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基于馬爾科夫理論優化的地下咸水層CO2溶解性能灰色預測模型

2024-02-27 08:00董利飛鐘品志董文卓韋海宇
大慶石油地質與開發 2024年1期
關鍵詞:馬爾科夫溶解度預測值

董利飛 鐘品志 張 旗 董文卓 余 波 韋海宇 楊 超

(1. 重慶三峽學院土木工程學院,重慶 404120;2. 三峽庫區地質災害教育部重點實驗室(三峽大學),湖北 宜昌 443002)

0 引 言

CO2的溶解封存被廣泛視為應對溫室氣體排放的有效策略之一[1-3],全球90%的CO2地質封存都是采用這種方法。CO2在溶解封存過程中易于在水中溶解,對咸水層造成不良的影響:一方面,溶解后形成的碳酸將提高咸水層酸性,對巖石礦物造成腐蝕[4-7];另一方面,由于咸水層內部滲透性發生變化,壓強增大,導致CO2泄漏或遷移[8-10]。為此,合理分析單因素下CO2溶解度的變化,運用相關方法進行定性和定量分析,對于CO2的溶解封存潛力評價及溶解封存量估算具有重要意義[11-14]。

目前CO2溶解性能研究主要是根據模型預測來實現的。A. H. Harvey 等[15]構建了高壓條件下CO2溶解性能的狀態方程,并預測了壓強為60~100 MPa時CO2在NaCl 溶液中的溶解度,但是該狀態方程優化參數過多,計算較復雜,使得預測結果與實際值誤差偏大。W. Yan 等[16]基于固壓固溫條件下CO2在NaCl 溶液中的溶解性能實驗數據,建立模型并預測CO2在溫度為0~300 ℃和壓強為1~30 MPa的NaCl 溶液中的溶解性能,該模型需要大量數據作為測試集,對于目前數據較少的咸水層并不能全面預測其溶解性能。Y. Tang 等[17]通過優化EoS 狀態方程模型,增大CO2在高鹽環境下溶解性能,結果表明CO2的密度對CO2在鹽水環境中溶解性能的影響輕微。杜曉燕等[18]基于優化氣相和液相中Peng-Robinson 狀態方程的參數,成功建立了CO2溶解性能預測模型,可實現在咸水層及油氣儲層中預測CO2的溶解性能。參數修正為偏心因子、溫度和鹽度的函數,在實際應用中模型預測條件苛刻。

目前國內外CO2在水中的溶解度預測研究主要存在以下問題:一是現有的CO2溶解度預測模型所需數據量較大;二是模型涉及的優化參數過多,計算量龐大且誤差偏大。為此,本文基于馬爾科夫預測模型與灰色GM(1,1)預測模型相結合,建立平均相對誤差小、計算簡易、溫壓范圍廣的CO2溶解性能預測模型,并對壓強、溫度以及礦化度進行單因素影響性分析,為提高CO2溶解埋存量及埋存潛力評價提供科學依據。

1 灰色馬爾科夫模型

1.1 灰色GM(1,1)模型的建立

灰色GM(1,1)模型是使用比較廣泛的預測模型[19-20],該模型的建模過程是將原始的離散非負數據列進行累加,生成較有規律的新離散數據列,通過建立微分方程得到在離散點處的解,最后將計算值進行累減后即可得到原始數據的預測值[21]。具體建模步驟如下

設最初非負數據列為

式中X(0)——初始序列值,其中x(0)(k) >0,k=1,2,…,n。

對最初非負數據列作累加生成新序列

式中X(1)——累計序列值,其中

根據得到的X(1)序列,進一步計算其緊鄰均值序列,進而獲得背景值序列Z(1),其表達式為

式中Z(1)——累計序列值相鄰2 項的平均值。

以序列X(1)為基礎,建立的灰色模型的時間響應方程為

式中:a——發展系數;μ——灰色作用量。

對方程進行離散化得到灰色GM(1,1)模型為

為求參數a,μ的解,構建矩陣YN和B為

設a?為待估參數向量,即a?=(a,μ)T,利用最小二乘法得到參數a,μ的估計值為

將所得參數值代入式(5)得模型的離散解為

將式(8)計算值累減即可求得模型預測值,其表達式為

1.2 馬爾科夫理論對GM(1,1)模型的優化

馬爾科夫理論是指狀態空間中從當前一個狀態到接下來另一個狀態變換的隨機過程;且只與當前狀態有關, 與過去的狀態無關。 把灰色GM(1,1)模型的預測值與實際值的誤差作為一個隨機過程;通過馬爾科夫理論對這個隨機過程進行修正[22],馬爾科夫模型為

式中:X(t)——初始狀態概率向量;X(n)——經過(n-t)時刻后的狀態概率向量;P——狀態轉移概率矩陣。

運用馬爾科夫理論對灰色GM(1,1)模型進行優化的具體步驟如下:

首先計算灰色GM(1,1)模型的相對誤差ε,其表達式為

其次計算灰色預測殘差序列e(i),其表達式為

式中i=1,2,…,n。

根據相對誤差大小將對象劃分為m個可能的狀態(E1,E2,E3…En-1,Em),則對應的狀態區間范圍為[Q1i,Q2i],i=1,2,…,n。通過狀態空間與所處誤差的隨機過程之間的關系,可以進一步確定轉移概率矩陣P[23-25]。在確定一步轉移概率矩陣P時,首先得出k步狀態轉移概率Pij(k),即:

式中:Pij(k)——從k出發經過有限步首次到達j的概率;mij(k)——Qi轉移到狀態Qj的步數;mi——狀態Qk出現的頻數。

在對GM(1,1)模型得出的預測值進行修正時,首先設初始時刻預測值X?t(0),修正值為y,狀態轉移概率向量為X(t),根據轉移概率矩陣P確定t時刻的狀態區間[Q1i,Q2i],用區間平均值作為t時刻的預測結果[26-27],公式為

式中:y——預測的修正值;(Q1i+Q2i)——t時刻狀態區間的累計值;X?t(0)——初始時刻預測值。

當預測值高于實際值時取“+”,當預測值低于實測值時取“-”。

2 影響因素

2.1 壓強

基于CO2在水中的溶解性能實驗數據[25],選取同一溫度(313.15 ℃)、不同壓強下CO2在水中的溶解度作為原始數據(表1),壓強為10~80 MPa時CO2溶解度數據作為訓練集,預測90、100 MPa下CO2在水中的溶解度。

表1 不同壓強下CO2在水中的溶解度Table 1 CO2 solubility in water at different pressure

根據表1 建立原始數據列為

由X(0)(k)生成累加數據列為

由灰色GM(1,1)模型預測原理得

即灰色GM (1, 1) 模型的參數值為a=-0.054 977,μ=1.312 3??傻玫侥P蜑?/p>

根據相對誤差ε(k)大小劃分灰色馬爾科夫模型的狀態區間,見表2。

表2 模型狀態區間劃分Table 2 Model state interval division

根據表2 確定壓強90、100 MPa 轉移概率矩陣P,可以看出壓強90、100 MPa 均屬于低估狀態類型,其矩陣為

通過應用灰色馬爾科夫模型對CO2在壓強10~80 MPa 的溶解度預測值進行校正,以壓強60 MPa為例,灰色GM(1,1)模型的預測值為1.768 0,被歸類為狀態二。應用公式(18)計算得到灰色馬爾科夫模型的預測值為1.776 9,修正結果見圖1。

圖1 對10~80 MPa下CO2溶解度預測值的修正Fig. 1 Predicted values correction for CO2 solubility at 10~80 MPa

由圖1 可知,經過灰色馬爾科夫模型修正后,灰色GM(1,1)模型預測值與實測值的平均相對誤差值從0.72%降至0.37%,平均相對誤差減少了0.35 百分點。由此可知,灰色馬爾科夫模型修正后,整體的預測精度得到了顯著提高,預測值更接近實際測量值。

根據上述對灰色馬爾科夫模型預測精度的驗證,進而預測溫度為313.15 ℃,壓強為90、100 MPa 時CO2在水中的溶解度,圖2 呈現了2 種模型的預測結果。

圖2 GM(1,1)模型與灰色馬爾科夫模型預測結果對比Fig. 2 Comparison of prediction results between GM (1,1)model and grey Markov model

由圖2 可知,灰色GM(1,1)模型和灰色馬爾科夫模型的預測值與實際觀測值的平均相對誤差分別為2.37%和1.52%。經過修正的灰色馬爾科夫模型的預測值相對誤差降低了0.85 百分點,因此其預測精度高于灰色GM(1,1)模型。

2.2 溫度

基于CO2在水中的溶解性能實驗數據[28],選取同一壓強(100 MPa)、不同溫度下CO2在水中的溶解度作為原始數據(表3),溫度為313.15~433.15 ℃時CO2溶解度數據作為訓練集,預測在溫度為453.15、473.15 ℃下CO2在水中的溶解度。

表3 不同溫度下CO2在水中的溶解度Table 3 CO2 solubility of in water at different temperature

由相對誤差ε(k)大小將灰色馬爾科夫模型劃分為4 個狀態區間:狀態一為[-7.075%,-3.455%)、狀態二為[-3.455%,0.165%)、狀態三為[0.165%,3.785%)、狀態四為[3.785%,7.405%]。運用灰色馬爾科夫模型對313.15~433.15 ℃下CO2在水中的溶解度預測值進行修正,修正結果見圖3。

圖3 對313.15~433.15 ℃下CO2溶解度預測值的修正Fig. 3 Predicted values correction for CO2 solubility at 313.15~433.15 ℃

由圖3 可知,灰色GM(1,1)模型的預測值與實測值的平均相對誤差為4.1%,經灰色馬爾科夫模型修正后,平均相對誤差減少了3.16%,在溫度為453.15、473.15 ℃的條件下,通過構建狀態轉移概率矩陣,預測CO2在水中的溶解度,并將其與灰色GM(1,1)模型的預測值進行了比較(圖4)。在100 MPa 的壓強條件下,灰色馬爾科夫模型與灰色GM(1,1)模型預測結果的平均相對誤差分別為17.73%、19.29%。與灰色GM(1,1)模型相比,灰色馬爾科夫模型的預測值與實際觀測值的平均相對誤差減小了1.56 百分點。

圖4 GM(1,1)模型與灰色馬爾科夫模型預測結果對比Fig. 4 Comparison of prediction results between GM (1,1)model and grey Markov model

然而2 種模型的預測值與實際觀測值之間仍存在明顯的誤差,且均低于實際觀測值。這主要是因為在高溫高壓條件下,部分水溶劑轉化為水蒸汽,導致水蒸汽體積的增加,從而使CO2在水中的溶解度被高估。因此,在高溫條件下進行CO2溶解性能實驗,必須考慮水汽體積的影響。

2.3 礦化度

根據CO2在水中的溶解性能實驗數據[26],選取同一溫度、同一壓強、不同礦化度下CO2在水中的溶解度作為原始數據(表4),以溫度為333.15 ℃、壓強為10 MPa、礦化度分別為0、1、2 mol/L 時CO2在水中的溶解度數據作為訓練集,預測3 mg/L 礦化度下CO2在水中的溶解度。

表4 不同礦化度下CO2在水中的溶解度Table 4 CO2 solubility in water at different salinity

灰色馬爾科夫模型狀態劃分:狀態一為[0%,0.083%)、狀態二為[0.083%,0.167%)、狀態三為[0.167%,0.25%]。構造狀態轉移概率矩陣,應用灰色馬爾科夫模型預測礦化度為3 mg/L 下CO2在水中的溶解度,2 種模型預測結果見表5。

表5 灰色GM(1 , 1)模型與灰色馬爾科夫模型預測結果對比Table 5 Comparison of prediction results between GM (1,1) model and grey Markov model

由表5 可知,灰色GM(1,1)模型和灰色馬爾科夫模型的平均相對誤差依次為3.62%、0.21%,明顯看出灰色馬爾科夫模型相對于灰色GM(1,1)模型的預測精度更高,平均相對誤差更小。

3 結 論

(1)與傳統灰色GM(1,1)模型相比,灰色馬爾科夫預測模型在CO2溶解封存領域具有計算簡便、平均相對誤差較小等特點,預測的CO2溶解性能數據能滿足實際工程的需求。

(2) 在壓強為 100 MPa、 溫度 313.15~433.15 ℃范圍內,2 種模型預測結果的平均相對誤差分別為4.10%,0.94%;在溫度為453.15 ℃時,灰色馬爾科夫模型預測結果的平均相對誤差依舊偏高,原因需考慮高溫高壓下水汽體積對CO2溶解性能的影響。

(3)壓強和溫度對咸水層中CO2溶解性能的影響較顯著,而礦化度相對較弱,實際工程應用應多關注壓強和溫度的變化。

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