手機成癮動力學模型的定性分析

高德寶，張 楨，邱嘉仁

長時間低頭玩手機的群體稱之為“低頭族”［1］“.低頭族”亦稱為手機成癮（或手機控）群體，該群體無論何時何地都低頭看屏幕，想通過盯住屏幕的方式，把零碎的時間填滿.長時間低頭玩手機主要有兩方面隱患：一是安全隱患，低頭玩手機就會忽視周圍的環境情況，容易導致危險的發生.二是健康隱患，長期低頭看手機，容易導致頸椎關節發生錯位和視力快速下降.手機成癮與酗酒［2?3］和吸煙成癮［4?5］有相似之處，而且比酗酒和吸煙成癮更具有普遍性.

手機成癮問題日益嚴重，引起了人們的廣泛關注.手機成癮不僅能夠導致一些疾病的發生，還會增加許多安全隱患.一些學者從生物數學［6?7］角度，應用微分動力學［8?10］研 究酗酒模型［11?12］和吸煙模型［13?14］的構建和穩定性.本文也考慮應用微分動力學的知識對手機成癮群體進行模型構建和定性分析.

1 手機成癮模型的構建與分析

1.1 手機成癮模型的構建

考慮到手機成癮群體中有主動或被動戒除手機癮的用戶，可將手機用戶分為四個群體.用P(t)，C(t)，G(t)，S(t) 分別表示t時刻的潛在手機成癮群體人數、手機成癮群體人數、戒癮群體人數和正常手機用戶群體人數.若令N(t)表示t時刻手機用戶的總人數，則

為書寫方便，記P=P（t），C=C（t），G=G(t)，S=S(t).

根據四個群體之間的人員轉移規律繪制的關系圖如圖1 所示.

圖1 手機用戶不同群體之間的人員轉移關系圖

其中：γ為手機用戶的常數增加率，將新加入的手機用戶看作潛在的手機成癮用戶.由于手機成癮用戶對潛在的手機成癮用戶具有一定的“傳染性”，所以α1表示手機成癮群體對潛在手機成癮群體的有效傳染率，α2表示手機成癮群體中主動或被動向戒癮群體的轉移率，α3表示戒癮群體向正常手機用戶群體的轉移率，β1表示潛在手機成癮群體向正常手機用戶群體的轉移率.在戒癮群體中，由于一部分人的自控能力不強，會重新轉移到手機成癮群體或潛在手機成癮群體中，β2、β3分別表示戒癮群體向手機成癮群體和潛在手機成癮群體的轉移率，μ表示各個群體的自然退出率.圖1 中的所有系數均為正數.

根據各變量之間的對應關系，圖1 所對應的微分方程系統為：

基于系統（1）的實際意義，本文將在其最大正向不變集，即

內進行研究.

1.2 平衡點的存在性

系統（1）的平衡點滿足如下的代數方程組.

易知，系統（1）始終存在無手機成癮的非負平衡點

根據文獻［15］中的算法，系統（1）的基本再生數為：

在式（2）中，由第3 個方程可得

將式（3）代入式（2）的第2 個方程可得

將式（3）和式（4）代入式（2）的第1 個方程可得

定理1 系統（1）始終存在無手機成癮的非負平衡點E0(P0，C0，G0，S0).當R0>1 時，系統（1）存在唯一的正平衡點E*(P*，C*，G*，S*).

注：非負平衡點E0是所有手機用戶中不存在手機成癮用戶的臨界狀態.當R0>1 時，手機成癮用戶會增加，正平衡點E*表示手機成癮用戶增加的上限狀態.

1.3 平衡點的穩定性

定理2 當R0<1 時，系統（1）的無手機成癮非負平衡點E0(P0，C0，G0，S0)是局部漸近穩定的.當R0≥1 時，E0是不穩定的.

證明 系統（1）在E0點的Jacobi 矩陣為：

則特征方程|J(P0，C0，G0，S0)?λE|=0 的具體表達式為：

所以特征方程的前兩個根為：

若令λ3，λ4為特征方程的后兩個根，有

當R0<1 時，K<0，所以λ3?λ4>0.因此λ3，λ4為一對共軛復根或一對同號非零實根.

當K<0 時，有

所以λ3+λ4<0，從而λ3和λ4的實部為負數.

綜上所述，當R0<1 時，λi(i=1，2，3，4)的實部均為負數.因此，系統（1）的無手機成癮非負平衡點E0是局部漸近穩定的.

當R0≥1 時，K≥1，從而λ3?λ4≤0.因此λ3和λ4中有一個非負實根.所以，當R0≥1時，系統（1）的無手機成癮非負平衡點E0是不穩定的.

定理3 當R0>1 時，系統（1）的唯一正平衡點E*(P*，C*，G*，S*)是局部漸近穩定的.

證明 系統（1）在E*點的Jacobi 矩陣為：

則特征方程|J(P*，C*，G*，S*)?λE|=0 的具體表達式為：

因此λ1=?μ<0，而其余的三個特征值滿足如下方程：

根據Hurwitz 準則［15］可知，方程（6）的所有根具有負實部.

綜上所述，方程（5）的所有根具有負實部.因此，當R0>1 時，系統（1）在唯一的正平衡點E*(P*，C*，G*，S*)處是局部漸近穩定的.

定理4 當R0<1 時，系統（1）的無手機成癮非負平衡點E0(P0，C0，G0，S0)是全局漸近穩定的.

證明 考慮系統（1）的第1 個方程和第2個方程構成的子系統：

所以該系統在其可行域中無閉軌，結合無手機成癮非負平衡點的局部漸近穩定性，由Bendixon?Dulac 判別法可知，系統（1）的無手機成癮非負平衡點E0(P0，C0，G0，S0)在D上是全局漸近穩定的.

同理可知下面的定理5 成立.

定理5 當R0>1 時，系統（1）的唯一正平衡點E*(P*，C*，G*，S*)是全局漸近穩定的.

根據定理4 可知，當R0<1 時，手機成癮用戶會逐漸減少，直至達到滅絕點E0.根據定理5 可知，當R0>1 時，手機成癮用戶會逐漸增加，直至達到平衡點E*.

2 數值算例

為了驗證系統（1）的理論結果，給出此系統的數值模擬.

取γ=0.06，μ=0.07，α1=0.15，α2=0.03，α3=0.04，β1=0.1，β2=0.05，β3=0.06，則系統（1）的非負平衡點與基本再生數分別為E0=(0.353，0，0，0.504)，R0=0.568.

再取初值P(0)=5，C(0)=30，G(0)=40，S(0)=60，利用Matlab 軟件對系統（1）進行數值模擬，所得結果如圖2 所示.

圖2 系統（1）非負平衡點的全局穩定性

從圖2 可以看出，當R0<1 時，隨著時間的流逝，手機成癮群體會消失.

取γ=0.7，μ=0.08，α1=0.15，α2=0.03，α3=0.06，β1=0.25，β2=0.36，β3=0.07，則系統（1）的唯一正平衡點與基本再生數分別為E*=(0.607，5.719，0.301，2.123)，R0=3.495.

再取初值P(0)=10，C(0)=20，G(0)=40，S(0)=70，利用Matlab 軟件對系統（1）進行數值模擬，所得結果如圖3 所示.

圖3 系統（1）唯一正平衡點的全局穩定性

從圖3 可以看出，當R0>1 時，系統（1）的解最終趨向于一個正的非零常數，表明手機成癮群體將會持續存在，且E*是全局漸近穩定的.

3 結語

本文構建了手機成癮群體人數動態變化的動力學模型，得到其基本再生數.若基本再生數大于1，則手機成癮群體人數會動態變化并趨向于一個常數.若基本再生數小于1，則手機成癮群體會逐漸消失，這兩個結論在數值算例部分得到了驗證.