水平，與實際地層傾角不吻合，嚴重影響資料解釋的可靠性。3）采用WLCI方法進行反演計算，反演過程中同時加入了電阻率層界面以及深度約束，使得相鄰測點反演剖面具有橫向及縱向的連續性，反演的電阻率剖面可以反映出地層的實際傾角（圖10c），且與已知的電阻率測井資料吻合。由此得出結論：WLCI作為一種擬二維的反演方法，可以改善反演斷面的連續性，較好地還原傾斜地層的電性分布。

4 結論

1）本文系統闡述了回線源激發條件下瞬變電磁的正演及加權橫向約束反演理論，通過理論模型及實測數據測試，實現了適用于傾斜地層的瞬變電磁數據加權橫向約束反演方法。與傳統的單點一維反演相比，該方法反演的電阻率分布連續，界面光滑，可有效壓制虛假異常。

2）煤礦瞬變電磁勘探點距小、數據采樣相對密集，且沉積地層相鄰測點地下電性結構相對連續，可充分發揮WLCI提高反演連續性的特點。理論和實測數據表明，WLCI處理傾斜地層瞬變電磁數據效果較好。

3）反演結果受加權因子影響：加權因子過大，反演的電阻率橫向平均嚴重，可能消除真實異常；加權因子太小，對反演的約束作用較小。對于煤礦等沉積地區近層狀的傾斜地層，選取的加權因子一般不大于1。在實際反演中，可參考鉆孔或其他相關地質資料確定合適的加權因子。

4）WLCI作為一種擬二維反演方法可處理傾斜地層等地電模型，為三維反演提供更合理的初始模型。

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